Cinematica unui corp rigid

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 noiembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Cinematica unui corp rigid (din altă greacă κίνημα - mișcare) - o secțiune a cinematicii care studiază mișcarea unui corp absolut rigid (un sistem de puncte materiale cu distanțe constante), fără a intra în cauzele care îl provoacă. Datorită relativității mișcării, este obligatoriu să se indice cadrul de referință în raport cu care este descrisă mișcarea.

Descrierea mișcării

Caracteristica unui corp rigid ne permite să introducem un sistem de coordonate ortonormal asociat cu acesta , centrat într-un punct (un punct arbitrar asociat cu acest corp). Apoi, în sistemul ortonormal absolut , coordonatele unui punct arbitrar al unui corp rigid poate fi exprimată: $({\vec {e}}_{\xi }, {\vec {e}}_{\eta }, {\vec {e}}_{\zeta })$ $S$ $Oxyz,\,({\vec {e}}_{x}, {\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{S}(t)+\xi {\vec {e}}_{\xi }(t)+\eta { \vec {e}}_{\eta }(t)+\zeta {\vec {e}}_{\zeta }(t)$ , și de când corpul este absolut rigid: , dar . ${\dot {\xi }}={\dot {\eta }}={\dot {\zeta }}=0$ ${\dot {\vec {e)}}_{i}\neq 0\,(i=\xi,\eta,\zeta)$

Lasă . În special, transformarea poate fi specificată folosind unghiuri Euler . ${\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\ end{pmatrix}}={\hat {A}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e }}_{z}\end{pmatrix}}$

Deoarece bazele sunt ortonormale, este ortogonală la , drept urmare . ${\hat {A}}$ ${\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E$

Cu viteza unui punct arbitrar al corpului atunci:

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\begin{pmatrix}{\dot {\ vec {e}}}_{\xi }\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }\end{ pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\begin{pmatrix}{\vec { e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S }(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}{\begin{pmatrix}{\vec {e}} _{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}

Rezultatele diferențierii , ceea ce înseamnă antisimetrie , care poate fi scrisă ${\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E$ ${\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}=-{\hat {A}}{\dot {\hat {A}}}^{T}$ ${\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}={\hat {\Omega }}$

{\hat {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega _{\zeta}&-\omega _{\eta }\\-\omega _{\zeta}&0&\omega _{ \xi }\\\omega _{\eta }&-\omega _{\xi }&0\end{pmatrix}}

Notația este motivată de introducerea (a vectorului viteză unghiulară ). Apoi: ${\vec {\omega }}=\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\eta }+\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\zeta }$

{\begin{cases}{\dot {\vec {e)}}_{\xi }=\omega _{\zeta }{\vec {e))_{\eta }-\omega _{ \eta }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\xi }],\\{\dot {\vec { e))_{\eta }=-\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\zeta } = [{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\eta }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }=\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\xi }-\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\eta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec { e }}_{\zeta }];\end{cases}}

Expresiile rezultate sunt altfel numite formule Poisson.

Formula lui Euler

Formula lui Euler stabilește relația dintre vitezele diferitelor puncte ale unui corp rigid: $A,B$

{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]

Dovada

${\begin{cases}{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{A},\eta _{A},\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{ \zeta }\end{pmatrix)),\\{\vec {v))_{B}={\vec {v))_{S}+(\xi _{B},\eta _{B} ,\zeta _{B})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e} }_{\zeta }\end{pmatrix));\\\end{cases))\;\Rightarrow \;{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A} =(\xi _{B}-\xi _{A},\eta _{B}-\eta _{A},\zeta _{B}-\zeta _{A})\Omega {\begin{ pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}\; \Leftrightarrow \;{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]$

Dacă , atunci . ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}$ ${\vec {\omega }}\parallel {\overrightarrow {AB}}$
${\vec {\omega }}$ este invariant în ceea ce privește alegerea unui sistem de coordonate în mișcare.
Vectorul viteză unghiulară este legat de câmpul viteză al punctelor corpului . ${\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}$

Formula rivalilor

Formula Rivals raportează accelerațiile diferitelor puncte ale unui corp rigid. $A,B$

Pentru (vector de accelerație unghiulară ), dat fiind că , diferențierea formulei lui Euler conduce la: ${\vec {\varepsilon }}={\dot {\vec {\omega }}}$ ${\dot {\overrightarrow {AB}}}=[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]$

{\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {AB}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]{\big ]}

Ultimul termen din formula Rivals determină accelerația bruscă .

Mișcare compusă

Pentru cazurile de descriere dificilă a mișcării unui corp rigid față de un CO fix , sunt introduse formule de mișcare complexă (adică, descriind mișcarea față de un CO în mișcare).

Pentru sistem de referință absolut și mutare . $Oxyz,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$ $P\xi \eta \zeta \,({\vec {e}}_{\xi }, {\vec {e}}}_{\eta }, {\vec {e}}_{\zeta })$

{\vec {r}}_{S/O}={\vec {r}}_{S/P}+{\vec {r}}_{P/O}

Vectorul rază până la un punct în FR absolut este egal cu suma vectorului razei relative și a portabilului $S$

Formula de adăugare a vitezei

Diferențierea în funcție de timp a formulei pentru vectorul rază duce la formula de adunare a vitezelor

{\vec {v}}_{S/O}={\vec {v}}_{P/O}+{\vec {v}}_{S/P}+[{\vec { \omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]

, unde este viteza unghiulară de rotație a CO mobil.

{\vec {\omega ))

${\vec {v}}_{S/O}$ este viteza absolută a punctului , $S$
${\vec {v}}_{S/P}={\dot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\dot {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\dot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }$ - viteza relativa,
Termenul se numește viteză portabilă, care este asociată cu o schimbare a poziției CO mobil. ${\vec {v}}_{P/O}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]$

Formula de adăugare a accelerației

Diferențierea repetată dă

{\vec {a}}_{S/O}={\vec {a}}_{P/O}+{\vec {a}}_{S/P}+[{\vec { \varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{ \big ]}+2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]

, unde este accelerația unghiulară a CO în mișcare.

{\vec \varepsilon }

${\vec {a}}_{S/O}$ este accelerația absolută,
${\vec {a}}_{P/O}={\ddot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\ddot {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\ddot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }$ - accelerație relativă,
${\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }} \times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}$ - accelerație portabilă,
$2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]$ este accelerația Coriolis.

Adăugarea vitezelor unghiulare

Scrierea formulei Euler într-un CO în mișcare care se rotește cu viteză unghiulară (corpul însuși se rotește aici cu ) duce la: ${\vec {\omega }}_{P/O}$ ${\vec {\omega }}_{S/P}$

{\vec {v}}_{B/O}={\vec {v}}_{A/O}+[{\vec {\omega }}_{S/P}\times {\ overrightarrow {AB}}]+[{\vec {\omega }}_{P/O}\times {\overrightarrow {AB}}]

, ceea ce este valabil pentru o alegere arbitrară a punctelor , de unde

A,B

{\vec {\omega }}_{S/O}={\vec {\omega }}_{P/O}+{\vec {\omega }}_{S/P}

În caz contrar, viteza unghiulară absolută este egală cu suma relativă și a translației.

Analiza calitativă a posibilelor mișcări

Mișcare elicoială instantanee , caracterizată prin ceea ce se găsește (axa elicoială instantanee), astfel încât pentru orice punct . În fiecare moment de timp, orice mișcare poate fi reprezentată ca instantaneu-helidic. $l\parallel {\vec {\omega })$ $S\in l:{\vec {v}}_{S}\parallel l$
Mișcarea de translație instantanee se caracterizează prin faptul că , în acest caz, vitezele tuturor punctelor corpului sunt aceleași (la un moment dat). ${\vec {\omega }}=0$
Mișcare de rotație instantanee , un caz special de șurub instantaneu, de ex. există astfel încât toate punctele de pe el să fie fixe. Linia dreaptă în acest caz este axa instantanee de rotație. $l$ $l$
Mișcarea plan-paralelă se realizează dacă fiecare punct al corpului se mișcă paralel cu un plan fix (fie ), atunci . Prin analogie cu axa elicoidală instantanee, pentru mișcarea plan-paralelă, puteți alege centrul instantaneu al vitezelor - un punct fix instantaneu . Poziția se schimbă atât în sistemul de coordonate fix, cât și în cel mobil (conectat cu corpul). Pentru locusul punctelor centrului instantaneu de viteze într-un cadru fix, se folosește termenul de centroid fix, în timp ce într-un cadru în mișcare, respectiv, un centroid în mișcare. $Oxy$ ${\vec {\omega }}\perp Oxy$ $C$ $C$
Rotire în jurul unui punct fix. Conform formulei lui Euler, dacă este fix, atunci fix și (axa instantanee de rotație). Locația geometrică a axelor de rotație se numește axoide fixe și mobile (în funcție de CO considerat) $O$ $l=O\omega$

Formulele cinematice ale lui Euler

Dacă trecerea la un CO mobil se face folosind unghiuri Euler , următoarele formule pentru componentele vitezei unghiulare sunt valabile:

\omega _{\xi }={\dot {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \psi

\omega _{\eta }={\dot {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \psi

\omega _{\zeta }={\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}\cos \theta

$\psi$ este unghiul de precesiune, este unghiul de nutație, este unghiul de rotație adecvată. $\theta$ $\varphi$

Vezi și

Literatură

Mecanica teoretică / Bolotin S.V., Karapetyan A.V., Kugushev E.I., Treschev D.V. - M., 2010.
Curs general de fizică T.I. Mecanica/Sivukhin D.V. - M., 1979. - 7 dolari, p. 45-47