Funcție liniară

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 29 septembrie 2021; verificările necesită 6 modificări .

Funcție liniară - funcție a formei

y=kx+b

(pentru funcțiile unei variabile).

Principala proprietate a funcțiilor liniare este că incrementul funcției este proporțional cu incrementul argumentului. Adică, funcția este o generalizare a proporționalității directe .

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă , motiv pentru care numele ei este conex. Aceasta se referă la o funcție reală a unei variabile reale.

În cazuri, funcțiile liniare sunt numite omogene (acesta este în esență un sinonim pentru proporționalitate directă), spre deosebire de funcțiile liniare neomogene . $b=0$ $b\neq 0$

Proprietăți

$k$ ( panta dreptei) este tangenta unghiului pe care linia îl formează cu direcția pozitivă a axei x și poate fi găsită din formula . $\alpha \in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi {2));\pi \right),$ $k=\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{1} -y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$
Când , linia formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei x . $k>0$
Când , linia formează un unghi obtuz cu direcția pozitivă a axei x . $k<0$
La , linia dreaptă este paralelă cu axa x . $k=0$

Unghiul dintre două drepte dat de ecuații și este determinat de egalitate: unde , adică dreptele nu sunt reciproc perpendiculare; pentru și liniile sunt paralele. $y=k_{1}x+b_{1},$ $y=k_{2}x+b_{2},$ ${\mathrm {tg}}\,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,$ $k_{1}k_{2}\neq -1,$ $k_{1}=k_{2},~\alpha =0$

$b$ este indicele ordonatei punctului de intersecție a dreptei cu axa y .
Pentru , linia trece prin origine. $b=0$

O funcție liniară este monotonă și neconvexă pe întregul domeniu al definiției , derivata și antiderivata funcției se vor scrie: $(\mathbb {R} )$ $f'(x)$ $F(x)$ $f(x)=kx+b$

$f'(x)=k$
$F(x)={\frac {kx^{2}}{2}}+bx+C$

Funcția inversă la : $f(x)$ $f^{-1}(x)={\frac {1}{k}}\,x-{\frac {b}{k}}$

Funcția liniară a mai multor variabile

Funcția liniară a variabilelor - funcție a formei $n$ $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}

unde sunt niste numere fixe. Domeniul de definire al unei funcții liniare este spațiul multidimensional al variabilelor reale sau complexe . Când o funcție liniară este numită omogenă sau formă liniară . $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $n$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $a_{0}=0$

Dacă toate variabilele și coeficienții sunt numere reale, atunci graficul unei funcții liniare în spațiul -dimensional al variabilelor este un hiperplan -dimensional $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $(n+1)$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y$ $n$

y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}

în special, la este o linie dreaptă în plan. $n=1$

Algebră abstractă

Termenul „funcție liniară”, sau, mai precis, „funcție liniară omogenă”, este adesea folosit pentru o mapare liniară a unui spațiu vectorial peste un câmp în acest câmp, adică pentru o astfel de mapare încât pentru orice elemente și orice egalitate $X$ $K$ $f:X\la K$ $x,y\în X$ $\alpha ,\beta \in K$

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)

mai mult, în acest caz, în locul termenului „funcție liniară”, se folosesc și termenii funcțional liniar și formă liniară – adică de asemenea o funcție liniară omogenă a unei anumite clase.

Algebra logicii

O funcție booleană se numește liniară dacă există astfel de , unde , încât pentru orice egalitate are loc: $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $a_{i}\in \{0,1\},\forall i=\overline {1,n}$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\ oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}

Funcții neliniare

Pentru funcțiile care nu sunt liniare, utilizați termenul de funcții neliniare . Același lucru este valabil și pentru utilizarea cuvântului neliniar în relație cu alte obiecte care nu au proprietatea de liniaritate, de exemplu, ecuații diferențiale neliniare . De obicei, termenul este folosit atunci când dependența funcțională este mai întâi aproximată ca fiind liniară, iar apoi se trece la studiul unui caz mai general, de multe ori pornind de la puteri inferioare, de exemplu, luând în considerare corecțiile patratice.

Ecuațiile neliniare sunt destul de arbitrare. De exemplu, funcția este neliniară . $y=x^2$

În unele cazuri, acest termen poate fi aplicat și dependențelor , unde , adică funcțiilor liniare neomogene, deoarece acestea nu au proprietatea de liniaritate, și anume, în acest caz, și . De exemplu, o relație neliniară este considerată pentru un material cu întărire (vezi teoria plasticității ). $f=kx+b$ $b\neq 0$ $f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})$ $f(cx)\neq cf(x)$ $\sigma (\tau )$

Vezi și

Literatură

Manual de matematică pentru ingineri și studenți. Bronstein I. N., Semendyaev K. A. - M .: Nauka, 1981. - 720 p., ill.