Accelerație centripetă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 aprilie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Accelerația centripetă (normală) - o componentă a accelerației corpului, care caracterizează viteza de schimbare a direcției vectorului viteză (a doua componentă, accelerația tangențială , caracterizează modificarea modulului de viteză). Îndreptată spre centrul de curbură al traiectoriei, cu care este asociat termenul. Indicat prin simbolul ales pentru accelerare, cu adăugarea pictogramei „normal”: (mai puțin frecvent ); în sistemul SI se măsoară în m/s 2 . ${\vec {a}}_{n}$ ${\vec {w}}_{n}$

Un exemplu de mișcare cu accelerație centripetă diferită de zero este mișcarea de-a lungul unui cerc (în acest caz, este îndreptată spre centrul cercului). ${\vec {a}}_{n}$

În mecanica clasică , accelerația normală este cauzată de componentele forței direcționate ortogonal către vectorul viteză. De exemplu, mișcarea unui obiect spațial pe orbită este caracterizată de accelerația centripetă cauzată de gravitație . Componenta sumei forțelor care determină prezența accelerației normale se numește forță centripetă . Un concept înrudit pentru cadrele de referință non-inerțiale este forța centrifugă .

Accelerația oscilantă, considerată în cazurile de rotație a corpului în jurul axei, în proiecție pe un plan perpendicular pe ax, apare ca centripetă.

Formula generală

Accelerația normală este calculată prin formula $un$

a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}

sau (folosind relația ) $v=\omega R$

a_n = \omega^2 R

unde este viteza liniară (instantanee) de mișcare de-a lungul traiectoriei, este viteza unghiulară (instantanee) de mișcare în raport cu centrul de curbură al traiectoriei, este raza de curbură a traiectoriei într-un punct dat. $v$ $\omega$ $R$

Expresiile pot fi rescrise sub formă vectorială:

\mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n} =\omega ^{2}R\mathbf {n}

Aici , este un vector unitar direcționat dintr-un punct dat al traiectoriei către centrul de curbură al traiectoriei. $\mathbf n$

Aceste formule sunt aplicabile atât unei situații particulare de mișcare uniformă ( const ) cât și unui caz arbitrar. În cazul uniform, accelerația normală coincide cu cea completă. În cazul general, accelerația normală este doar o componentă a vectorului perpendicular pe traiectoria mișcării (vector ), iar vectorul accelerație completă include și o componentă tangențială , co-dirijată de o tangentă la traiectoria mișcării [1] . $|{\vec {v}}|=\,$ ${\vec {a}}$ $\vec{v}$ $a_{\tau}=dv/dt$

Derivarea formulei

Pentru a descompune accelerația în tangențială și normală, este posibil să diferențiem vectorul viteză în timp , reprezentat ca un vector tangent unitar : $\mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$

\mathbf {a} = {\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {d(v\mathbf {\tau} )}{dt)}={\frac {\ mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt}}=\mathbf {a} _{\ tau }+v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl)){\frac {dl}{dt))=\mathbf {a} _{\tau }+v^{2}{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl}}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}{\frac {d\mathbf {\tau } }{d\varphi }}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\,\mathbf {n}

Aici primul termen este accelerația tangențială și al doilea este accelerația normală. V desemnează vectorul normal unitar, indică raza de curbură a traiectoriei în punctul considerat și indică elementul lungimii traiectoriei. O secțiune mică a oricărei curbe poate fi considerată un arc de cerc, iar raza sa este raza de curbură . Lanțul de transformări folosește relațiile evidente și (unde este un mic unghi de rotație în jurul centrului de curbură). $\mathbf n$ $R$ $dl$ $R$ $dl/dt=v$ $dl=R\,d\varphi$ $d\varphi$

Egalitatea rezultă din considerente geometrice. Diferența dintre vectorii tangenți unitari la punctele considerate ( ) și apropiate de acesta ( ) ale traiectoriei este , unde este unghiul dintre și . Această diferență este îndreptată într-un unghi față de normala în punctul considerat. Dacă este mic , va exista o coincidență cu vectorul normal . De asemenea, cu micimea , este posibil să se extindă sinusul într- o serie Taylor . Ca urmare, ajungem la sau, pentru infinitezimale, . $d\mathbf {\tau} /d\varphi =\mathbf {n}$ $\Delta \mathbf {\tau } =\mathbf {\tau } '-\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$ $\mathbf {\tau } '$ $2\sin(\Delta \varphi /2)$ $\Delta \varphi$ $\mathbf {\tau } '$ ${\mathbf \tau }$ $\Delta \varphi /2$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\Delta \mathbf {\tau } =\Delta \varphi \,\mathbf {n}$ $d\mathbf {\tau} /d\varphi =d\varphi /d\varphi \,\mathbf {n}$

Pe raza de curbură

Calcularea razei de curbură și a coordonatelor centrului de curbură al unei căi este o problemă matematică (vezi Curbură ). Dacă curba este dată de ecuația , atunci raza curburii sale în punctul ( , ) se găsește ca [2] $y = f(x)$ $X$ $y$

R={\frac {(1+f'^{2})^{3/2}}{|f''|}}

și poziția centrului de curbură - conform formulelor [2]

\xi =x-{\frac {f'(1+f'^{2})}{f'')),\qquad \eta =y+{\frac {1+f'^{2} {f''}}}

Vectorul normal unitar în acest caz va fi ( , - orts ) $\vec{i}$ $\vec{j}$

{\vec {n}}={\frac {\xi -x}{R}}\,{\vec {i}}+{\frac {\eta -y}{R}}\,{ \vec {j}}

Dacă se cunoaște dependența vectorului rază a unui punct material în timp (din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă setarea traiectoriei într-o formă parametrică), atunci raza de curbură poate fi găsită prin accelerație: ${\vec {r}}(t)$

R={\frac {v^{2}}{\sqrt {a^{2}-a_{\tau }^{2}}}}

unde și ; a găsit anterior viteza ca . Centrul de curbură în cazul general nu va coincide cu originea vectorului rază. ${\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt$ $a_{\tau}=dv/dt$ ${\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt$

Motivație, observații

Faptul că descompunerea vectorului de accelerație în componente - una de-a lungul tangentei la traiectorie (accelerația tangențială) și alta ortogonală (accelerația normală) - poate fi convenabilă și utilă este destul de evident în sine. Când se deplasează cu o viteză modulo constantă, componenta tangenţială devine egală cu zero, adică, în acest caz particular important, rămâne doar componenta normală. În plus, fiecare dintre aceste componente are propriile sale proprietăți și structură pronunțată, iar accelerația normală conține un conținut geometric destul de important și netrivial în structura formulei sale. Cazul special al mișcării într-un cerc este, de asemenea, extrem de important.

Valoarea absolută a accelerației tangențiale depinde doar de accelerația solului, care coincide cu valoarea sa absolută, spre deosebire de valoarea absolută a accelerației normale, care nu depinde de accelerația solului, ci depinde de viteza la sol.

Istoria conceptului

Aparent, Huygens a fost primul care a obținut formulele corecte pentru accelerația centripetă (sau forța centrifugă) . Practic de atunci, luarea în considerare a accelerației centripete a fost o tehnică comună pentru rezolvarea problemelor mecanice.

Ceva mai târziu, aceste formule au jucat un rol semnificativ în descoperirea legii gravitației universale (formula accelerației centripete a fost folosită pentru a obține legea dependenței forței gravitaționale de distanța până la sursa gravitației, pe baza celei de-a treia legi a lui Kepler. derivate din observații ).

Până în secolul al XIX-lea, luarea în considerare a accelerației centripete a devenit deja destul de obișnuită atât pentru știința pură, cât și pentru aplicațiile de inginerie.

Vezi și

Note

↑ După cum se poate observa din formulă, atunci când vă deplasați cu o viteză constantă la sol, accelerația tangențială este pur și simplu zero.
↑ 1 2 Schneider V. E. et al. Un scurt curs de matematică superioară. Proc. indemnizație pentru universități. M., „Mai înalt. școală”, c. 368-370.

mișcare mecanică
sistem de referință	cadru inerțial de referință Cadrul de referință non-inerțial Mișcare compusă Principiul relativității
Punct material	Mișcare uniformă Mișcare rectilinie Ecuația mișcării Ecuații de mișcare într-un cadru de referință non-inerțial Traiectorie (cale) in miscare Viteză Accelerație ( accelerare centripetă accelerație tangențială ) liniuță
Corpul fizic	mișcare de translație Mișcare plan-paralelă ( translație paralelă ) Mișcare sferică ( Mișcare rotativă Mișcare circulară Precesiune nutatie )
continuum	flux laminar curgere turbulentă
Concepte înrudite	Planul de viteză Tracțiunea trenului Șase grade de libertate