Cuadratura (matematică)

Quadrature ( lat.  quadratura , pătrat) este un termen matematic care inițial denota găsirea ariei unei figuri sau a unei suprafețe . În viitor, sensul termenului s-a schimbat treptat [1] . Problemele cu cuadratura au servit ca una dintre principalele surse de analiză matematică la sfârșitul secolului al XVII-lea .

În antichitate, cuadratura era înțeleasă ca construcția cu ajutorul unei busole și a unei rigle a unui pătrat , egal ca dimensiune cu o figură dată (adică având aceeași zonă). Exemple: pătrarea unui cerc sau lunula hipocratică . Metoda de epuizare a lui Eudoxus a fost apoi adoptată ca principală metodă de analiză .

În Europa medievală, cuadratura era înțeleasă ca calculul ariei unei anumite zone - de exemplu, aria arcului unui cicloid . Pentru aceasta, metoda indivizibilă a fost folosită cel mai des .

Odată cu apariția calculului integral, calculul ariei s-a redus la integrare, iar termenul „ pătratură ” a început să fie înțeles ca sinonim pentru termenul „ integral ” ( definit sau nedefinit ). „ A devenit obișnuit să se numească calculul integralei cuadratură ” [2] .

În prezent, termenul este rar folosit, în principal în următoarele fraze:

• " formule de cuadratura " - formule de estimare a valorii unei anumite integrale;
• „ ducă la cuadraturi ” (“ exprima în cuadraturi ”, „ rezolvare în cuadraturi ”) - exprimă soluția unei ecuații diferențiale ca o integrală a combinațiilor de funcții elementare , i.e. sub forma , unde este o funcție elementară sau combinația lor finită.

Contur istoric

Matematicienii Greciei antice , în conformitate cu doctrina lui Pitagora , au înțeles definiția ariei unei figuri ca fiind construcția cu ajutorul unei busole și a unei rigle a unui pătrat egal ca dimensiune cu o anumită figură. De aici provine termenul „pătrat”.

Pentru a cuadratura un dreptunghi cu laturile a și b , trebuie să construiți un pătrat cu o latură ( media geometrică a a și b ). Pentru a face acest lucru, puteți utiliza următorul fapt: dacă construiți un cerc pe suma acestor două segmente ca pe un diametru, atunci înălțimea BH (vezi figura), restabilită de la punctul de legătură până la intersecția cu cercul , vor da media lor geometrică [3] . O construcție geometrică similară rezolvă problema pătrarii unui paralelogram și a unui triunghi . În termeni generali, problema pătrarii unui poligon este rezolvată în Principia lui Euclid (Propoziția 45 din Cartea I și Propoziția 14 din Cartea II).

Problemele de pătrare a cifrelor curbilinii s-au dovedit a fi mult mai dificile. Pătrarea unui cerc , așa cum s-a dovedit în cele din urmă în secolul al XIX-lea (vezi dovada ), cu ajutorul unei busole și al unei linii drepte este imposibilă. Cu toate acestea, pentru unele figuri (de exemplu, pentru lunile hipocratice ), cuadratura a fost totuși reușită să fie realizată. Cea mai mare realizare a analizei antice a fost cuadratura suprafeței sferei și a segmentului parabolei realizată de Arhimede :

• aria suprafeței unei sfere este egală cu de patru ori aria cercului mare al acestei sfere;
• aria unui segment de parabolă tăiat de acesta de o linie dreaptă este 4/3 din aria unui triunghi înscris în acest segment (vezi figura).

Pentru demonstrație, Arhimede a folosit „ metoda epuizării ” care datează din Eudoxus . Trebuie remarcat că rezultatul lui Arhimede pentru suprafața unei sfere depășește deja definiția pitagoreică, deoarece nu se reduce la construcția explicită a unui pătrat.

În secolul al XVII-lea a apărut „metoda indivizibililor ”, mai puțin riguroasă, dar mai simplă și mai puternică decât metoda epuizării. Cu ajutorul său , Galileo și Roberval au găsit zona arcului cicloid , iar flamandul Gregoire de Saint-Vincent a explorat zona de sub hiperbolă (" Opus Geometricum ", 1647), în plus, Sarasa ( fr.  Alphonse Antonio de Sarasa). ), student și comentator al lui de Saint-Vincent , a remarcat deja legătura acestei zone cu logaritmii [4] . John Vallis a efectuat algebrizarea metodei: în cartea sa Arithmetic of the Infinite (1656), el a descris construcția seriilor de numere, care acum sunt numite sume integrale , și a găsit aceste sume. Tehnica lui Wallis a fost dezvoltată în continuare în scrierile lui Isaac Barrow și James Gregory ; s-au obţinut pătraturi pentru un set de curbe algebrice , precum şi pentru spirale . Huygens a cuadraturat cu succes un număr de suprafețe de revoluție ; în special, în 1651 a publicat o lucrare despre pătrarea secțiunilor conice numită „Discursuri asupra pătrarii hiperbolei, elipsei și cercului”.

Dezvoltarea ulterioară a subiectului a fost asociată cu apariția calculului integral , care a furnizat o metodă universală pentru calcularea ariei. În acest sens, termenul „ pătrat ” a început să nu mai fie treptat din uz, iar în cazurile în care a fost folosit, a devenit sinonim cu termenul „ integral ”. Interesant este că Isaac Newton a încercat în locul notației leibniziane a integralei, care ne este familiară, să introducă propriul său simbol - un pătrat, care a fost plasat în fața funcției integrabile sau o conținea în sine [5] .

Vezi și

• Quadratrix
• Pătratarea cercului
• Integrare numerică
• Lista formulelor de cuadratura

Literatură

• Bashmakova I. G. Prelegeri despre istoria matematicii în Grecia antică // Cercetări istorice și matematice . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr. 11 . - S. 225-440 .
• Bourbaki N. Arhitectura matematicii. Eseuri despre istoria matematicii. - M . : Literatură străină, 1963.
• Istoria matematicii, editat de A. P. Yushkevich în trei volume, M .: Nauka.

• Volumul 1 Din cele mai vechi timpuri până la începutul timpurilor moderne. (1970)
• Volumul 2 Matematica secolului al XVII-lea. (1970)
• Volumul 3 Matematica secolului al XVIII-lea. (1972)

Link -uri

• Bendukidze A. D. Arhimede și cuadratura parabolei. Kvant, 1971, nr. 7, p. 7-10.

Note

1. ↑ Quadrature // Mathematical Encyclopedia (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1979. - T. 2. - S. 793. - 1104 p.
2. ↑ Fikhtengolts G. M. . Curs de calcul diferențial și integral. - M . : Nauka, 1960. - T. II, § 264.
3. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 270.
4. ↑ Bourbaki, 1963 , p. 175.
5. ↑ Bourbaki, 1963 , p. 199.

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)