Funcția de transmisie

Funcția de transfer este una dintre modalitățile de a descrie matematic un sistem dinamic . Folosit în principal în teoria controlului , comunicații și procesarea semnalului digital . Reprezintă un operator diferențial care exprimă relația dintre intrarea și ieșirea unui sistem liniar staționar . Cunoscând semnalul de intrare al sistemului și funcția de transfer, este posibil să se recupereze semnalul de ieșire.

În teoria controlului, funcția de transfer a unui sistem continuu este raportul dintre transformarea Laplace a semnalului de ieșire și transformata Laplace a semnalului de intrare în condiții inițiale zero.

Deoarece funcția de transfer a sistemului determină complet proprietățile sale dinamice, sarcina inițială de calculare a ACS este redusă la determinarea funcției de transfer. Atunci când se calculează setările regulatoarelor, modelele dinamice destul de simple ale obiectelor de control industrial sunt utilizate pe scară largă. Funcția de transfer este o funcție fracțională-rațională a unei variabile complexe pentru diferite sisteme.

Sisteme liniare staționare

Fie semnalul de intrare al sistemului liniar staționar și semnalul său de ieșire. Atunci funcția de transfer a unui astfel de sistem se scrie astfel: $u(t)$ $y(t)$ $W(e)$

W(s)={\frac {Y(s)}{U(s))}),

unde este operatorul funcției de transfer în transformarea Laplace ,

s=\sigma +j\omega

U(s)

și sunt transformările Laplace pentru semnale și, respectiv:

Y(e)

u(t)

y(t)

U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{ -st}\,dt,

Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{ -st}\,dt.

Funcție de transfer discret

Pentru sistemele discrete și discrete-continue, se introduce conceptul de funcție de transfer discretă . Fie semnalul discret de intrare al unui astfel de sistem și semnalul de ieșire discret al acestuia, . Atunci funcția de transfer a unui astfel de sistem se scrie astfel: $u(k)$ $y(k)$ $k=0,1,2,\dots$ $W(z)$

W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}

unde și sunt transformări z pentru semnale și, respectiv: $U(z)$ $Y(z)$ $u(k)$ $y(k)$

U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{{k=0}}^{\infty }u(k)z^{{- k))

Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{{k=0}}^{{\infty }}y(k)z^{ {-k}}

Relația cu alte caracteristici dinamice

AFC -ul sistemului poate fi obținut din funcția de transfer prin înlocuirea formală a variabilei complexe cu : $s$ $j\omega$

W(j\omega)\equiv W(s),s=j\omega

Funcția de tranziție de impuls este originalul (în sensul transformării Laplace) pentru funcția de transfer.

Proprietăți ale funcției de transfer, poli și zerourile funcției de transfer

1. Pentru sistemele staționare (adică sistemele cu parametri constanti ai componentelor) și cu parametrii concentrați, funcția de transfer este o funcție fracționară-rațională a unei variabile complexe : $s$

W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{{m-1}}+ \dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{{n-1}}+\dots +a_{n}}}

2. Numitorul și numărătorul funcției de transfer sunt polinoamele caracteristice ecuației diferențiale de mișcare a sistemului liniar. Polii funcției de transfer se numesc rădăcinile polinomului caracteristic al numitorului , zerourile sunt rădăcinile polinomului caracteristic al numărătorului .

3. În sistemele realizabile fizic, ordinea polinomului numărătorului funcției de transfer nu poate depăși ordinea polinomului numitorului său , i.e. $m$ $n$ $m\leq n$

4. Funcția de tranziție de impuls este originala ( transformata Laplace ) pentru funcția de transfer.

5. Cu o înlocuire formală a lui , se obține o funcție de transfer complexă a sistemului care descrie simultan caracteristicile amplitudine-frecvență (sub forma modulului acestei funcții) și fază-frecvență ale sistemului ca argument . $s=j\omega$ $W(e)$

Funcția de transfer matrice

Pentru sistemele MIMO , este introdus conceptul de funcție de transfer de matrice . Funcția de transfer a matricei de la vectorul de intrare al sistemului la vectorul de ieșire este o matrice , elementul din rândul --lea al coloanei --- reprezintă funcția de transfer a sistemului de la coordonata --a a vectorului de intrare al sistemului la --lea . coordonata vectorului de ieșire. $U(t)$ $Y(t)$ $W=\{w_{i,j}\}$ $i$ $j$ $i$ $j$