Sistem de coordonate curbiliniu

Sistemul de coordonate curbiliniu , sau coordonatele curbilinie , este un sistem de coordonate în spațiul euclidian ( afin ) sau în regiunea conținută în acesta. Coordonatele curbilinie nu se opune celor rectilinii , acestea din urmă fiind un caz special al primelor. Ele sunt de obicei aplicate pe plan ( n = 2) și în spațiu ( n = 3); numărul de coordonate este egal cu dimensiunea spațială n . Cel mai cunoscut exemplu de sistem de coordonate curbiliniu sunt coordonatele polare dintr-un plan.

Proprietățile locale ale coordonatelor curbilinii

Când luăm în considerare coordonatele curbilinie în această secțiune, vom presupune că avem în vedere un spațiu tridimensional ( n =3) echipat cu coordonate carteziene x , y , z . Cazul altor dimensiuni diferă doar prin numărul de coordonate.

În cazul unui spațiu euclidian , tensorul metric , numit și pătratul diferenţialului arcului , va avea în aceste coordonate forma corespunzătoare matricei de identitate:

dS^{2}={\mathbf {dx}}^{2}+{\mathbf {dy}}^{2}+{\mathbf {dz}}^{2}.

Caz general

Fie , , niște coordonate curbilinii, pe care le vom considera ca fiind date funcții netede ale lui x , y , z . Pentru ca cele trei funcții , , să servească drept coordonate într-o regiune a spațiului, este necesară existența unei mapări inverse: $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$

\left\{{\begin{matrix}x=\varphi _{1}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\y=\varphi _ {2}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\z=\varphi _{3}\left(q_{1},\;q_{ 2},\;q_{3}\dreapta),\end{matrice}}\dreapta.

unde sunt funcții definite într-un domeniu al seturilor de coordonate. $\varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}$ $\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right)$

Analiza bazelor locale și tensorilor

În calculul tensorului, puteți introduce vectorii de bază locali: , unde sunt ortele sistemului de coordonate carteziene, este matricea Jacobi , coordonatele în sistemul cartezian, sunt coordonatele curbilinii de intrare. Este ușor de observat că coordonatele curbilinii se schimbă în general de la un punct la altul. Să indicăm formulele pentru legătura dintre coordonatele curbilinii și carteziene: unde , unde E este matricea identității. Produsul a doi vectori ai unei baze locale formează o matrice metrică : ${\mathbf {R_{j))}={\frac {d{\mathbf r}}{dy^{j}}}={\frac {dx^{i}}{dy^{j}}}{ \mathbf e}_{i}=Q_{j}^{i}{\mathbf e}_{i}$ ${\mathbf e}_{i}$ $Q_{j}^{i}$ $x^{i}$ $y^{i}$

${\mathbf R}_{i}=Q_{i}^{j}{\mathbf e}_{j}$
${\mathbf e}_{i}=P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$ $P_{i}^{j}Q_{j}^{i}=E$

${\mathbf R}_{i}{\mathbf R}_{j}=Q_{i}^{n}Q_{j}^{m}d_{{nm))=g_{{ij))$
${\mathbf R}^{i}{\mathbf R}^{j}=P_{n}^{i}P_{m}^{j}d^{{nm))=g^{{ij))$
$g_{{ij}}g^{{jk}}=g^{{jk}}g_{{ij}}=d_{i}^{k}$ $d_{{ij}},d^{{ij}},d_{j}^{i}$
${\mathbf T}$
${\mathbf T}=T^{{i_{1}...i_{n))}{\mathbf e}_{i}\otimes ...\otimes {\mathbf e}_{n}=T ^{{i_{1}...i_{n}}}P_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}...P_{{i_{n}}}^{{j_ {n}}}{\mathbf R}_{{j_{1}}}\otimes ...\otimes {\mathbf R}_{{j_{n}}}$

${\mathbf v}=v^{i}{\mathbf e}_{i}=v^{i}P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$

Coordonate curbilinii ortogonale

În spațiul euclidian, utilizarea coordonatelor curbilinii ortogonale este de o importanță deosebită , deoarece formulele referitoare la lungime și unghiuri par mai simple în coordonatele ortogonale decât în cazul general. Acest lucru se datorează faptului că matricea metrică în sistemele cu bază ortonormală va fi diagonală, ceea ce va simplifica foarte mult calculele.
Un exemplu de astfel de sisteme este un sistem sferic în ${\mathbb {R}}^{3}$

Lame cote

Scriem diferența de arc în coordonate curbilinie în forma (folosind regula de însumare Einstein ):

dS^{2}=\left({\frac {\partial \varphi _{1)){\partial q_{i))}{\mathbf {dq))_{i}\right)^{2}+ \left({\frac {\partial \varphi _{2)){\partial q_{i))}{\mathbf {dq))_{i}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}}{\mathbf {dq}}_{i}\right)^{2},~i=1,2,3

Ținând cont de ortogonalitatea sistemelor de coordonate ( la ), această expresie poate fi rescrisă ca ${\mathbf {dq}}_{i}\cdot {\mathbf {dq}}_{j}=0$ $eu \ne j$

dS^{2}=H_{1}^{2}dq_{1}^{2}+H_{2}^{2}dq_{2}^{2}+H_{3}^{2}dq_{ 3}^{2},

Unde

H_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\ parțial \varphi _{2}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}} \right)^{2}}};\ i=1,\;2,\;3

Valorile pozitive care depind de un punct din spațiu se numesc coeficienți Lame sau factori de scară. Coeficienții Lame arată câte unități de lungime sunt conținute în unitatea de coordonate a unui punct dat și sunt utilizați pentru a transforma vectori atunci când se trece de la un sistem de coordonate la altul. $Bună\$

Tensorul metricii riemanniene, scris în coordonate , este o matrice diagonală , pe a cărei diagonală sunt pătratele coeficienților Lamé: ${q_{i}}$

g_{{ii}}={H_{i}}^{2}

g_{{ij}}=0

pentru i ≠ j

, acesta este

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}{H_{1}}^{2}&0&0\\0&{H_{2}}^{2}&0\\0&0&{H_{3}}^{2 }\end{pmatrix}}

Exemple

Coordonatele polare ( n = 2)

Coordonatele polare din plan includ distanța r până la pol (origine) și direcția (unghiul) φ.

Conexiunea coordonatelor polare cu carteziene:

\left\{{\begin{matrix}x=r\cos {\varphi };\\y=r\sin {\varphi }.\end{matrix}}\right.

Coeficienți lame:

{\begin{matrice}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r.\end{matrice))

Diferenţial de arc:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}.

La origine, funcția φ nu este definită. Dacă coordonata φ este considerată nu un număr, ci un unghi (un punct pe un cerc unitar ), atunci coordonatele polare formează un sistem de coordonate în zona obținută din întregul plan prin eliminarea punctului de origine. Dacă, totuși, φ este considerat un număr, atunci în zona desemnată va fi multivalorică , iar construcția unui sistem de coordonate strict în sens matematic este posibilă numai într-o zonă pur și simplu conexă care nu include originea coordonatelor, pt. de exemplu, pe un plan fără rază .

Coordonate cilindrice ( n =3)

Coordonatele cilindrice sunt o generalizare trivială a coordonatelor polare în cazul spațiului tridimensional prin adăugarea unei a treia coordonate z . Relația coordonatelor cilindrice cu carteziene:

{\begin{cases}&x=r\cos {\varphi };\\&y=r\sin {\varphi};\\&z=z.\end {cases))

Coeficienți lame:

{\begin{matrice}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r;\\H_{z}=1.\end{matrice))

Diferenţial de arc:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Coordonate sferice ( n = 3)

Coordonatele sferice sunt legate de coordonatele de latitudine și longitudine de pe sfera unității . Legătura coordonatelor sferice cu carteziene:

\left\{{\begin{matrix}x=r\sin {\theta }\cos {\varphi };\\y=r\sin {\theta }\sin {\varphi };\\z=r\ cos {\theta }.\end{matrice}}\right.

Coeficienți lame:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{\varphi }=r\sin {\theta }.\end{matrix))

Diferenţial de arc:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }d\varphi ^{2 }.

Coordonatele sferice, ca și coordonatele cilindrice, nu funcționează pe axa z { x =0, y =0}, deoarece coordonata φ nu este definită acolo.

Diverse coordonate exotice în plan ( n =2) și generalizările acestora

ortogonale:

Coordonate eliptice - extensibile la 3 dimensiuni
Coordonate parabolice - extensibile la 3 dimensiuni
Coordonate bipolare - extensibile la 3 dimensiuni
…

Alții:

…

Coordonate curbilinie în termeni de geometrie diferențială

Coordonatele curbilinie definite în diferite regiuni ale spațiului euclidian (afin) pot fi considerate ca o aplicație la spațiu a conceptului de varietate netedă . Și anume, cum să construiești un atlas de hărți .

Literatură

Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru oameni de știință și ingineri). - M. : Nauka, 1974. - 832 p.

Sisteme de coordonate
Numele coordonatelor	Abscisă Ordonată Aplicație
Tipuri de sisteme de coordonate	Sistem de coordonate rectiliniu Sistem de coordonate curbiliniu
Coordonate 2D	Coordonate biunghiulare Coordonate bicentrice Coordonate hiperbolice Coordonate polare Coordonate bipolare Coordonate parabolice Coordonate eliptice Coordonate tetraciclice Coordonate triliniare
Coordonatele 3D	Coordonate cilindrice Coordonate sferice Coordonatele bisferice Coordonatele toroidale Coordonate parabolice cilindrice Coordonate bicilindrice Coordonate elipsoidale Coordonate conice Coordonatele pentasferice Sistemul de coordonate dipolar
$n$ -coordonate dimensionale	coordonate carteziene Coordonate afine Coordonate proiective Coordonatele Plücker coordonate baricentrice
Coordonatele fizice	Coordonatele Rindler Coordonate născute Sistemul de coordonate ceresc Coordonatele geografice Sistemul de coordonate ortodomic principal
Definiții înrudite	Metoda coordonatelor Origine Axa de coordonate Vector Orth sistem de referință Benchmark Coeficienți lame Tensor metric