Transformare biliniară

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 martie 2019; verificările necesită 2 modificări .

Transformarea biliniară (sau, în literatura occidentală, transformarea metodei lui Tustin ) este o mapare conformă utilizată pentru a transforma funcția de transfer a unui sistem liniar staționar (de exemplu, un element corector al unui sistem de control , un filtru electronic etc.) continuă se transformă în funcția de transfer a unui sistem liniar în formă discretă . $H_{a}(e)\$ $H_{d}(z)\$

Mapează punctele axei, , pe planul s la un cerc cu raza unitară , , pe planul z . $j\omega\$ $Re[s]=0\$ $|z|=1\$

Această transformare păstrează stabilitatea sistemului continuu original și există pentru toate punctele funcției sale de transfer. Adică, pentru fiecare punct al funcției de transfer sau AFC a sistemului original, există un punct similar cu fază și amplitudine identice ale sistemului discret. Cu toate acestea, acest punct poate fi situat la o frecvență diferită . Efectul de schimbare a frecvenței este aproape imperceptibil la frecvențe joase, dar este semnificativ la frecvențe apropiate de frecvența Nyquist .

Transformarea biliniară este o funcție care aproximează logaritmul natural , care este o mapare exactă de la planul z la planul s. Când se aplică transformarea Laplace pe un semnal discret (reprezentând o secvență de eșantioane), rezultatul este o transformare Z până la o schimbare de variabile:

$z\$ $=e^{{sT}}\$ $={\frac {e^{{sT/2}}}{e^{{-sT/2}}}}\$ $\aprox {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\ ,$

unde este perioada de eșantionare (reciproca ratei de eșantionare ). $T\$

Aproximația dată mai sus este o transformare biliniară.

Transformarea inversă din planul s în planul z și aproximarea sa biliniară sunt scrise după cum urmează:

$s\$ $={\frac {1}{T}}\ln(z)\$ $={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1} {z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{ \frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\ldots \right]\$ $\aprox {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\aprox \$ $\aprox {\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\ .$

Transformarea biliniară folosește această relație pentru a înlocui funcția de transfer cu omologul său discret: $H_{a}(e)\$

s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\ ,

acesta este:

H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1} }}=H_{a}\stânga({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\dreapta)\ .

Transformarea biliniară este un caz special al transformării Möbius , definită ca:

z^{\prime }={\frac {az+b}{cz+d}}\ .

Surse

1 (link inaccesibil) la p. 47

Capitolul 2 3.2.2 Metoda transformării biliniare

Calculul caracteristicii de transfer a unui filtru IIR pe baza unui filtru analogic prototip. Transformare biliniară . Preluat: 15 noiembrie 2010. (Rusă)

Procesare digitală a semnalului
Teorie	Semnal semnal discret teorema lui Kotelnikov Teoria estimărilor statistice Teoria detectării semnalului
Subsecțiuni	Procesare digitală a semnalului audio Teoria controlului automat Procesarea digitală a imaginii Procesarea vorbirii Procesarea statistică a semnalului
Tehnici	Transformată Fourier discretă (DFT) Transformată Fourier discretă în timp (DTFT) impuls Transformare biliniară consistent Transformarea Z Transformarea Z modificată
Prelevarea de probe	Supereșantionare subeșantionare Reducerea rezoluției Creșterea rezoluției Alianta Filtru Frecvența de eșantionare frecvența Nyquist