Spirală

Potrivit Encyclopedia of Mathematics , spiralele sunt curbe plane care „de obicei ocolesc unul (sau mai multe puncte), apropiindu-se sau îndepărtându-se de acesta”. Această interpretare a termenului nu este o definiție strict formalizată. Dacă o curbă binecunoscută conține epitetul „spirală” în numele său, atunci aceasta ar trebui tratată ca un nume istoric.

Una dintre opțiunile pentru o definiție riguroasă, presupunând monotonitatea ecuației polare a curbei, nu este universală: prin alegerea unui alt pol, se poate rupe monotonitatea existentă și numai din această cauză curba „încetează să mai fie o spirală” , în ciuda faptului că ea în sine nu s-a schimbat. Spirala Cotes ecuație polară nemonotonă, în timp ce spirala are doi poli și, prin urmare, nu poate fi descrisă în întregime în coordonate polare.

Definiții bazate pe monotonitatea curburii

Definiția formală a spiralei, bazată pe monotonitatea curburii , este adoptată în monografia [1] (Capitolul 3-3, Arcurile de spirală ). Aceasta necesită continuitatea curburii în funcție de lungimea arcului curbei și sunt luate în considerare numai curbele convexe [2] . O spirală în acest sens este un sfert de elipsă (între două vârfuri învecinate). Interesul pentru astfel de curbe s-a datorat în mare măsură teoremei ovale în patru puncte , care afirmă (în ceea ce privește definiția în discuție) că o curbă simplă închisă cu curbură continuă constă din cel puțin patru arce de spirală.

Aceste definiții, cu anumite clarificări despre convexitate, monotonitate strictă/non-strictă, continuitate și constanță a curburii, restricții privind rotația completă a curbei, sunt utilizate în aplicații din domeniul proiectării asistate de computer . Principalele aplicații sunt legate de construcția de drumuri de mare viteză, în special de construcția de curbe de tranziție , oferind o schimbare treptată a curburii de-a lungul căii.

O definiție mai generală, care nu necesită semn constant și continuitate a curburii, ci doar monotonitatea ei, este adoptată în articolul [3] . În cadrul acestei definiții, proprietatea unei curbe de a fi o spirală este invariabilă în cadrul mapărilor liniar-fracționale ale curbei.

Vezi și

• teorema lui Vogt
• Biduga

Spirale plate

Cercul poate fi considerat un caz special degenerat al spiralei (curbura nu este strict monotonă, ci este o constantă ).

Unele dintre cele mai importante tipuri de spirale 2D sunt:

• spirala arhimediană : ;
• Spirala Theodoriană : o aproximare a spiralei arhimediene, constând din triunghiuri dreptunghiulare adiacente
• Spiral Farm : ; are un vârf la .
• Spirala hiperbolica : ;
• Tija :
• Spirala logaritmică , a cărei formă aproximativă se găsește în natură: ;
• Spirala Fibonacci și spirala aurie , care este un caz special al spiralei logaritmice
• Cornu spirală sau Euler spirală , sau clotoid :.

• Spirala arhimediană

• Spiral Cornu

• Spiral Farm

• spirală hiperbolică

• Baghetă strâmbă (lituus)

• spirală logaritmică

• Spirala lui Teodor

• Spirala Fibonacci (spirala aurie)

• Cercul evolvent (negru) nu se potrivește cu spirala arhimediană (roșu).

spirale 3D

Ca și în cazul bidimensional, r  este o funcție monotonă continuă a lui θ .

Pentru spiralele tridimensionale simple, a treia variabilă h  este, de asemenea, o funcție monotonă continuă a lui θ . De exemplu, o spirală conică poate fi definită ca o spirală pe o suprafață conică cu distanța de la vârf ca funcție exponențială a lui θ .

Pentru spiralele tridimensionale complexe, cum ar fi o spirală sferică , h crește cu θ pe o parte a punctului și scade pe cealaltă parte.

spirală sferică

O spirală sferică ( loxodrom ) este o curbă pe o sferă care intersectează toate meridianele la un unghi (nu la dreapta ). Această curbă are un număr infinit de spire. Distanța dintre ele scade pe măsură ce te apropii de poli.

Corpuri spiralate

• Cochilia unui gasteropod
• citoschelet eucariot
• O spirală în balanța unui ceas mecanic , un arc spiralat în mecanismul electric de măsurare al unui cadran .
• Arc principal spiralat în ceasuri mecanice și jucării mecanice
• Ciclon , Anticiclon
• galaxii spirale
• Colagenul  este o proteină fibrilă dreptaci .
• Roll
• ADN
• Distribuția semințelor în floarea soarelui și în alte plante din familia Compositae
• Vortex
• Vârtej de vânt
• Caduceu
• bazin
• vârtej
• Amoniți (cefalopode)
• coarne
• Romanesco (varză)

Vezi și

• Elicoid
• spirală sinusoidală

Note

1. ↑ Guggenheimer HW Differential geometry.. - New York: Dover Publications, 1977. - P. 48. - ISBN 0-486-63433-7 .
2. ↑ ... adică astfel încât arcul și coarda lui să formeze o figură convexă .
3. ↑ Kurnosenko A.I. Proprietăţile generale ale curbelor spiralate plane // Note ale seminariilor ştiinţifice POMI: Vol. 353. - 2009. - P. 93-115 . — ISSN 0373-2703 .

Literatură

• Cook, T., 1903. Spirale în natură și artă . Natura 68 (1761), 296.
• Cook, T., 1979. Curbele vieții . Dover, New York.
• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Curbe de tranziție în spirală și aplicațiile lor . Scientiae Mathematicae Japonicae 61(2), 195-206.
• Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Tranziție cubică corectă între două cercuri cu un cerc în interior sau tangent la celălalt . Algoritmi numerici 51, 461-476 [1]  (link inaccesibil) .
• Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral . Computer Graphics Forum 30(2), 237-246 [2] .
• Xu, L., Mold, D., 2009. Curbe magnetice: curbe estetice controlate de curbură folosind câmpuri magnetice . În: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. Asociația Eurographics [3] .
• Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Proiectarea curbelor corecte folosind piese de curbură monotone . Proiectare geometrică asistată de calculator 21(5), 515-527 [4] .
• A. Kurnosenko. Aplicarea inversării pentru a construi spirale plane, raționale care satisfac datele G2 Hermite în două puncte . Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262-280, 2010 [5] .
• A. Kurnosenko. Interpolare în două puncte G2 Hermite cu spirale prin inversarea hiperbolei . Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474-481, 2010.
• Miura, KT, 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-afinity . Proiectare și aplicații asistate de calculator 3 (1-4), 457-464 [6] .
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivarea unei formule generale a curbelor estetice . În: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japonia, pp. 166-171 [7] .
• Meek, D., Walton, D., 1989. Utilizarea spiralelor Cornu în trasarea curbelor plane de curbură controlată . Journal of Computational and Applied Mathematics 25(1), 69-78 [8] .
• Farin, G., 2006. Curbele Bézier clasa A . Proiectare geometrică asistată de calculator 23(7), 573-581 [9] .
• Farouki, RT, 1997. Pitagora-hodograf curbe de tranziție chintică de curbură monotonă . Proiectare asistată de calculator 29(9), 601-606.
• Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic curve segments . The Visual Computer 22(9), 896-905 [10] .
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Curbe cvasi-estetice în forme raționale cubice Bézier . Proiectare și aplicații asistate de calculator 4 (9-10), 477-486 [11] .
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Ecuații parametrice analitice ale curbelor log-estetice în termeni de funcții gamma incomplete . Proiectare geometrică asistată de computer 29(2), 129-140 [12] .
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Fitting G2 multispiral transition curve joining two straight lines , Computer-Aided Design 44(6), 591-596 [13] .
• Ziatdinov, R., 2012. Familie de superspirale cu curbură complet monotonă dată în termeni de funcție hipergeometrică Gauss . Computer Aided Geometric Design 29(7): 510-518, 2012 [14] .
• Ziatdinov, R., Miura KT, 2012. Despre varietatea spiralelor plane și aplicațiile lor în proiectarea asistată de computer . European Researcher 27(8-2), 1227-1232 [15] .