Izomorfism


Un exemplu de două grafice izomorfe. Izomorfismul asociază vârfuri ale unui graf cu vârfuri ale altui graf de aceeași culoare: două vârfuri sunt conectate printr-o muchie într-un graf dacă și numai dacă vârfuri de aceleași culori sunt conectate printr-o muchie într-un alt graf.

Izomorfism (din altă greacă ἴσος - egal, identic, asemănător și μορφή - formă) - relația dintre obiectele matematice, exprimând generalitatea structurii lor; este utilizat în diverse ramuri ale matematicii și în fiecare dintre ele se determină în funcție de proprietățile structurale ale obiectelor studiate. De obicei, izomorfismul este definit pentru mulțimi dotate cu o anumită structură , de exemplu, pentru grupuri , inele , spații liniare ; în acest caz, este definită ca o mapare inversabilă ( bijecție ) între două mulțimi cu o structură care păstrează acea structură, adică arătând că obiectele sunt „construite în mod similar” în sensul acelei structuri. Dacă există un izomorfism între obiecte, atunci se spune că ele sunt izomorfe . Un izomorfism definește întotdeauna o relație de echivalență pe clasa unor astfel de structuri.

De exemplu, două grafice se numesc izomorfe dacă există un izomorfism între ele: adică vârfurile unui graf pot fi asociate cu vârfurile altui graf, astfel încât vârfurile conexe ale primului graf să corespundă vârfurilor conexe ale grafului. al doilea grafic și invers. Cu alte cuvinte, două grafice sunt izomorfe dacă sunt „la fel” (până la redenumirea vârfurilor).

Un alt exemplu clasic de sisteme izomorfe este mulțimea tuturor numerelor reale cu operația de adunare definită pe el și mulțimea numerelor reale pozitive cu operația de înmulțire definită pe el. Maparea în acest caz este un izomorfism. $\mathbb {R}$ ${\mathbb R}_{+}$ $x\mapsto\exp(x)$

Conceptul de izomorfism a apărut în matematică în raport cu grupurile , ulterior transferat la alte clase de obiecte.

Algebră generală

În algebra generală, un izomorfism este o mapare inversabilă care este un homomorfism .

De exemplu, pentru grupuri și o bijecție se numește izomorfism dacă . Dacă grupurile sunt topologice , atunci se adaugă condiția de homeomorfism a spațiilor topologice corespunzătoare [1] . $G$ $H$ $f\colon G\la H$ $a,\;b\în G$ $f(a)f(b)=f(ab)$

Pentru câmpuri și o bijecție se numește izomorfism dacă păstrează ambele operații de câmp, adică pentru oricare dintre ele : $F_{1}$ $F_{2}$ $f\colon F_{1}\to F_{2)$ $a,b\în F_{1}$

$f(a)+f(b)=f(a+b)$ ,
$f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)$ .

De exemplu, inelul coeficient pentru un inel polinomial cu coeficienți reali modulo polinomul este un câmp izomorf [2] la câmpul numerelor complexe : $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $\mathbb {C}$

\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbb {C}

Pentru câmpurile cu structură suplimentară ( campuri ordonate , topologice ), se poate adăuga o condiție ca bijecția să păstreze și aceste structuri suplimentare.

Cea mai generală definiție a izomorfismului este în teoria categoriilor : obiectele unei categorii sunt izomorfe dacă există un morfism inversabil între ele, adică un morfism pentru care există un morfism astfel încât compozițiile și să fie morfisme identice. Definițiile categoriei de grupuri, categoria inelelor, categoria spațiilor vectoriale și alte structuri sunt construite în așa fel încât definițiile clasice ale izomorfismului grupurilor, inelelor, spațiilor vectoriale să coincidă cu definiția generală a izomorfismului într-o categorie. . În același timp, este introdus și conceptul de izomorfism de categorie , adică o corespondență unu-la-unu între categorii cu functori inversibili. $\varphi$ $\varphi ^{{-1}}$ $\varphi ^{{-1}}\circ \varphi$ $\varphi \circ \varphi ^{{-1}}$

Teoria multimilor

În teoria mulțimilor, orice bijecție este un izomorfism.

De exemplu, două mulțimi parțial ordonate sunt izomorfe dacă există o bijecție care păstrează ordinea între ele [3] .

Spații liniare

Două spații liniare și peste același câmp se numesc izomorfe dacă este posibil să se stabilească o corespondență unu-la-unu între vectori și în așa fel încât să fie îndeplinite condițiile [4] : $V'(F)$ $V''(F)$ $F$ $x'\in V'$ $x''\in V''$

dacă vectorul corespunde vectorului , iar vectorul corespunde vectorului , atunci vectorul corespunde vectorului . $\mathbf {x} „\în V”$ $\mathbf {x} ''\în V''$ $\mathbf {y} „\în V”$ $\mathbf {y} ''\în V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\în V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\în V''$
dacă un vector corespunde unui vector și este un element al câmpului , atunci vectorul corespunde unui vector . $\mathbf {x} „\în V”$ $\mathbf {x} ''\în V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} „\în V”$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Spații normate

Pentru spațiile normate, o mapare de la unul dintre ele la celălalt se numește izomorfism de spațiu normat , dacă este liniar , continuu și bijectiv , iar maparea inversă este, de asemenea, continuă. În acest sens, un izomorfism păstrează structura și topologia spațiului liniar , dar nu păstrează neapărat norma. Dacă un izomorfism păstrează și norma, atunci se numește izomorfism izometric sau o izometrie [5] .

Teoria grafurilor

Un graf se numește izomorf la un graf dacă există o bijecție de la mulțimea de vârfuri a graficului la mulțimea de vârfuri a graficului , care are următoarea proprietate: dacă graficul are o muchie de la vârf la vârf , atunci graficul trebuie să aibă o muchie de la vârf la vârf și invers - dacă graficul are o muchie de la vârf la vârf , atunci graficul trebuie să aibă o muchie de la vârf la vârf . În cazul unui graf direcționat , această bijecție trebuie să păstreze și orientarea muchiei. În cazul unui grafic ponderat, bijecția trebuie să păstreze și greutatea muchiei. $G$ $H$ $f$ $G$ $H$ $G$ $A$ $B$ $H$ $fa)$ $f(B)$ $H$ $A$ $B$ $G$ $f^{-1}(A)$ $f^{-1}(B)$

În teoria complexității computaționale , problema complexității problemei izomorfismului de graf este încă deschisă . În acest moment, nici apartenența sa la clasă $P$ și nici caracterul complet nu a fost dovedită . $NP$

Definiții înrudite

Un izomorfism al unui sistem algebric asupra lui însuși se numește automorfism . Mulțimea tuturor automorfismelor unui sistem algebric cu operația de compunere și maparea identității ca element neutru formează un grup . Grupul de automorfism al unui sistem algebric este notat cu . Cel mai simplu exemplu de automorfism este un automorfism de mulțime , adică o permutare a elementelor acestei mulțimi. $K$ $\operatorname {Aut}K$

Orice element al grupului definește următorul automorfism, care se numește automorfism interior : fiecare element al grupului este asociat cu elementul său conjugat : $g$ $X$ $gxg^{-1)$

f(x)=gxg^{-1)

Teoreme de izomorfism

Teoremele de izomorfism din algebră sunt o serie de teoreme care leagă conceptele de factor , homomorfism și obiect imbricat . Enunțul teoremelor este un izomorfism al unor perechi de grupuri , inele , module , spații liniare , algebre Lie sau alte structuri algebrice (în funcție de aplicație). Există de obicei trei teoreme de izomorfism , numite Prima (de asemenea, teorema fundamentală a homomorfismului ), a doua și a treia. Deși astfel de teoreme decurg destul de ușor din definiția factorului și onoarea descoperirii lor nu este atribuită în mod special nimănui, se crede că Emmy Noether a dat cele mai generale formulări .

Note

↑ L. S. Pontryagin Grupuri continue. S. 392
↑ Faddeev D.K. Prelegeri despre algebră. - M. : Nauka, 1984. - S. 200-201. — 416 p.
↑ Vereshchagin N. K., Shen A. Prelegeri despre logica matematică și teoria algoritmilor. Partea 1. Începuturile teoriei mulțimilor. pagina 48
↑ Shilov G. E. Introducere în teoria spațiilor liniare. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - p. 70
↑ Pyotr Borodin, A. Savchuk, I. Sheipak. Probleme în analiza funcțională . - MTSNMO, 2017. - S. 28. - 337 p. — ISBN 9785040485147 .

Literatură

Van der Waerden B. L. Algebră. Sankt Petersburg: Lan, 2004, 624 pagini, ISBN 5-8114-0552-9 .
Pontriagin, Lev Semionovici . Grupuri continue. — M .: URSS , 2004. — 520 p. — ISBN 5-354-00957-X .
Izomorfism - articol din Encyclopedia of Mathematics . O. A. Ivanova, D. M. Smirnov

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	J9U : 987007565408405171 LCCN : sh85068654