Avion Fano

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 mai 2022; verificările necesită 2 modificări .

Planul Fano este un plan proiectiv  finit de ordinul 2, având cel mai mic număr posibil de puncte și drepte (7 puncte și 7 linii), cu trei puncte pe fiecare linie și cu trei drepte care trec prin fiecare punct. Numit după matematicianul italian Gino Fano .

Coordonate omogene

Planul Fano poate fi construit folosind algebra liniară ca plan proiectiv peste un câmp finit cu două elemente. Se pot construi planuri proiective peste orice alt câmp finit în același mod, dar planul Fano va fi cel mai mic.

Folosind construcția standard a spațiilor proiective cu coordonate omogene , cele șapte puncte ale planului Fano pot fi etichetate cu cele șapte triple diferite de zero ale cifrelor binare 001, 010, 011, 100, 101, 110 și 111. Pentru orice pereche de punctele p și q , al treilea punct de pe linia pq este etichetat, obținut din etichetele p și q prin adăugare modulo 2; de exemplu 110+011=101. Cu alte cuvinte, punctele planului Fano corespund punctelor nenule ale unui spațiu vectorial finit de dimensiunea 3 peste un câmp finit de ordinul 2.

Conform acestei construcții, planul Fano este considerat Desarguesian, deși planul este prea mic pentru a conține o configurație Desargues nedegenerată (necesită 10 puncte și 10 linii).

Linilor planului Fano li se pot atribui, de asemenea, coordonate omogene, din nou folosind triplete non-nule de cifre binare. În acest sistem, un punct este incident unei linii dacă coordonatele punctului și coordonatele liniei au un număr par de poziții în care ambele coordonate sunt biți non-zero. De exemplu, punctul 101 aparține liniei 111 deoarece atât linia, cât și punctul au biți diferit de zero în două poziții comune. În termeni de algebră liniară, un punct aparține unei linii dacă produsul scalar al vectorilor care reprezintă punctul și linia este zero.

Liniile drepte pot fi împărțite în trei tipuri.

Simetrii

Permutările celor șapte puncte ale planului Fano care păstrează incidența punctelor (a unei linii), adică atunci când un punct situat pe o dreaptă se întâmplă să fie pe aceeași linie, se numesc „coliniere”, „ automorfism ”, sau „ simetria ” planului. Un grup complet de coliniere (sau un grup de automorfism sau un grup de simetrie ) este grupul liniar proiectiv PGL(3,2) [1] , care în acest caz este izomorf cu grupul liniar proiectiv special PSL(2,7) = PSL(3 ). ,2) și grupul liniar complet GL(3,2) (care este egal cu PGL(3,2) deoarece câmpul are un singur element diferit de zero). Grupul este format din 168 de permutări diferite.

Grupul de automorfism este format din 6 clase de conjugație .
Toate structurile ciclice , cu excepția unui ciclu de lungime 7, definesc în mod unic o clasă de conjugație:

48 de permutări cu un ciclu complet de lungime 7 formează două clase de conjugație cu 24 de elemente fiecare:

Datorită teoremei Redfield-Polyi, numărul de colorări neechivalente ale planului Fano în n culori este:

Configurații

Planul Fano conține următoarele configurații diferite de puncte și linii. Pentru fiecare tip de configurație, numărul de copii ale configurației, înmulțit cu numărul de simetrii plane la care se păstrează configurația, este 168, dimensiunea întregului grup de simetrii.

Construcții teoretice de grup

7 puncte ale planului corespund a 7 elemente de non-identitate ale grupului ( Z 2 ) 3 = Z 2  ×  Z 2  ×  Z 2 . Planurile drepte corespund subgrupurilor de ordinul 4 izomorfe la Z 2  ×  Z 2 . Grupul de automorfism GL(3,2) al grupului ( Z 2 ) 3 este grupul de izomorfism al planului Fano și are ordinul 168.

Diagrame

Planul Fano este o diagramă bloc simetrică mică , și anume o diagramă 2-(7,3,1). Punctele circuitelor sunt puncte plane, iar blocurile circuitelor sunt linii plane. Astfel, planul Fano este un exemplu important de teorie a organigramei.

Teoria matroidei

Avionul Fano este un exemplu important în teoria matroidei . Excluderea planului Fano ca matroide minor este necesară pentru a descrie unele clase importante de matroizi, cum ar fi matroizii obișnuiți , grafici și cografici.

Dacă o linie este împărțită în trei linii cu două puncte, obținem o „configurație non-Fan” care poate fi încorporată în planul real. Acesta este un alt exemplu important din teoria matroidelor care ar trebui eliminat pentru ca un număr mare de teoreme să fie valabile.

Sistemul lui Steiner

Planul Fano, fiind o diagramă bloc, este un sistem de triple Steiner . Și în acest caz, i se poate da structura unui cvasigrup . Acest cvasigrup coincide cu structura multiplicativă definită de unitățile de octonioni e 1 , e 2 , …, e 7 (fără 1) dacă semnele produsului octonionilor sunt ignorate [3] .

Spațiu de distracție 3D

Planul Fano poate fi extins la carcasa 3D pentru a forma cel mai mic spațiu proiectiv 3D, iar acesta este notat PG(3,2). Are 15 puncte, 35 de linii și 15 avioane.

Vezi și

Note

  1. ↑ De fapt, acesta este grupul PΓL(3,2), dar un câmp finit de ordinul 2 nu are un automorfism neidentic, grupul se transformă în PGL(3,2).
  2. ↑ Manivel, 2006 , p. 457–486.
  3. ↑ Baez, 2002 , p. 145–205.

Literatură

Link -uri