Mult nivel

În matematică , mulțimea de nivel a unei funcții reale f din n variabile reale este o mulțime de forma

L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots,x_{n}) =c\dreapta\}~,

adică mulţimea pe care funcţia ia o valoare constantă dată c .

Când numărul de variabile este de două, de obicei setul de nivel este o curbă numită linie de nivel, izolinie sau linie de contur. Deci, curba de nivel este mulțimea tuturor soluțiilor reale ale ecuației în două variabile x 1 și x 2 . Când , setul de niveluri se numește suprafață de nivel (sau și izosuprafață ), iar în cazul unui număr mai mare de variabile n , setul de niveluri este o hipersuprafață. Astfel, o suprafață de nivel este mulțimea tuturor rădăcinilor reale ale unei ecuații în trei variabile și , iar o suprafață de nivel este o mulțime a tuturor rădăcinilor reale ale unei ecuații în n ( n > 3) variabile. $n=3$ $x_{1},x_{2}$ $x_{3}$

Setul de nivel este un caz special al stratului .

Titluri alternative

În multe aplicații apar mai multe niveluri, adesea sub denumiri diferite.

De exemplu, o curbă implicită este un set de niveluri care este considerat separat de curbele învecinate, subliniind că o astfel de curbă este definită de o funcție implicită . De asemenea, o suprafață plană este uneori numită suprafață implicită sau izosuprafață .

Uneori este folosit și denumirea de izocontur [1] , care denotă un contur de înălțime egală. În diferite zone, izocontururile primesc nume specifice, reflectând adesea natura valorilor funcției luate în considerare, cum ar fi izobară , izotermă , izogon , izocron , izocuanta și curba de indiferență .

Exemple

Luați în considerare distanța euclidiană bidimensională

d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Setul de nivel al acestei funcții este format din puncte situate la o distanță de origine, o mulțime cunoscută sub numele de cerc . De exemplu, deoarece din punct de vedere geometric, acest lucru înseamnă că punctul se află pe un cerc cu raza 5 centrat la origine. Un exemplu mai general, o sferă într-un spațiu metric cu raza și centrul la poate fi definită ca un set de niveluri . $L_{r}(d)$ $r$ $(3,4)\in L_{5}(d)$ $d(3,4)=5.$ $(3,4)$ $(M,m)$ $r$ $x \în M$ $L_{r}(y\mapsto m(x,y))$

Al doilea exemplu este graficul funcției Himmelblau prezentat în figura din dreapta. Fiecare curbă afișată este o curbă de nivel a funcției și sunt separate logaritmic unele de altele - dacă curba reprezintă nivelul , atunci cea mai apropiată curbă „în interior” reprezintă nivelul , iar cea mai apropiată curbă „în exterior” reprezintă nivelul . $L_{x)$ $L_{x/10}$ ${\displaystyle L_{10x))$

Seturi de niveluri și degrade

Teoremă : Dacă o funcție f este diferențiabilă , gradientul lui f într-un punct este fie zero, fie perpendicular pe setul de niveluri al lui f în punctul respectiv.

Pentru a înțelege ce înseamnă asta, să ne imaginăm că doi pietoni se află în același loc pe un versant de munte. Unul dintre ei este încrezător și decide să meargă în direcția celei mai abrupte ascensiuni, celălalt este mai precaut, nu are de gând să urce sau să coboare, ci alege o potecă cu aceeași înălțime deasupra nivelului mării. În analogia noastră, teorema de mai sus spune că ambii pietoni vor porni în direcții perpendiculare unul pe celălalt.

O consecință a acestei teoreme (și a demonstrației sale) este că dacă f este diferențiabilă, setul de niveluri este o hipersuprafață și o varietate în afara punctelor critice ale lui f . Într-un punct critic, setul de niveluri se poate reduce la un punct (de exemplu, la extremul local al funcției f ), sau punctul critic se poate dovedi a fi o singularitate , cum ar fi un punct de auto-intersecție sau cuspid .

Seturi de subnivel și supernivel

Multă natură

L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots,x_ {n})\leqslant c\right\}

se numeste multimea subnivelului functiei f . Mulțimea subnivelului strict al funcției f este definită ca

\left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots,x_{n})<c\right\)

În mod similar

L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots,x_ {n})\geqslant c\right\}

se numește mulțimea de supernivel a funcției f [3] [4] . Mulțimea supernivelului strict al funcției este definită în mod similar

\left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots,x_{n})>c\right\)

Seturile de subniveluri sunt importante în teoria minimizării . Mărginirea unei mulțimi de subniveluri nevide și semi-continuitatea inferioară implică faptul că funcția își atinge minimul prin teorema Weierstrass . Convexitatea tuturor mulțimilor de subniveluri caracterizează funcțiile cvasi-convexe [5] .

Vezi și

Epiplot
Metoda funcției de nivel
Set de niveluri (structuri de date)

Note

↑ Vezi, de exemplu, Metode de reprezentare vizuală a geocâmpurilor Arhivat 16 iunie 2017 la Wayback Machine
↑ Simionescu, 2011 .
↑ Voitsekhovskii, 2001 .
^ Weisstein , Eric W. Level Set pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Kiwiel, 2001 , p. 1–25.

Literatură

Simionescu PA Câteva progrese în vizualizarea funcțiilor constrânse și a inegalităților a două variabile // Journal of Computing and Information Science in Engineering. - 2011. - T. 11 , nr. 1 . - doi : 10.1115/1.3570770 .
Voitsekhovskii MI Level set // Encyclopedia of Mathematics. — EMS Press, 2001.
Krzysztof C. Kiwiel. Convergența și eficiența metodelor subgradiente pentru minimizarea cvasiconvexă // Programare matematică, Seria A. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2001. - Vol. 90 , nr. 1 . — ISSN 0025-5610 . - doi : 10.1007/PL00011414 .