Metoda de împrăștiere inversă

Metoda împrăștierii inverse este o metodă analitică pentru rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuațiile de evoluție neliniare . Se bazează pe conexiunea unei ecuații neliniare cu datele de împrăștiere ale unei familii de operatori diferențiali liniari auxiliari , ceea ce face posibilă restabilirea evoluției soluției unei ecuații neliniare din evoluția datelor de împrăștiere.

Metoda este un analog al metodei Fourier pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale parțiale liniare . Rolul transformării Fourier în acest caz este jucat de maparea funcțiilor de coeficienți ale unui operator diferențial liniar într-o colecție de date de împrăștiere [1] . La aplicarea metodei, este necesar să se rezolve problema de împrăștiere inversă, care constă în restabilirea unui operator diferențial liniar din datele sale de împrăștiere.

Metoda se bazează pe reprezentarea ecuației neliniare investigate sub forma unei condiții de compatibilitate pentru un sistem de ecuații liniare, numită reprezentarea Lax [2] .

Ecuațiile integrabile prin metoda problemei inverse se caracterizează prin existența unor soluții exacte speciale — solitoni („unde solitare”).

Istorie

Metoda de împrăștiere inversă își are originea în 1967 în lucrările lui C. S. Gardner, J. M. Green, M. D. Kruskal și R. M. Miura, care au aplicat-o ecuației Korteweg-de Vries (KdV) [3] . Această ecuație a fost dezvoltată la sfârșitul secolului al XIX-lea pentru a descrie valurile în ape puțin adânci. În același timp, s-au obținut unele dintre soluțiile sale exacte - solitoni . Interesul pentru solitoni a fost reînnoit în legătură cu cercetările în fizica plasmei în anii 1960. În 1965, M. D. Kruskal și N. Zabuzhsky au descoperit prin simulare numerică că solitonii ecuației Korteweg-de Vries se ciocnesc elastic (un efect complet necaracteristic undelor liniare) [4] . Acest rezultat a dat impuls noilor studii analitice, care au dus la apariția metodei problemei inverse.

Metoda a fost dezvoltată în continuare în lucrarea lui P. Lax, care a dezvăluit mecanismul algebric de bază [5] . Mai târziu, K. S. Gardner, V. E. Zakharov și L. D. Faddeev au construit o teorie a ecuației Korteweg-de Vries ca sistem hamiltonian .

În 1971, V. E. Zakharov și A. B. Shabat au aplicat metoda problemei inverse unei alte ecuații importante pentru fizică, ecuația neliniară Schrödinger [6] . Curând, M. Wadati, folosind ideile problemei de împrăștiere directă și inversă, a propus o soluție la ecuația modificată Korteweg-de Vries (mKdV), iar M. Ablowitz, D. Kaup, A. Newell și H. Sigur au făcut același lucru pentru ecuația sinus-Gordon [7] . Apoi M. Ablowitz, D. Kaup, A. Newell și H. Sigur au propus o schemă care permite, pentru o problemă de împrăștiere dată, construirea unei ierarhii de ecuații de evoluție neliniare rezolvate prin metoda problemei inverse [8] .

Mai târziu, folosind metoda problemei de împrăștiere inversă, a fost construită o soluție pentru analogul de diferență al ecuației Korteweg-de Vries - au fost studiate lanțul Toda , soluții periodice și aproape periodice ale ecuației Korteweg-de Vries (înainte de aceasta, am vorbeam de soluții care scad rapid la infinit), soluții au fost obținute și alte ecuații neliniare [9] [10] .

Descrierea metodei pe exemplul ecuației Korteweg-de Vries

Conexiune cu operatorul Sturm-Liouville

Ecuația Korteweg-de Vries

u_t - 6 u u_x + u_{xxx} = 0

este condiția de compatibilitate pentru sistemul supradeterminat de ecuații liniare:

\begin{cases} (L - k^2) \psi = 0, \\ \psi_t + A \psi = 0, \end{cases}

Unde

L = -\frac{d^2}{dx^2} + u(x, t)

este operatorul Sturm-Liouville,

A = 4\frac{d^3}{dx^3} - 3 \left( u \frac{d}{dx} + \frac{d}{dx} u \right),

și este echivalentă cu următoarea relație de operator, numită reprezentare Lax :

L_t = [L, A] = LA - AL.

[2] [11]

Problemă de împrăștiere directă

Spectrul operatorului Sturm-Liouville (operator Schrödinger)

L = -\frac{d^2}{dx^2} + u(x), \quad -\infty < x < \infty

cu un potențial care scade suficient de rapid la , este format din două componente: una continuă care include semiaxa pozitivă și un număr finit de valori proprii discrete negative . Pentru a caracteriza partea continuă a spectrului, se introduce soluția ecuației , care este determinată de condițiile la limită asimptotice $u(x)$ $x \to \pm \infty$ $k^2 > 0$ $-p_n^2, \, n = 1, 2, \dots, N$ $L \psi = k^2 \psi$

\psi(x, k) \sim T(k) e^{-ikx}, \quad x \to -\infty,

\psi(x, k) \sim e^{-ikx} + R(k) e^{ikx}, \quad x \to +\infty.

Aceste condiţii determină în mod unic soluţia , precum şi coeficienţii de transmisie şi reflexie . Valorile proprii corespund funcțiilor proprii și constantelor de normalizare $\psi(x, k)$ $T(k)$ $R(k)$ $-p_n^2$ $f_{n}(x)$

\rho_n = \left[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_n^2(x)\, dx \right]^{-1}.

Datele de împrăștiere ale unui operator sunt un set de mărimi: $L$

J = \left\{ R(k), \, -\infty < k < +\infty; \, p_n, \rho_n, \, n = 1, 2, \dots, N \right\}.

Problema împrăștierii directe este de a determina datele de împrăștiere pentru un potențial dat [12] . $u$

Problemă de împrăștiere inversă

Problema împrăștierii inverse constă în restabilirea operatorului (și anume potențialul său ) din datele de împrăștiere. Una dintre principalele metode de rezolvare a problemei de împrăștiere inversă se bazează pe ecuația Gelfand - Levitan - Marchenko : $L$ $u$

K(x, y) + M(x + y) + \int\limits_x^{\infty} K(x, z) M(z + y) \, dz = 0, \quad y > x.

Aceasta este ecuația integrală Fredholm de al doilea fel în raport cu funcția (pentru fiecare fix ). Relațiază funcția , care este construită din datele scatter: $K(x, y)$ $X$ $M(x)$

M(x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} R(k) e^{ikx} \, dk + \sum_{n = 1}^ N \rho_n e^{-p_n x}

cu o funcție care poate fi utilizată pentru a găsi potențialul: $K(x, y)$

u(x) = -2\frac{d}{dx} K(x, x).

[13]

Evoluția datelor de împrăștiere

Dacă funcția variază în timp ca soluție pentru ecuația Korteweg-de Vries, atunci evoluția datelor de împrăștiere în timp este $u(x, t)$

R(k, t) = R(k, 0) e^{8 ik^3 t}, \quad p_n(t) = p_n(0), \quad \rho_n(t) = \rho_n(0) e^ {8 p_n^3 t}.

Este adevărat și invers [14] .

Schema metodei

Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuația Korteweg-de Vries prin metoda problemei de împrăștiere inversă este împărțită în trei etape:

Rezolvați problema împrăștierii directe: având în vedere condiția inițială , găsiți datele de împrăștiere . $u(x, 0)$ $J(0)$
Prin găsirea utilizând formule pentru evoluția datelor de împrăștiere. $J(0)$ $J(t)$
Rezolvați problema împrăștierii inverse: pe baza datelor de împrăștiere, restabiliți funcția — soluția dorită a problemei Cauchy. $J(t)$ $u(x, t)$

Trebuie remarcat faptul că toate etapele schemei sunt asociate cu studiul problemelor liniare [14] .

Solitons

Problemele de împrăștiere directă și inversă sunt rezolvate exact pentru potențiale de reflexie , pentru care coeficientul de reflexie este identic egal cu zero. În acest caz, soluția problemei inverse are forma $R(k)$

u(x) = -2\frac{d^2}{dx^2}\ln \det A(x),

unde este o matrice cu elemente $Topor)$ $N \ori N$

A_{nm} = \delta_{nm} + \frac{\rho_n}{p_n + p_m} e^{-(p_n+p_m)x}

(aici este simbolul Kronecker ). Proprietatea de reflectivitate este păstrată în timp. Dinamica temporală a potențialelor fără reflector se obține prin înlocuire $\delta_{nm}$

\rho_n \, \to \, \rho_n e^{8 p_n^3 t}

în definiţia unei matrice . Cel mai simplu potențial fără reflexie cu un nivel discret se numește soliton și are forma $A$ $p_1 = \varkappa$

u(x, t) = -\frac{2 \varkappa^2}{\operatorname{ch}^2 \varkappa(x - 4 \varkappa^2 t - \varphi)},

unde notația

\varphi = \frac{1}{2\varkappa} \ln \frac{\rho_1}{2 \varkappa}.

[cincisprezece]

Ecuații integrabile

Vezi și

Teoria sistemelor integrabile

Note

↑ Zaharov V. E. et al. Teoria solitonilor: metoda problemei inverse, 1980 , p. douăzeci.
↑ 1 2 Zaharov V. E. Metoda de împrăștiere inversă, 1992 .
↑ Gardner C.S.; Greene JM, Kruskal MD, Miura RM Metoda pentru rezolvarea ecuației Korteweg-deVries (engleză) // Scrisori de revizuire fizică. - 1967. - Vol. 19 . — P. 1095–1097 .
↑ Zabusky NJ, Kruskal MD Interacțiunea solitonilor într-o plasmă fără coliziune și recurența stărilor inițiale // Phys . Rev. Let.. - 1965. - Vol. 15 . - P. 240-243 .
↑ Lax PD Integrale ale ecuațiilor neliniare ale evoluției și undelor solitare // Comm . Măr pur. Matematică.. - 1968. - Vol. 21 . - P. 467-490 .
↑ Zakharov V. E. , Shabat A. B. Teoria exactă a autofocalizării bidimensionale și a automodulării unidimensionale a undelor într-un mediu neliniar // ZhETF. - 1971. - T. 61 . - S. 118-134 .
↑ Ablowitz MJ, Kaup DJ, Newell AC, Segur H. Method for solving the sin-Gordon equation // Phys . Rev. Lett. - 1973. - Vol. 30 . - P. 1262-1264 .
↑ Ablowitz MJ, Kaup DJ, Newell AC, Segur H. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems // Stud . Aplic. Matematică.. - 1974. - Vol. 53 . — P. 249-315 .
↑ Zaharov V. E. et al. Teoria solitonilor: metoda problemei inverse, 1980 , Prefață.
↑ Ablowitz M., Sigur H. Solitons and the inverse problem method, 1987 , p. 1.1.
↑ Zaharov V. E. et al. Teoria solitonilor: metoda problemei inverse, 1980 , p. 34.
↑ Calogero F., Degasperis A. Spectral transformations and solitons. Metode de rezolvare și cercetare a ecuațiilor evolutive, 1985 , p. 26-28.
↑ Calogero F., Degasperis A. Spectral transformations and solitons. Metode de rezolvare și cercetare a ecuațiilor evolutive, 1985 , p. 28.
↑ 1 2 Zaharov V. E. și colab.Teoria solitonilor: metoda problemei inverse, 1980 , p. 36.
↑ Zaharov V. E. et al. Teoria solitonilor: metoda problemei inverse, 1980 , Capitolul I, §3.

Literatură

Ablowitz M., Sigur H. . Solitons și metoda problemei inverse: Per. din engleză.- M . : Mir , 1987. - 479 p.
Buterin S. A., Ignatiev M. Yu., Kabanov S. N., Kuryshova Yu. V., Lukomsky D. S., Polikarpov S. I. . Metoda problemei inverse în teoria undelor neliniare . - Saratov: Statul Saratov. un-t , 2013. - 115 p.
Zaharov V. E. Metoda de împrăștiere inversă // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplasmic - Teorema lui Poynting. — S. 365−366. — 672 p. - 48.000 de exemplare. — ISBN 5-85270-019-3 .
Zaharov V. E. , Manakov S. V., Novikov S. P. , Pitaevsky L. P. . Teoria solitonilor: metoda problemei inverse. — M .: Nauka , 1980. — 320 p.
Calogero F., Degasperis A. . Transformări spectrale și solitoni. Metode de rezolvare şi studiere a ecuaţiilor evolutive: Per. din engleză.- M . : Mir , 1985. - 472 p.
Lam J. Jr. . Introducere în teoria solitonilor: Per. din engleză.- M . : Mir , 1983. - 294 p.
Marchenko V. A. . Operatorii Sturm–Liouville și aplicațiile acestora. - Kiev: Naukova Dumka , 1977.