Seria Leibniz

Seria Leibniz este o serie alternativă numită după matematicianul german Leibniz care a studiat-o (deși această serie era cunoscută înainte):

1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac { 1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}} +{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum _{{n=0}}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1} }.

Convergența acestei serii decurge imediat din teorema Leibniz pentru serii alternante . Leibniz a arătat că suma unei serii este egală cu Această descoperire a arătat pentru prima dată că numărul , definit inițial în geometrie, este de fapt o constantă matematică universală ; în viitor, acest fapt a găsit constant noi confirmări. ${\frac {\pi }{4}}.$ $\pi$

Rata de convergență

Seria Leibniz converge extrem de lent. Următorul tabel ilustrează rata de convergență către o serie înmulțită cu 4. $\pi$

n (numărul de membri ai seriei)	$4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (suma parțială, caracterele corecte sunt evidențiate cu negru)	Precizie relativă
2	2.666666666666667	0,848826363156775
patru	2.895238095238095	0,921582908570213
opt	3.017071817071817 _	0,960363786700453
16	3.079153394197426 _	0,980124966449415
32	3.1 10350273698686	0,990055241612751
64	3.1 25968606973288	0,995026711499770
100	3.1 31592903558553	0,996816980705689
1000	3.14 0592653839793	0,999681690193394
10.000	3.141 492653590043	0,999968169011461
100.000	3.1415 82653589793	0,999996816901138
1.000.000	3.14159 1653589793	0,999999681690114
10.000.000	3.141592 553589793	0,999999968169011
100.000.000	3.1415926 43589793	0,99999996816901
1.000.000.000	3.14159265 2589793	0,99999999681690

Istorie

Seria Leibniz este ușor de obținut prin expansiunea arc-tangentei într- o serie Taylor [1] :

\operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots

Punând , obținem seria Leibniz. $x=1,$

Seria Taylor pentru arc tangente a fost descoperită pentru prima dată de matematicianul indian Madhava din Sangamagrama , fondatorul Școlii de Astronomie și Matematică din Kerala (secolul XIV). Madhava a folosit seria [2] [3] pentru a calcula numărul . Cu toate acestea, seria Leibniz cu, așa cum se arată mai sus, converge extrem de lent, așa că Madhava a pus și a obținut o serie convergentă mult mai rapidă [4] : $\pi$ $x=1,$ $x={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}- {\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\puncte \right).

Suma primilor 21 de termeni dă valoarea , iar toate semnele, cu excepția ultimului, sunt corecte [5] . $3{,}14159265359$

Lucrarea lui Madhava și a discipolilor săi nu a fost cunoscută în Europa secolului al XVII-lea, iar expansiunea arc-tangentei a fost redescoperită independent de James Gregory (1671) și Gottfried Leibniz (1676). Prin urmare, unele surse sugerează numirea acestei serii „seria Madhava-Leibniz” sau „seria Gregory-Leibniz”. Grigore, însă, nu a legat această serie cu numărul $\pi.$

Accelerarea convergenței

O altă modificare a seriei Leibniz, care o face practic adecvată pentru calcul , este unirea în perechi a termenilor seriei. Ca rezultat, obținem următorul rând: $\pi$

{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1} {4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3))).

Pentru a optimiza și mai mult calculele, puteți aplica formula Euler-Maclaurin și puteți utiliza metode de integrare numerică .

Vezi și

serie armonică

Note

↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 401.
↑ Paplauskas A. B. Perioada pre-newtoniană de dezvoltare a serii infinite. Partea I // Cercetare istorică și matematică . - M . : Nauka, 1973. - T. XVIII . - S. 104-131 .
↑ CT Rajagopal și MS Rangachari. Pe o sursă neexploatată de matematică medievală Keralese (engleză) // Arhiva pentru Istoria Științelor Exacte : jurnal. - 1978. - Iunie ( vol. 18 ). - P. 89-102 . - doi : 10.1007/BF00348142 .
↑ Numărul omniprezent „pi”, 2007 , p. 47.
↑ R. C. Gupta. Madhava și alte valori medievale indiene ale pi // Matematică . Educaţie. - 1975. - Vol. 9 , nr. 3 . -P.B45 - B48 .

Literatură

Jukov A. V. Numărul omniprezent „pi”. - Ed. a II-a. - M . : Editura LKI, 2007. - 216 p. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 2. - 864 p. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Gregory Series (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux