Ierarhie Hardy

Ierarhia Hardy, propusă de matematicianul englez Godfrey Hardy în 1904, este o familie de funcții , unde este un ordinal mare de numărare , astfel încât secvențele fundamentale sunt atribuite tuturor ordinalelor limită mai mici decât . Ierarhia Hardy este definită după cum urmează: $(H_{\alpha }:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} )_{\alpha <\mu )$ $\mu$ $\mu$

$H_{0}(n)=n$
$H_{\alpha +1}(n)=H_{\alpha }(n+1)$
$H_{\alpha }(n)=H_{\alpha [n]}(n)$ , dacă și numai dacă este un ordinal limită, $\alfa$

unde denotă al-lea element al șirului fundamental alocat ordinalului limită . $\alpha[n]$ $n$ $\alfa$

Fiecare ordinal diferit de zero poate fi reprezentat într-o formă normală Cantor unică, unde este primul ordinal transfinit, . $\alpha <\varepsilon _{0}=\min\{\beta |\beta =\omega ^{\beta }\)$ $\alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k-1}}+\omega ^ {\beta _{k)),$ $\omega$ $\alpha >\beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{k-1}\geq \beta _{k)$

Dacă , atunci este un ordinal limită și i se poate atribui o secvență fundamentală după cum urmează: $\beta _{k}>0$ $\alfa$

$\alpha [n]=\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k-1}}+ \left\{{\begin{array}{lcr}\omega ^{\gamma }n{\text{ if }}\beta _{k}=\gamma +1\\\omega ^{\beta _{ k }[n]}{\text{ if }}\beta _{k}{\text{ - limita ordinal.}}\\\end{array}}\right.$

Dacă , atunci și . $\alpha =\varepsilon _{0}$ $\alpha [0]=0$ $\alpha [n+1]=\omega ^{\alpha [n]}$

Folosind acest sistem de secvențe fundamentale se poate defini ierarhia Hardy până la primul număr de epsiloni . $\varepsilon_{0}$

Căci ierarhia Hardy este legată de ierarhia în creștere rapidă conform egalității $\alpha </varepsilon _{0)$

$H_{\omega ^{\alpha }}(n)=f_{\alpha }(n)$

iar la , ierarhia Hardy „prinde din urmă” cu ierarhia în creștere rapidă, adică $\alpha =\varepsilon _{0}$

$f_{\varepsilon _{0}}(n-1)\leq H_{\varepsilon _{0}}(n)\leq f_{\varepsilon _{0}}(n+1)$ pentru toată lumea . $n\geq 1$

Sisteme mai puternice de secvențe fundamentale pot fi găsite pe următoarele pagini:

Egalitatea este valabilă și pentru ierarhia Hardy . $H_{\alpha +\beta}(n)=H_{\alpha }(H_{\beta}(n))$

Vezi și

Link -uri

Hardy,GH O teoremă privind numerele cardinale infinite. Quarterly Journal of Mathematics (1904) vol.35 p.87–94

Cifre mari
Numerele	googol Numărul Shannon Googlelplex Număr înclinat numărul Moser Numărul Graham TREE(3) Numărul Rayo
Funcții	Funcția Ackermann Funcția Veblen Funcțiile Psi ale lui Buchholz tetrare Pentație Hiperoperator Ierarhie în creștere rapidă Ierarhie în creștere lent Ierarhie Hardy
Notații	Notația Steinhaus-Moser Notație cu săgeată Knuth Notație săgeată Conway Notație masivă Bowers