Fascicul tangent

Mănunchiul tangent al unei varietăți netede este un fascicul vectorial peste , a cărui fibră în punct este spațiul tangent în punctul . Mănunchiul tangent este de obicei notat . $M$ $M$ $x\în M$ $T_{x}M$ $X$ $TM$

Un element al spațiului total este o pereche , unde și . Mănunchiul tangent are o topologie naturală (nu topologia unei uniuni disjunctive) și o structură netedă , care îl transformă într-o varietate. Dimensiunea este egală cu dublul dimensiunii . $TM$ $(x,\;v)$ $x\în M$ $v\in T_{x}M$ $TM$ $M$

Topologie și structură netedă

Dacă este o varietate -dimensională, atunci are un atlas de hărți , unde este o submulțime deschisă și $M$ $n$ $(U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })$ $U_{\alpha }$ $M$

\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb{R} ^{n}

este un homeomorfism .

Aceste coordonate locale generează un izomorfism între și pentru orice . Puteți defini un afișaj $U$ $T_{x}M$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x\în U$

{\tilde \varphi }_{\alpha }\colon \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })\to \mathbb{R} ^{{2n}}

Cum

{\tilde \varphi }_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\ ;\ldots ,\;v^{n}).

Aceste mapări sunt folosite pentru a defini topologia și structura netedă pe . $TM$

Un subset de este deschis dacă și numai dacă este deschis în pentru orice . Aceste hărți sunt homeomorfisme ale submulților deschise de și , deci formează hărți de structură netedă pe . Funcțiile de tranziție la intersecțiile hărților sunt date de matricele Jacobi ale transformărilor de coordonate corespunzătoare, deci sunt mapări netede ale submulților deschise . $A$ $TM$ ${\tilde \varphi }_{\alpha }(A\cap \pi ^{{-1))(U_{\alpha }))$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $\alfa$ $TM$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $TM$ $\pi ^{{-1}}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Un mănunchi tangent este un caz special al unei construcții mai generale numite mănunchi vectorial . Mănunchiul tangent al unei varietăți -dimensionale poate fi definit ca un pachet vectorial de rang peste , ale cărui funcții de tranziție sunt date de Jacobianul transformărilor de coordonate corespunzătoare. $n$ $M$ $n$ $M$

Exemple

Cel mai simplu exemplu se obține pentru . În acest caz, mănunchiul tangent este trivial și izomorf cu proiecția . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}\la \mathbb{R} ^{n}$
Cercul unitar . Mănunchiul său tangent este, de asemenea, banal și izomorf . Geometric, este un cilindru de înălțime infinită (vezi imaginea de mai sus). $S^{1}$ $S^{1}\times \mathbb{R}$
Un exemplu simplu de mănunchi tangentă non-trivial este obținut pe sfera unității ; acest fascicul tangent este netrivial datorită teoremei pieptănării ariciului . $S^{2},$

Din păcate, pot fi desenate doar fasciculele tangente ale dreptei reale și ale cercului unitar , ambele fiind banale. Pentru 2-variete, pachetul tangent este un 4-varietate, deci este greu de reprezentat. $R$ $S^{1}$

Câmpuri vectoriale

Un câmp vectorial este o funcție vectorială netedă pe varietatea cărei valoare în fiecare punct este un vector tangent la , adică o mapare netedă $M$ $M$

V\colon M\toTM

astfel încât imaginea , notată cu , se află în spațiul tangent în punctul . În limbajul pachetelor locale triviale , o astfel de mapare se numește secțiune . Câmpul vectorial pe este o secțiune a mănunchiului tangent peste . $X$ $V_{x}$ $T_{x}M$ $X$ $M$ $M$

Setul tuturor câmpurilor vectoriale peste este notat cu . Câmpurile vectoriale pot fi adăugate punctual: $M$ $\Gamma (TM)$

(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}

și înmulțiți prin funcții netede activate $M$

(fV)_{x}=f(x)V_{x},

obţinerea de noi câmpuri vectoriale. Mulțimea tuturor câmpurilor vectoriale capătă apoi structura unui modul peste algebra comutativă a funcțiilor netede pe (notat cu ). $\Gamma (TM)$ $M$ $C^{\infty }(M)$

Dacă există o funcție netedă, atunci operația de diferențiere de-a lungul câmpului vectorial dă o nouă funcție netedă . Acest operator de diferențiere are următoarele proprietăți: $f$ $X$ $xf$

Aditivitate: . $X(f+h)=Xf+Xh$
Regula lui Leibniz : . $X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)$

Un câmp vectorial pe o varietate poate fi definit și ca un operator cu proprietățile de mai sus.

Un câmp vectorial local pe este o secțiune locală a mănunchiului tangent. Câmpul vectorial local este definit doar pe o submulțime deschisă de , și în fiecare punct din , este specificat un vector din spațiul tangent corespunzător. Setul de câmpuri vectoriale locale pe formează o structură numită creion de spații vectoriale reale peste . $M$ $U$ $M$ $U$ $M$ $M$

Câmp vectorial canonic pe TM

Pe fiecare pachet tangent se poate defini un câmp vectorial canonic. Dacă sunt coordonate locale pe , atunci câmpul vectorial are forma $TM$ $(X y)$ $TM$

V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{{(x,\;y))).

$V$ este un afișaj . $V\colonTM\la TTM$

Existența unui astfel de câmp vectorial pe poate fi comparată cu existența unei forme canonice 1 pe pachetul cotangent . $TM$

Vezi și

Diferenţial de afişare
câmp vectorial
Distribuția este o subbundle a fasciculului tangent
Pachet cotangent
Metrica Sasaki este o metrică naturală pe mănunchiul tangent al unei varietăți Riemanniane.

Link -uri

Arnold VI Metode matematice ale mecanicii clasice. - Ed. a 5-a, stereotip. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 de exemplare. — ISBN 5-354-00341-5 .
Vasiliev V. A. Introducere în topologie. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
John M. Lee Introducere în Smooth Manifolds. - New York: Springer-Verlag, 2003. - ISBN 0-387-95495-3 .
Jurgen Jost. Geometrie Riemanniană și Analiză Geometrică. - Berlin: Springer-Verlag, 2002. - ISBN 3-540-42627-2 .
Todd Rowland. Tangent Bundle (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Tangent Bundle (engleză) pe site-ul PlanetMath .