Coordonatele Rindler

În fizica relativistă , coordonatele Rindler sunt un sistem de coordonate care reprezintă o porțiune din spațiu-timp plat , numit și spațiu Minkowski . Coordonatele lui Rindler au fost introduse de Wolfgang Rindler pentru a descrie spațiu-timpul unui observator uniform accelerat .

Relația cu coordonatele carteziene

Pentru a obține coordonatele Rindler, este firesc să începeți de la coordonatele galileene

ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2},\;\;-\infty <T,\;X,\;Y,\ ;Z<\infty\;.

În regiunea , care este adesea numită Rindler Wedge , definim noi coordonate prin următoarea transformare $0<X<\infty ,\;-X<T<X$

t=\,{\mathrm {arth}}\,{\frac {T}{X}},\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y= Y,\quad z=Z.

Transformarea inversă va fi

T=x\,{\mathrm {sh}}\,t,\quad X=x\,{\mathrm {ch}}\,t,\quad Y=y,\quad Z=z.

În coordonatele Rindler, elementul liniar al spațiului Minkowski intră

ds^{2}=-x^{2}\,dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\quad 0<x<\infty ,\quad - \infty <t,\;y,\;z<\infty .

Observatorii lui Rindler

În noile coordonate, este firesc să se introducă un câmp tetrad covariant

d\sigma ^{0}=-x\,dt,\quad d\sigma ^{1}=dx,\quad d\sigma ^{2}=dy,\quad d\sigma ^{3}=dz,

care corespunde câmpului dual al vectorilor contravarianți tetradici

{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}\,\partial _{t},\quad {\vec {e}}_{1}=\partial _{x },\quad {\vec {e}}_{2}=\partial _{y},\quad {\vec {e}}_{3}=\partial _{z}.

Aceste câmpuri descriu cadrele de referință Lorentz locale în spațiul tangent în fiecare eveniment al zonei acoperite de coordonatele Rindler, adică wedge Rindler. Curbele integrale ale câmpului vectorial unitar de timp dau o congruență de timp , constând din liniile lumii ale unei familii de observatori numite observatori Rindler . În coordonatele Rindler, liniile lor mondiale sunt reprezentate de linii de coordonate verticale . Folosind transformările de coordonate introduse mai sus, este ușor de arătat că în coordonatele carteziene originale aceste linii se transformă în ramuri de hiperbole. ${\vec {e}}_{0}$ $x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}$

Ca și în cazul oricărei congruențe asemănătoare timpului într-o varietate Lorentz, această congruență poate fi supusă unei descompunere cinematică (vezi ecuația lui Raychaudhuri ). În cazul în cauză, expansiunea și rotația congruenței observatorilor Rindler sunt identic egale cu zero. Dispariția tensorului de expansiune presupune ca fiecare observator să mențină o distanță constantă față de cei mai apropiați vecini . Dispariția tensorului de rotație, la rândul său, înseamnă că liniile lumii ale observatorilor nu se răsucesc una în jurul celeilalte.

Vectorul de accelerație al fiecărui observator este dat de derivata covariantă

\nabla _{({\vec {e}}_{0}}}{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}{\vec {e}}_{1 }

Aceasta înseamnă că fiecare observator Rindler accelerează în direcția , experimentând o accelerație de magnitudine constantă , astfel încât liniile lor lumii sunt linii de mișcare hiperbolice , analogii lorentziani ai cercurilor, adică linii de prima curbură constantă și zero secundă. $\partial _{x}$

Datorită nerotării observatorilor lui Rindler , congruența lor este și ortogonală , adică există o familie de hipersuprafețe în fiecare punct din care vectorii de congruență sunt proporționali cu normalele acelor suprafețe. Secțiunile de timp ortogonale corespund ; ele corespund semi-hiperplanurilor orizontale în coordonatele Rindler și semi-hiperplanurilor oblice în coordonatele carteziene care trec prin (vezi figura de mai sus). Introducând un element de linie , vedem că acesta descrie geometria euclidiană obișnuită . Astfel, coordonatele spațiale ale lui Rindler au o interpretare foarte simplă, compatibilă cu afirmația despre staționaritatea reciprocă a observatorilor Rindler. Vom reveni la această proprietate a „rigidității” mai târziu. $t=t_{0}$ $T=X=0$ $dt=0$ $d\sigma ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;0<x<\infty ,\;-\infty <y,\;z<\infty$

O proprietate „paradoxală” a coordonatelor Rindler

Rețineți că observatorii Rindler cu coordonate mai mici accelerează mai puternic ! Acest lucru poate părea ciudat, deoarece în fizica newtoniană, observatorii care mențin o distanță constantă unul de celălalt ar trebui să experimenteze aceeași accelerație. Dar în fizica relativistă, capătul din spate al unei tije „absolut rigide”, accelerat în direcția propriei extinde de către forța aplicată, trebuie să accelereze puțin mai mult decât capătul din față. $X$

Acest fenomen stă la baza paradoxului lui Bell . Cu toate acestea, aceasta este pur și simplu o consecință a cinematicii relativiste. O modalitate de a arăta acest lucru este de a considera mărimea vectorului de accelerație ca curbura liniei mondiale corespunzătoare. Dar liniile lumii ale observatorilor Rindler sunt analogi ale familiei cercurilor concentrice în planul euclidian, deci avem de-a face cu analogul lorentzian al faptului binecunoscut: în familia cercurilor concentrice, cercurile interioare se abat de la o linie dreaptă. pe unitatea de lungime a arcului mai repede decât cele exterioare .

Observatorii Minkowski

De asemenea, merită să introducem un cadru alternativ de referință dat de alegerea standard a tetradelor în coordonatele Minkowski

{\vec {f}}_{0}=\partial _{T},\quad {\vec {f}}_{1}=\partial _{X},\quad {\vec {f}}_ {2}=\partial _{Y},\quad {\vec {f}}_{3}=\partial _{Z}.

Transformând aceste câmpuri vectoriale în coordonate Rindler, obținem că în pană Rindler acest cadru de referință are forma

\left\{{\begin{matrix}{\vec {f}}_{0}={\frac {{\mathrm {ch}}\,t}{x}}\,\partial _{t}- {\mathrm {sh}}\,t\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{1}=-{\frac {{\mathrm {sh}}\,t}{x }}\,\partial _{t}+{\mathrm {ch}}\,t\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{2}=\partial _{y}, \quad {\vec {f}}_{3}=\partial _{z}\end{matrix}}\right.

Efectuând expansiunea cinematică a congruenței temporale definită de câmpul vectorial , obținem în mod evident expansiunea și rotația zero și, în plus, absența accelerației . Cu alte cuvinte, această congruență este o geodezică ; observatorii corespunzători sunt în cădere liberă . În sistemul de coordonate carteziene original, acești observatori, numiți observatori Minkowski , sunt în repaus. ${\vec {f}}_{0}$ $\nabla _{({\vec {f}}_{0}}}{\vec {f}}_{0}=0$

În coordonatele Rindler, liniile lumii ale observatorilor Minkowski sunt arce hiperbolice care se apropie asimptotic de planul de coordonate . În special, în coordonatele Rindler, linia mondială a observatorului Minkowski care trece prin eveniment va avea forma $x=0$ $t=t_{0},\;x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}$

t=\,{\mathrm {arth}}\,{\frac {s}{x_{0}}},\quad x={\sqrt {x_{0}^{2}-s^{2}} },\quad y=y_{0},\quad z=z_{0},\quad -x_{0}<s<x_{0}\;,

unde este momentul potrivit al acestui observator. Rețineți că coordonatele Rindler acoperă doar o mică parte din istoria completă a acestui observator! Acest lucru arată în mod direct că coordonatele lui Rindler nu sunt complete din punct de vedere geodezic : geodeziile asemănătoare timpului ies din zona acoperită de aceste coordonate în timp propriu finit. Desigur, acest lucru era de așteptat, deoarece coordonatele Rindler acoperă doar o parte din coordonatele carteziene originale, care sunt complete din punct de vedere geodezic. $s$

Orizontul lui Rindler

Coordonatele Rindler au o singularitate de coordonate la , unde tensorul metric (exprimat în coordonate Rindler) are un determinant de dispariție . Acest lucru se datorează faptului că, pe măsură ce accelerația observatorilor Rindler diverge, aceasta tinde spre infinit. După cum se poate observa din figura care ilustrează pană Rindler, locul din coordonatele Rindler corespunde locului din coordonatele Minkowski, care constă din două semiplane asemănătoare luminii, fiecare dintre acestea fiind acoperită de propria sa geodezică asemănătoare luminii. congruenţă. Acești loci se numesc orizontul Rindler . $x=0$ $x\rightarrow 0$ $x=0$ $T^{2}=X^{2},\;X>0$

Aici considerăm pur și simplu orizontul ca limită a zonei acoperite de coordonatele Rindler. Articolul Rindler's Horizon arată că acest orizont este de fapt similar în proprietățile de bază cu orizontul de evenimente al unei găuri negre .

Linii geodezice

Ecuațiile geodezice din coordonatele Rindler sunt pur și simplu derivate din Lagrangian :

{\ddot {t}}+{\frac {2}{x}}\,{\dot {x}}{\dot {t}}=0,\quad {\ddot {x}}+x{\ punct {t}}^{2}=0,\quad {\ddot {y}}=0,\quad {\ddot {z}}=0\;.

Desigur, în coordonatele carteziene originale, aceste geodezice arată ca niște linii drepte, deci pot fi obținute cu ușurință din linii drepte printr-o transformare de coordonate. Cu toate acestea, va fi instructiv să obțineți și să studiați geodezici în coordonatele Rindler, indiferent de coordonatele originale, și asta este exact ceea ce se va face aici.

Din prima, a treia și a patra ecuație se obțin imediat primele integrale

{\dot {t}}={\frac {E}{x^{2}}},\quad {\dot {y}}=P,\quad {\dot {z}}=Q\;.

Dar din elementul de linie rezultă unde pentru geodezici asemănătoare timpului, luminii și, respectiv, spațiului. Aceasta dă a patra prima integrală a ecuațiilor, și anume $\varepsilon =-x^{2}\,{\dot {t}}^{2}+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\;,$ $\varepsilon =-1,\,0,\,1$

{\punct {x}}^{2}=\left(-\varepsilon +{\frac {E^{2}}{x^{2}}}\right)-P^{2}-Q^{ 2}\;.

Acest lucru este suficient pentru rezolvarea completă a ecuațiilor geodezice.

În cazul geodezicilor luminoase , de la non-zero , coordonatele se modifică în intervalul . ${\frac {E^{2}}{x^{2}}}-P^{2}-Q^{2}$ $E$ $X$ $0<x<{\frac {E}{{\sqrt {P^{2}+Q^{2))))}$

Familia completă de șapte parametri de geodezice asemănătoare luminii care trec prin orice eveniment tip pană Rindler este

{\begin{matrice}t-t_{0}&=&{\mathrm {arth}}\left(\displaystyle {\frac {s\,(P^{2}+Q^{2})-{\ sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0}^{2)))){E}}\dreapta)\\&&+~{\mathrm { arth}}\,\left(\displaystyle {\frac {{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0}^{2)))) {E}}\dreapta)\end{matrice}}

x={\sqrt {x_{0}^{2}+2\,s\,{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0} ^{2}}}-s^{2}\,(P^{2}+Q^{2})}}

y-y_{0}=P\,s;\quad z-z_{0}=Q\,s.

Prin trasarea traiectoriilor geodezicilor asemănătoare luminii care trec printr-un singur eveniment (adică prin proiectarea lor în spațiul observatorilor Rindler ), obținem o imagine asemănătoare unei familii de semicercuri care trec printr-un punct și ortogonale cu orizontul Rindler. $t=0$

Valoare fermă

Faptul că, în coordonatele Rindler, proiecțiile geodezicelor luminoase pe orice felie spațială sunt pur și simplu semicerce pentru observatorii Rindler poate fi verificat direct din soluția generală dată mai sus, dar există o modalitate mai ușoară de a vedea acest lucru. Într -un spațiu-timp static, oricând se poate evidenția un câmp nerăușit al vectorului Killing asemănător timpului . În acest caz, există o familie definită în mod unic de hipersuprafețe spațiale (identice) - felii ortogonale cu liniile lumii corespunzătoare ale observatorilor statici (care ar putea să nu fie inerțiale). Acest lucru ne permite să definim o nouă metrică pe oricare dintre aceste suprafețe, care este conformă cu metrica secțiunii indusă inițială și are proprietatea că geodezicele acestei noi metrici ( a unei metrici riemanniene pe o varietate 3-riemanniană) urmează exact proiecțiile lui geodezicele spațio-temporale asemănătoare cu lumina pe acea felie. . Această nouă metrică se numește metrica Fermat (prin analogie cu principiul lui Fermat ), și într-un spațiu-timp static cu un sistem de coordonate în care elementul de linie are forma

ds^{2}=g_{{0}}\,dt^{2}+g_{{jk}}\,dx^{j}\,dx^{k},\quad 1\leqslant j,\; k\leqslant 3

ia formă la tăiere $t=t_{0}$

d\rho ^{2}={\frac {g_{{jk}}\,dx^{j}\,dx^{k}}{-g_{{00}}}}

În coordonatele Rindler, o traducere asemănătoare timpului este un astfel de câmp Killing, astfel încât pană Rindler este un spațiu-timp static (ceea ce nu este surprinzător, deoarece face parte din spațiu-timpul static Minkowski). Prin urmare, se poate scrie metrica Fermat pentru observatorii Rindler: $\partial _{t}$

d\rho ^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{x^{2}}},\quad 0<x<\infty ,\quad -\infty <y,\;z<\infty \;.

Dar această expresie coincide cu binecunoscutul element liniar al spațiului hiperbolic în coordonatele semispațiului superior . Se apropie ca semnificație de coordonatele și mai bine cunoscute ale semiplanului superior pentru planul hiperbolic , familiare generațiilor de studenți ai analizei complexe în legătură cu mapările conforme (și alte probleme) și mulți cititori pricepuți la matematică știu deja că liniile geodezice în modelul semiplan superior sunt semicercuri (ortogonale la cercul la infinit reprezentat de axa reală). ${\mathbf {H}}^{3}$ ${\mathbf {H}}^{2}$ ${\mathbf {H}}^{2}$

Simetrii

Deoarece coordonatele Rindler acoperă o parte a spațiului Minkowski, ne-am aștepta să aibă și 10 câmpuri vectoriale Killing independente liniar. Mai mult, în coordonate carteziene ele pot fi scrise imediat, respectiv: un subgrup de translații temporale cu un parametru și trei parametrii - translații spațiale, rotații spațiale și impulsuri spațiu-timp. Împreună acești vectori generează grupul Poincaré (izocron propriu-zis), grupul de simetrie spațială Minkowski.

Cu toate acestea, este de asemenea util să scrieți și să rezolvați ecuațiile Killing direct în coordonatele Rindler. Apoi puteți obține 4 câmpuri Killing, asemănătoare cu cele originale în coordonate carteziene:

\partial _{t},\;\;\partial _{y},\;\;\partial _{z},\;\;-z\,\partial _{y}+y\,\partial _ {z}

(translații în timp, translații spațiale, ortogonale pe direcția de accelerație și rotații spațiale într-un plan ortogonal pe direcția accelerației) plus încă șase câmpuri:

\exp(\pm t)\,\left({\frac {y}{x}}\,\partial _{t}\pm \left(y\,\partial _{x}-x\,\partial _{y}\dreapta)\dreapta)\;,

\exp(\pm t)\,\left({\frac {z}{x}}\,\partial _{t}\pm \left(z\,\partial _{x}-x\,\partial _{z}\dreapta)\dreapta)\;,

\exp(\pm t)\,\left({\frac {1}{x}}\,\partial _{t}\pm \partial _{x}\right)\;.

Observăm că acești generatori pot fi în mod natural descompuse în generatoare spațiale Minkowski în coordonate carteziene, astfel încât să existe o combinație a acestora corespunzătoare generatorului de translații temporale , deși paa Rindler nu este, evident, invariantă în astfel de translații. Motivul pentru aceasta este natura locală a soluțiilor ecuațiilor Killing, precum și a oricăror ecuații diferențiale pe o varietate, atunci când existența soluțiilor locale nu garantează existența lor în sens global. Adică, în condiții adecvate privind parametrii de grup, fluxurile de ucidere pot fi întotdeauna definite într-un cartier mic adecvat , dar fluxul poate să nu fie bine definit la nivel global . Acest fapt nu este direct legat de structura lorentziană a spațiu-timpului, deoarece aceleași dificultăți apar în studiul varietăților netede arbitrare . $\partial _{T}$

Diverse definiții ale distanței

Unul dintre multele lucruri instructive care provin din studierea coordonatelor Rindler este faptul că observatorii Rindler pot folosi mai multe definiții diferite (dar la fel de rezonabile) ale distanței .

Prima definiție a fost implicată în mod tacit de noi mai devreme: metrica riemanniană indusă pe secțiuni spațiale dă definiția distanței, care poate fi numită distanța de-a lungul riglei , deoarece sensul său operațional este tocmai acesta. $t=t_{0}$

Din punct de vedere al măsurătorilor fizice standard, este metrologic mai corect să se utilizeze distanța radar dintre liniile lumii. Se calculează prin trimiterea unui pachet de undă de-a lungul unei geodezice asemănătoare luminii de la linia lumii unui observator (eveniment ) la linia lumii a obiectului, unde pachetul este reflectat (eveniment ) și returnat observatorului (eveniment ). Distanța radar este apoi găsită ca jumătate din produsul vitezei luminii înmulțit cu timpul de călătorie dus-întors al pachetului de pe ceasul observatorului. $A$ $B$ $C$

(Din fericire, în spațiul Minkowski putem ignora posibilitatea unor geodezici asemănătoare luminii multiple între două linii de lume, dar în modelele cosmologice și în alte aplicații nu mai este cazul! De asemenea, trebuie avertizat că „distanța” obținută în acest fel este în general nu este simetric în raport cu observatorul și obiectul de relocare!)

În special, luați în considerare o pereche de observatori Rindler cu coordonate și , respectiv. (Rețineți că primul dintre ele accelerează ceva mai puternic decât al doilea.) Presupunând în elementul liniar Rindler, obținem cu ușurință ecuația geodezicei asemănătoare luminii în direcția accelerației: $x=x_{0},\;y=0,\;z=0$ $x=x_{0}+h,\;y=0,\;z=0$ $dy=dz=0$

t-t_{0}=\log(x/x_{0})\;.

Prin urmare, distanța radar dintre acești observatori este dată de

x_{0}\,\log \left(1+{\frac {h}{x_{0}}}\right)=h-{\frac {h^{2}}{2\,x_{0} }}+O\stanga(h^{3}\dreapta)\;.

Este ceva mai mică decât „distanța riglei”, dar pentru punctele din apropiere diferența va fi neglijabilă.

A treia definiție posibilă a distanței este următoarea: observatorul măsoară unghiul subtins de un disc cu dimensiunea unitară plasat pe o anumită linie a lumii. Această distanță se numește distanță unghiulară sau distanță diametru optic . Datorită naturii simple a geodezicilor asemănătoare luminii din spațiul Minkowski, această distanță dintre doi observatori Rindler orientați de-a lungul accelerației este ușor de calculat. Din figurile de mai sus se poate observa că distanţa unghiulară depinde de : . Prin urmare, dacă este pozitiv, primul observator măsoară o distanță unghiulară puțin mai mare decât distanța riglei, care la rândul său este puțin mai mare decât distanța radar. $h$ $h+{\frac {h^{2}}{x_{0}}}+O\left(h^{3}\dreapta)$ $h$

Există și alte definiții ale distanței, dar trebuie remarcat faptul că, deși valorile acestor „distanțe” sunt diferite, totuși, toți sunt de acord că distanțele dintre fiecare pereche de observatori Rindler rămân constante în timp . Faptul că observatorii infinit apropiați sunt reciproc imobili rezultă din faptul notat mai devreme: tensorul de expansiune al congruenței liniilor lumii ale observatorilor Rindler este identic egal cu 0. Pentru distanțe finite, această proprietate de „rigiditate” este de asemenea adevărată. Aceasta este într-adevăr o proprietate foarte importantă, deoarece în fizica relativistă se știe de mult timp că este imposibil să accelerezi tija absolut rigid , vezi paradoxul lui Bell (și, în mod similar, este imposibil să rotești discul absolut rigid , vezi paradoxul lui Ehrenfest ) - cel putin fara a aplica solicitari neomogene. Cel mai simplu mod de a verifica acest lucru este să realizezi faptul că în fizica newtoniană, dacă acționezi asupra unui corp absolut rigid cu o anumită forță, toate elementele sale vor schimba imediat starea de mișcare. Acest lucru contrazice în mod evident principiul relativist al caracterului finit al ratei de transmitere a efectelor fizice.

Prin urmare, dacă o tijă este accelerată de o forță externă aplicată oriunde pe lungimea sa, elementele sale nu pot experimenta aceeași accelerație decât dacă tija este întinsă sau comprimată în mod constant. Cu alte cuvinte, o tijă accelerată staționară (față de ea însăși) trebuie să conțină solicitări neomogene. Mai mult, în orice experiment de gândire cu forțe variabile în timp aplicate brusc sau treptat unui obiect, nu se poate limita doar la cinematică și nu se poate evita problema includerii în considerare a modelului corpului însuși, adică a dinamicii.

Revenind la problema valorii operaționale a distanței de-a lungul riglei, observăm că pentru o definiție complet clară, trebuie să includă un model al substanței riglei în sine.

Vezi și

Paradoxul lui Bell este un experiment de gândire paradoxal care este adesea studiat folosind coordonatele Rindler.
Coordonatele născute sunt alte coordonate importante din spațiul Minkowski care descriu observatorii care se rotesc.
Paradoxul Ehrenfest este un alt experiment de gândire paradoxal care este adesea studiat folosind coordonatele Born.
Congruență (relativitate generală)
Câmpuri de notebook
Surse despre relativitatea generală
Ecuația Raychaudhuri
Efectul Unruh

Link -uri

Link-uri generale:

Boothby, William M. O introducere în varietățile diferențiabile și geometria riemanniană . — New York: Academic Press, 1986. Vezi capitolul 4 pentru o introducere în câmpurile vectoriale pe varietăți netede.

Frankel, Theodore. Curbura gravitațională: o introducere în teoria lui Einstein . - San Francisco: WH Freeman, 1979. Vezi capitolul 8 pentru o derivare a metricii lui Fermat.

Coordonatele Rindler:

Misner, Charles; Thorne, Kip S. și Wheeler, John Archibald. Gravity (engleză) . - San Francisco: W.H. Freeman, 1973. Vezi secțiunea 6.6 .

Rindler, Wolfgang. Relativitate : specială, generală și cosmologică . — Oxford: Oxford University Press, 2001.

Orizontul Rindler:

Jacobson, Ted; și Parenti, Renaud. Horizon Entropie // Găsit . Fiz. : jurnal. - 2003. - Vol. 33 . - P. 323-348 . imprimare

Barceló, Carlos; Liberati, Stefano; și Visser, Matt. Gravitație analogică . Recenzii vii în relativitate . Consultat la 6 mai 2006. Arhivat din original pe 22 februarie 2012. (nedefinit)