Operație (matematică)

O operație este o mapare care asociază unul sau mai multe elemente ale mulțimii (argumente) cu un alt element (valoare). Termenul „operație” este de obicei aplicat operațiilor aritmetice sau logice , spre deosebire de termenul „ operator ”, care este mai des aplicat anumitor mapări set-on-self care au proprietăți de interes pentru cercetare.

Definiție

O operație este o mapare al cărei domeniu de definiție este produsul direct al mai multor mulțimi. Din punct de vedere matematic, operația poate fi scrisă ca o mapare ( și poate coincide), unde se numește aritatea operației [1] . $f$ $f\colon D\subseteq \underbrace {A\times A\times \cdots \times A}_{{n}}\to B$ $B$ $A$ $n$

Definiții înrudite

Operațiile diferă prin numărul de mulțimi al căror produs cartezian este domeniul său de definire. De exemplu, o operație poate fi unară dacă mapează un element dintr-un set la un element al unei mulțimi sau binară dacă mapează două elemente dintr-un set la un element.

O operație algebrică este o operație al cărei domeniu de definiție este egal cu puterea carteziană a unei anumite mulțimi unde este aritatea lui , iar domeniul valorilor este egal cu această mulțime , adică [2] . $f$ $n$ $A,$ $n\în {\mathbb {N}}_{0}$ $A,$ $f\colon A^{n}\la A$

Proprietăți

Operațiile pot avea sau nu proprietăți diferite. De exemplu:

comutativitatea (proprietatea deplasării) este o proprietate a operației " ", când $\circ$ $a\circ b=b\circ a;$
anticomutatie - de exemplu, operația de scădere , deoarece $ab=-(ba);$
asociativitatea (proprietatea asociativă) este o proprietate a operației " ", când $\circ$ $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c);$
distributivitatea (proprietatea distributivă) - de exemplu, operația de înmulțire în raport cu adunarea , deoarece $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c;$
idempotenta - dacă operația repetată nu schimbă deja obiectul, de exemplu, luând modulo : $|x|={\big |}|x|{\big |}={\Big |}{\big |}|x|{\big |}{\Big |}=\ldots$

Luate împreună, comutativitatea și anticomutativitatea nu epuizează proprietățile tuturor operațiilor posibile: de exemplu, exponențiația nu este o operație comutativă, deoarece, de exemplu, dar în același timp nu este anticomutativă: de exemplu, $2^{3}\neq 3^{2},$ $2^{4}\neq {\color {Roșu}-}4^{2}.$

Operațiuni

Aritmetică

Operatii aritmetice

Adăugare (+)

primul termen + al 2-lea termen =

sumă

Scădere (−)

Redus − Scăzut =

diferență

Înmulțire (×)

Primul multiplicator × al doilea multiplicator =

muncă

Diviziune (:)

Dividend : divizor =

privat

Împărțire cu rest (mod)

Divizor mod divizibil =

restul diviziei

Exponentiație (^)

{\text{bază}}^{\text{exponent}}

grad

Extracția rădăcinii (√)

{\sqrt[{\text{valoare}}]{\text{număr}}}

rădăcină

Logaritm (log)

\log _{\text{bază}}

(număr) =

logaritm

Adunarea este o operație binară, cum ar fi . $2+7=9$
Scăderea este inversul adunării , de ex. $9-7=2$
Înmulțirea este o hiperoperație de adunare, de exemplu . $2\cdot 3=6$
Împărțirea este inversul înmulțirii, de ex. $6:3=2$
Exponentiația este o hiperoperație de multiplicare , de exemplu . $2^{3}=8$
Extragerea unei rădăcini este inversul exponențiației, de exemplu . ${\sqrt[{3}]{8}}=2$
Logaritmul este al doilea invers al exponențiației, de exemplu . $\log _{2}8=3$
Tetrarea este o hiperoperație de exponențiere, de exemplu . $^{3}2=2^{{2^{2}}}=16$
Superrădăcina și superlogaritmul sunt operațiile inverse ale tetrației.

Adunarea și scăderea sunt operații aritmetice elementare. Toate celelalte operații, mai complexe, sunt obținute ca urmare a hiper-operațiilor. Astfel, adunarea și scăderea sunt clasificate ca operații ale primei etape; înmulțirea și împărțirea - la operațiile din a doua etapă; exponențierea, extragerea rădăcinii și logaritmul - la operațiile etapei a treia; tetrarea și operațiile sale inverse sunt operații rar utilizate din etapa a patra, totuși, o astfel de hiperoperație poate fi continuată pe termen nelimitat, până la operațiile din etapa a 5-a, a 6-a și superioară.

Calcul

Diferențiere - găsirea derivatei unei funcții, de exemplu . $(x^{2})'=2x$
Integrarea este opusul diferențierii; găsirea funcției antiderivate , de exemplu . $\int 2xdx=x^{2}+C$

Operații logice

Operațiile logice sunt operații asupra elementelor dintr-un set de două elemente: „adevărat” și „fals”, sau „1” și „0”.

Negația ( ) este o operație unară; convertește „1” în „0” și „0” în „1”. $\neg A$
Conjuncția ( ) este o operație binară; returnează „1” numai dacă ambele argumente sunt „1”. $A\Și B$
Disjuncția ( ) este o operație binară; returnează „0” numai dacă ambele argumente sunt „0”. $A\lor B$

Note

↑ Algebră generală. V.1 / O. V. Melnikov, V. N. Remeslennikov, V. A. Romankov şi alţii.Sub general. ed. L. A. Skornyakova. M.: Știință. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1990. - 592 p. - (Mat de referință b-ka). ISBN 5-02-014426-6 (vol. 1)
↑ Enciclopedia de matematică . — M.: Enciclopedia Sovietică . I. M. Vinogradov . 1977-1985.