Afișare continuă

Maparea continuă ( funcția continuă ) este o mapare de la un spațiu la altul, în care punctele apropiate ale domeniului de definiție merg la punctele apropiate ale intervalului de valori.

Definiția cea mai generală este formulată pentru mapările spațiilor topologice : o mapare este considerată continuă dacă imaginea inversă a oricărei mulțimi deschise este deschisă. Continuitatea mapărilor altor tipuri de spații - spații metrice , spații normate și spații similare - este o consecință directă a definiției generale (topologice), dar este formulată folosind structuri definite în spațiile corespunzătoare - metrici , norme și așa mai departe. .

În analiza matematică și analiza complexă , unde sunt luate în considerare funcțiile numerice și generalizările lor în cazul spațiilor multidimensionale, continuitatea unei funcții este introdusă în limbajul limitelor : astfel de definiții ale continuității au fost din punct de vedere istoric primele și au servit drept bază pentru formarea unui concept general.

Existența mapărilor continue între spații face posibilă „transferarea” proprietăților unui spațiu în altul: de exemplu, o imagine continuă a unui spațiu compact este și ea compactă.

O mapare continuă care are o mapare inversă și, de asemenea, o mapare continuă se numește homeomorfism . Homeomorfismul generează o relație de echivalență pe clasa spațiilor topologice ; spațiile care sunt homeomorfe între ele au aceleași proprietăți topologice, iar proprietățile în sine care sunt păstrate sub homeomorfisme sunt numite invarianți topologici .

Definiții

Definiția cea mai generală este dată în topologie .

Continuitate în spații topologice

O mapare de la un spațiu topologic la un spațiu topologic se spune a fi continuă dacă imaginea inversă a oricărei mulțimi deschise este deschisă, adică: $f\coloan X\la Y$ $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$

\forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{{-1}}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}

. Continuitate pe subspațiu

Dacă luăm în considerare o submulțime a mulțimii , atunci pe această mulțime, în mod natural, este indusă topologia , care constă din toate intersecțiile posibile ale mulțimii cu mulțimile incluse în topologie . $A$ $X$ ${\mathcal {T}}_{A}$ $A$ ${\mathcal {T}}_{X}$

O hartă care este continuă pe mulțime va fi continuă pe oricare dintre submulțimile sale în sensul topologiei induse pe ea. $f\coloan X\la Y$ $X$

Continuitate la punct

Continuitatea la un punct este formulată în limbajul vecinătăților și leagă sistemul de vecinătăți al unui punct din domeniul de definiție cu sistemul de vecinătăți al punctului corespunzător din domeniul valorilor.

O mapare se numește continuă într-un punct dacă pentru orice vecinătate a punctului există o vecinătate a punctului astfel încât . $f\coloan X\la Y$ $X$ $V$ $f(x)$ $U$ $X$ $f(U)\subset V$

O mapare este continuă pe o mulțime dacă și numai dacă este continuă în fiecare punct al mulțimii date. [unu]

Dacă domeniul unei funcții satisface prima axiomă de numărabilitate , în special pentru spațiile metrice, continuitatea într-un punct este echivalentă cu așa-numita continuitate secvențială: dacă , atunci . În cazul general, imaginile inverse secvenţial continue ale mulţimilor închise secvenţial sunt închise secvenţial, ceea ce este analog cu definiţia echivalentă a mapărilor continue ca acelea sub care sunt închise imaginile inverse ale mulţimilor închise. $\lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$ $\lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x)$

Definiții echivalente

Următoarele afirmații sunt echivalente:

prototipul fiecărui set deschis este deschis;
imaginea inversă a oricărui set închis este închisă;
imaginea inversă a fiecărei vecinătăți a unui punct din domeniul de cartografiere este o vecinătate a punctului corespunzător al domeniului de definiție;
imaginea închiderii oricărui set este conținută în închiderea imaginii acestui set;
închiderea preimaginei oricărui set este cuprinsă în preimaginea închiderii.

Astfel, fiecare dintre aceste formulări poate fi utilizată ca o definiție a continuității unei mapări.

Continuitate în spații metrice și normate

În spațiile metrice, topologia este dată de o familie de bile deschise de diferite „raze” definite printr-o metrică, astfel încât definiția generală este formulată în termenii acestei metrici (definiția „ epsilon-delta ”):

O mapare dintr -un spațiu metric la un spațiu metric se spune că este continuă într-un punct dacă pentru fiecare există astfel încât pentru fiecare astfel încât , se respectă următoarea inegalitate: . $f\coloan X\la Y$ $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y})$ $A$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\în X$ $\rho _{X}(x,a)<\delta$ $\rho _{Y}(f(x),f(a))<\varepsilon$

Pentru spațiile liniare normate (inclusiv Hilbert și spațiile euclidiene cu dimensiuni finite ), metrica este dată de o normă, deci aceeași definiție este dată în termeni de normă.

Fie, să fie o mapare între spații normate cu norme și respectiv. O funcție este continuă într-un punct dacă, pentru orice număr, există un număr astfel încât pentru toate punctele în care inegalitatea este valabilă , $f\coloană {N_{1}}\la {N_{2}}$ $\|{*}\|_{1}$ $\|{*}\|_{2}$ $f$ $A$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\în N_{1}$ $\|xa\|_{1}<\delta$ $\|f(x)-f(a)\|_{2}<\varepsilon$

Spațiile metrice (și, prin urmare, spațiile normate) satisfac prima axiomă a numărabilității, deci această definiție este echivalentă cu definiția continuității secvențiale.

Funcții continue (funcționale)

În cazul unei axe numerice, norma este de obicei modulul numărului, deci definiția continuității funcționalei (sau ), unde este un spațiu topologic arbitrar , este următoarea: $f:X\rightarrow {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $X$

O funcțională este numită continuă într-un punct dacă pentru oricare există o vecinătate a acestui punct astfel încât condiția să fie îndeplinită . $f$ $a\în X$ $\varepsilon >0$ $\Sigma _{a}$ $\forall x\in \Sigma _{a}$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

Setul de funcționale (funcții) continuu pe este de obicei notat cu . Un caz special de funcționale continue sunt funcțiile continue ale unui argument numeric. $X$ $C(X)$

Funcție numerică continuă

Lasă (sau ). O funcție este continuă într-un punct dacă pentru orice număr există un număr astfel încât pentru toate punctele condiția implică . $f\colon {\mathbb {R}}\supset E\to {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $f$ $A$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\în E$ $|xa|<\delta$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

Cu alte cuvinte, o funcție este continuă într-un punct limită pentru mulțime dacă are o limită într-un punct dat și această limită coincide cu valoarea funcției într-un punct dat: $f$ $A$ $E$

f\în C(\{a\})\Leftrightarrow \lim \limits _{{x\to a}}f(x)=f(a)

O funcție este continuă pe o mulțime dacă este continuă în fiecare punct al mulțimii date. În acest caz, ei spun că clasa funcţionează şi scrie: sau, mai detaliat, . $f$ $E$ $f$ $C^{0}$ $f\în C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$

Proprietăți ale mapărilor continue

Pre-imaginea completă a oricărui set deschis (închis) sub o mapare continuă este un set deschis (închis).

Imaginea unui set compact sub o mapare continuă este un set compact .

O funcție numerică continuă pe o mulțime compactă este mărginită și își atinge limitele superioare și inferioare . Această proprietate urmează de la precedenta.

Imaginea unui set conectat sub o mapare continuă este un set conectat .

Teorema lui Tietze . Orice funcție continuă cu valoare reală definită pe o submulțime închisă a unui spațiu normal poate fi extinsă la o funcție continuă pe întreg spațiul.

Compoziția mapărilor continue este, de asemenea, o mapare continuă.
Suma, diferența și produsul funcțiilor continue cu valori reale sunt continue.
Continuitatea unei mapări liniare de la un spațiu topologic liniar la altul implică mărginirea acesteia. În cazul spațiilor normate, continuitatea unei mapări liniare este echivalentă cu mărginirea acesteia.
Teorema Stone-Weierstrass (o generalizare a teoremei Weierstrass clasice ). Fie un spațiu de funcții continue pe un spațiu topologic Hausdorff compact . Fie o submulțime care conține constante, închisă în raport cu compoziția și combinația liniară de funcții și care conține, de asemenea, limitele șirurilor sale uniform convergente de funcții. În acest caz, dacă și numai dacă , există astfel încât . $C(X)$ $X$ $B(X)$ $C(X)$ $B(X)=C(X)$ $\forall x_{1},x_{2}\în X$ $f\în B$ $f(x_{1})\nu =f(x_{2})$

Definiții înrudite

Un homeomorfism este o mapare continuă unu-la-unu de la un spațiu topologic la altul cu, de asemenea, o mapare inversă continuă.
Continuitate uniformă

Vezi și

Link -uri

Studii matematice Arhivat 18 octombrie 2011 la Wayback Machine Cartoon despre continuitate

Note

↑ În analiza matematică, conceptul de continuitate este mai întâi formulat local , la un moment dat, iar continuitatea pe o mulțime este definită ca continuitate în fiecare punct al mulțimii date.

Literatură

Kelly JL Capitolul 3. Produse și spații factoriale // Topologie generală = Topologie generală. - Ed. a II-a. - M . : Nauka, 1981. - S. 119-151. — 438 p.