Purtător de funcții

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 18 martie 2018; verificarea necesită 1 editare .

Purtătorul unei funcții este închiderea mulțimii pe care funcția este diferită de zero.

Suportul funcției clasice

Suportul funcției este închiderea submulțimii pe care funcția cu valoare reală nu dispare: $u\colon X\la \mathbb{R}$ $X$ $u$

{\mathrm {supp}}\,u=\overline {\left\{x\mid u(x)\neq 0\right\}}).

Cel mai frecvent caz este atunci când funcția este definită pe un spațiu topologic și este continuă. Într-un astfel de caz, purtătorul este definit ca cel mai mic subset închis în afara căruia este egal cu zero. $u$ $X$ $X$ $u$

Transportator compact

Funcțiile cu suport compact activat sunt cele al căror suport este un subset compact de . $X$ $X$

De exemplu, dacă este o linie reală , atunci toate funcțiile continue care dispar la sunt funcții cu suport compact. $X$ $|x|>C$

O funcție se numește finită dacă suportul ei este compact .

Purtător de funcție generică

De asemenea, puteți introduce conceptul de suport pentru o funcție generalizată , adică pentru o funcțională pe un set de funcții finite infinit netede .

Definiție formală

Se consideră o funcție generalizată și toate mulțimile astfel încât, dacă funcția finită dispare pe mulțime , atunci valoarea este 0. $f$ $K$ $\varphi$ $K$ $(f,\;\varphi )$

Cea mai mică (prin includere) dintre astfel de mulțimi se numește purtătoarea funcției generalizate $f$ . (În caz contrar, putem spune că aceasta este intersecția tuturor acestor lucruri ). ${\mathrm {supp}}\,f$ $K$

Este de remarcat faptul că suportul funcției generalizate va fi un set compact nevid .

Notă

Rețineți că această definiție a unui purtător nu coincide cu cea clasică. Într-adevăr, o funcție generalizată este definită pe spațiul de funcții finite infinit netede , ceea ce înseamnă că suportul clasic trebuie să fie o submulțime a lui , în timp ce suportul unei funcții generalizate este o submulțime a lui . $f$ $C_{0}^{{\infty }}(X)$ $C_{0}^{{\infty }}(X)$ $X$

Exemple

Ca exemplu, luați în considerare funcția Dirac . $\delta(x)$

Luați orice funcție finită cu suport care nu include punctul 0. Deoarece ( aplicat ca funcțională liniară la ) este zero pentru astfel de funcții, putem spune că suportul este doar punctul . $\varphi$ $(\delta ,\;\varphi )$ $\delta$ $\varphi$ $\delta$ $\{0\}$

Transportator singular

În analiza Fourier în special, este interesant să studiem suportul singular al funcției generalizate . Are o interpretare intuitivă ca un set de puncte în care „funcția generalizată nu se reduce la cea obișnuită”.

Definiție formală

Fie o funcție generalizată . Poate fi reprezentată ca , unde este o funcție generalizată obișnuită și este o funcție generalizată singulară . (O astfel de reprezentare nu este, în general, unică.) $f$ $f=u+v$ $u$ $v$

Intersecția suporturilor în toate expansiunile posibile se numește suport singular al funcției generalizate . ${\mathrm {supp}}\,v$ $f=u+v$ $f$

Notația clasică pentru purtătorul singular . ${\mathrm {sing\,supp}}\,f$

Exemple

Astfel, suportul singular pentru funcția Dirac este punctul 0.

În acest caz particular, suportul singular și doar suportul funcției generalizate coincid. Cu toate acestea, aceasta nu este o proprietate generală. De exemplu, pentru o funcție generalizată care acționează conform formulei

(f,\;\varphi )=\int \limits _{0}^{1}\varphi \,dx+\varphi (0),

purtătorul va fi segmentul , iar purtătorul singular va fi punctul 0. $[0,\;1]$

Un alt exemplu este transformata Fourier pentru funcția pas Heaviside poate fi considerată până la o constantă ca , cu excepția punctului în care . Deoarece acesta este, în mod evident, un punct singular, este mai corect să afirmăm că transformarea are suport singular ca distribuție . $1/x$ $x=0$ $\{0\}$

Pentru distribuțiile cu variabile multiple, suporturile singulare permit definirea seturilor de front de undă și înțelegerea principiului lui Huygens în termeni de calcul . Suporturile singulare pot fi folosite și pentru înțelegerea fenomenelor specifice teoriei distribuției, cum ar fi încercările de multiplicare a distribuțiilor (la pătrarea funcției delta Dirac nu este posibilă, în principal pentru că suporturile singulare ale distribuțiilor care sunt înmulțite trebuie separate).

Suportul singular își găsește o aplicație importantă în teoria operatorilor pseudodiferențiali (PDO) , în special în teorema de pseudolocalitate PDO .

Purtător de măsură

Deoarece măsurile (inclusiv măsurile de probabilitate ) pe linia reală sunt cazuri speciale de funcții (distribuții) generalizate , putem vorbi și despre suportul unei măsuri în același mod. $\mathbb {R}$

Vezi și

Literatură

Shubin MA Operatori pseudodiferențiali și teoria spectrală . - Ed. a II-a. - M .: „Dobrosvet”, 2003.