A unsprezecea problemă a lui Hilbert

A unsprezecea problemă a lui Hilbert este una dintre cele 23 de probleme ale lui David Hilbert prezentate la cel de-al doilea Congres Internațional al Matematicienilor de la Paris, în 1900. Continuând teoria formei pătratice , Hilbert a formulat problema după cum urmează:

Cunoștințele noastre despre teoria câmpurilor numerice pătratice ne permit să studiem cu succes teoria formelor pătratice cu orice număr de variabile și orice coeficienți numerici algebrici. Aceasta duce, în special, la o problemă interesantă: rezolvarea unei ecuații pătratice date cu coeficienți numerici algebrici cu orice număr de variabile, numere integrale sau fracționale legate de mulțimea algebrică a numerelor raționale, definită de coeficienți.

Text original  (engleză)[ arataascunde] Cunoștințele noastre actuale despre teoria câmpurilor numerice pătratice ne pun în situația de a ataca cu succes teoria formelor pătratice cu orice număr de variabile și cu orice coeficienți numerici algebrici. Aceasta duce în special la problema interesantă: a se rezolva o ecuație pătratică dată cu coeficienți numerici algebrici în orice număr de variabile prin numere integrale sau fracționale aparținând domeniului algebric al raționalității determinate de coeficienți.

După cum a afirmat matematicianul american și canadian Irving Kaplansky , „A 11-a problemă este pur și simplu aceasta: clasificarea formelor pătratice din câmpuri numerice algebrice”. Este exact ceea ce a făcut matematicianul german Hermann Minkowski pentru o formă pătratică cu coeficienți fracționali. O formă pătratică (nu o ecuație pătratică) este orice polinom în care fiecare termen are variabile care apar exact de două ori. Forma generală a unei astfel de ecuații este: (toți coeficienții trebuie să fie numere întregi ).

Se consideră că o formă pătratică dată este un număr natural , dacă în loc de variabile care înlocuiesc numere specifice, se dă acest număr. Matematicianul și fizicianul german Karl Gauss și adepții săi au descoperit că dacă modificați variabilele într-un anumit mod, atunci noua formă pătratică va fi aceleași numere naturale ca și cele anterioare, dar într-o formă diferită, mai ușor de înțeles. El a folosit această teorie a formelor pătratice echivalente pentru a demonstra rezultatele teoriei numerelor întregi. Astronomul și matematicianul francez Joseph Lagrange , de exemplu, a arătat că orice număr natural poate fi exprimat ca sumă a patru pătrate. Gauss a demonstrat acest lucru folosind teoria relațiilor de echivalență , arătând că formula pătratică se aplică tuturor numerelor naturale. După cum am menționat mai devreme, Minkowski a creat și dovedit o teorie similară pentru formele pătratice care foloseau fracțiile ca coeficienți. A unsprezecea problemă a lui Gilbert oferă o teorie similară. Cu alte cuvinte, aceasta este o metodă de clasificare în care putem determina dacă o formă este echivalentă cu alta, dar dacă coeficienții sunt numere algebrice . Matematicianul german Helmut Hasse a demonstrat acest lucru folosind principiul săuși faptul că teoria este relativ simplă pentru sistemele p-adice în octombrie 1920. Și-a publicat opera în 1923 și 1924. Principiul local-global spune că un rezultat general despre un număr rațional, sau chiar toate numerele raționale, poate fi adesea obținut prin verificarea faptului că rezultatul este adevărat pentru fiecare dintre sistemele de numere p-adice.

Vezi și

 Probleme Hilbert