Cartografiere conformă
O mapare conformă este o mapare continuă care păstrează unghiurile dintre curbe și, prin urmare, forma figurilor
infinitezimale .
Definiție
O mapare unu-la-unu a unui domeniu D pe un domeniu D * ( spațiu euclidian sau varietate riemanniană ) se numește conformă ( lat. conformis - similar) dacă, într-o vecinătate a oricărui punct D , diferența acestei transformări este alcătuirea unei transformări ortogonale şi a unei homotezii .
Acest termen provine de la analiza complexă , utilizată inițial doar pentru mapările conforme ale regiunilor plane.
Definiții înrudite
- Dacă orientarea este păstrată sub o mapare conformă , atunci se vorbeşte de o mapare conformă de primul fel ; dacă se schimbă la opus, atunci se vorbește despre o mapare conformă de al doilea fel sau o mapare anticonformă .
- Se spune că două metrici dintr-o varietate netedă sunt echivalente conform dacă există o funcție netedă astfel încât . În acest caz, funcția se numește factor de conformare .
![g,{\tilde g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01d3506848584edd224eaf79c4d190f22074b1b)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
![\psi :M\la \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04fe3d0b50161df124ad982e873649267bf1a0a)
![{\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\cdot \psi }g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796d83a2a04fdccd12a919daee6266991255be06)
![{\tilde g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf709e979316ee494a3f076f7e1d97be44a3f8f)
Proprietăți
unde și notăm tensorii Weyl pentru și, respectiv.
![{\tilde W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dae50f239be9486a2273ec98c497e983610fab1)
![W](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7)
![{\tilde g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf709e979316ee494a3f076f7e1d97be44a3f8f)
- Pentru metrici echivalente conform
![{\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\psi }{\cdot }g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfaaa80643b883f2384534b1cfe34902ceaea9dc)
- Conexiunile sunt legate prin următoarea formulă:
![{\displaystyle {\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi ){\cdot }Xg(X,Y){ \cdot }\nabla \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b425516e08c882185997e457ce1344004339eec)
- Curbururile sunt legate prin următoarea formulă:
![-Hess_{\psi }(X,X)-Hess_{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e395402993d9d13b76a3ce49b00977b045db830)
dacă a denotă
Hessianul funcției .
![g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d19363aa1024d6acedc39d2d160d7939fa252d)
![\psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
- În cazul bidimensional , deci formula poate fi scrisă ca
![{\displaystyle |\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049a831a6de845d496b4d77a5041155997f848bd)
![{\displaystyle e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\triangle _{g}\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b511cddbde1b1a32278f3323fe933a3ace2aeb87)
unde denotă
laplacianul în raport cu .
![{\displaystyle \triunghi _{g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d8e522266da6fd59fc4a4e28c253eaf4621924)
- Pentru o pereche ortonormală de vectori și , curbura secțiunii în direcție poate fi scrisă după cum urmează:
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
![{\displaystyle X\wedge Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edc6915b42026ef5d46c585f7e44955f2d15ecf)
![{\displaystyle {\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_ {f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f305ca0c74cb42530f7e2b035de496829cf3a2)
unde .
Exemple
Istorie
L. Euler , B. Riemann , K. Gauss , A. Poincaré , K. Carathéodory , N. E. Zhukovskii , S. A. Chaplygin , M. A. Lavrentiev au fost angajați în studiul cartografiilor conformale .
Aplicație
Cartografierea conformală este utilizată în cartografie , electrostatică pentru calcularea distribuției câmpurilor electrice [1] , mecanica continuumului ( hidro- și aeromecanica , dinamica gazelor , teoria elasticității , teoria plasticității etc.).
Literatură
- Aleshkov Yu. Z. Prelegeri despre teoria funcției unei variabile complexe, Sankt Petersburg: editura Universității de Stat din Sankt Petersburg, 1999;
- Ivanov V. I. Hărți conform și aplicațiile lor (un scurt eseu istoric). // Cercetări istorice și matematice . - M. : Janus-K, 2001. - Nr. 41 (6) . — S. 255-266. .
- Carathéodory K. Cartografierea conformă. M.-L.: Ed. tehnică şi teoretică de stat ONTI, 1934 / Per. din engleza. M. V. Keldysha
- Lavrentiev M.A. Mapări conforme. M.-L.: Gostekhizdat, 1946. 160 p.
- Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
- Yanushauskas AI Analogi tridimensionali ai mapărilor conforme. Novosibirsk: Nauka, 1982. 173 p., 2650 exemplare.
- Radygin V. M. , Polyansky I. S. Metode de cartografiere conformă a poliedrelor în // Vestn. Udmurtsk. universitate Mat. Blană. Calculator. Nauki, 27:1 (2017), 60–68.
![\mathbb {R} ^{3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5)
Vezi și
Link -uri
- ↑ Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (germană) // Archiv ftir Elektrotechnik. - 1923. - Bd. 12 . — S. 1-15 . - doi : 10.1007/BF01656573 .