Serii alternante

O serie alternativă este o serie matematică ai cărei membri iau alternativ valorile semnelor opuse, adică:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,b_{n} ,\;b_{n}>0

Semnul lui Leibniz

Formulare

Testul Leibniz este un test pentru convergența unei serii alternative, stabilit de Gottfried Leibniz . Enunțul teoremei:

Să fie dată o serie alternativă

S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n},\ b_{n}\geq 0

pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:

$b_{n}\geq b_{n+1}$ , începând de la un număr ( ), $n\geq N$
$\lim _{{n\to \infty }}b_{n}=0.$

Apoi această serie converge.

Note

Serii care satisfac testul Leibniz se numesc serii Leibniz . Astfel de serii pot converge absolut (dacă seria converge ) sau pot converge condiționat (dacă seria de module diverge). $\sum _{n=1}^{\infty}b_{n)$

Dezintegrarea monotonă nu este necesară pentru convergența unei serii alternative (în timp ce este o condiție necesară pentru convergență pentru orice serie), deci criteriul în sine este doar suficient , dar nu necesar (de exemplu, seria converge). Pe de altă parte, dezintegrarea monotonă este esențială pentru aplicarea testului Leibniz; dacă este absentă, atunci seria poate diverge chiar dacă a doua condiție a testului Leibniz este îndeplinită. Un exemplu de serie alternativă divergentă cu o scădere nemonotonă în termeni [1] : $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n)))$

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}+\puncte +{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n}}+\puncte

Sumele parțiale dublate ale acestei serii coincid cu sumele parțiale ale seriei armonice și, prin urmare, cresc la infinit.

Dovada

Se consideră două șiruri de sume parțiale ale seriei și . $R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n)$ $L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1}$

Prima secvență nu scade: cu prima condiție. $R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0$

Prin aceeași condiție, a doua secvență nu crește: . $L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\geq 0$

A doua secvență o majorează pe prima, adică pentru orice . Într-adevăr, $L_{n}\geq R_{m)$ $m,n\în {\mathbb {N}}$

cand avem:

m\geq n

L_{n}-R_{m}\geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,

cand avem:

m\le n

L_{n}-R_{m}\geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.

Prin urmare, ambele converg ca secvențe mărginite monotone.

Rămâne de observat că: , deci converg către o limită comună , care este suma seriei originale. $\lim _{{m,n}}|R_{n}-L_{{m}}|=0$ $S$

Pe parcurs, am arătat că pentru orice sumă parțială a seriei , estimarea este valabilă . $S_{n}$ $|S-S_{n}|<b_{{n+1}}$

Exemplu

$\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{{n+1}}{\frac {1}{n}}\;$ . O serie de module are forma - aceasta este o serie armonică care diverge. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

Acum folosim testul Leibniz:

intercalarea făcută
${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n)),\;\forall \;n$
$\lim _{{n\to \infty }}\,{\frac {1}{n}}=0$ .

Prin urmare, deoarece toate condițiile sunt îndeplinite, seria converge (și condiționat, deoarece seria modulelor diverge).

O estimare pentru restul seriei Leibniz

Din teorema lui Leibniz rezultă un corolar, care face posibilă estimarea erorii în calcularea sumei incomplete a unei serii ( restul unei serii ):

S_{n}=\sum _{{i=1}}^{n}(-1)^{i}b_{i}.

Restul seriei alternante convergente va fi modulo mai mic decât primul termen aruncat: $R_{n}=S-S_{n)$

\left|R_{n}\right|<b_{n+1}.

Dovada [2]

Secvența este monoton crescătoare, deoarece expresia a este nenegativă pentru orice număr întreg . Secvența este monoton descrescătoare, deoarece expresia dintre paranteze este nenegativă. După cum s-a demonstrat deja în demonstrarea teoremei lui Leibniz în sine, ambele secvențe - și - au aceeași limită ca și așa obținută și, de asemenea, Deci și Deci, pentru orice , ceea ce trebuia să fie demonstrat. $S_{{2k}}$ $S_{{2k}}=\sum \limits _{{i=2}}^{{i=n}}{\left({b_{{2i-1}}-b_{{2i}}}\right )},$ $b_{{2i-1}}-b_{{2i}}$ $i.$ $S_{{2k-1}}$ $S_{{2k+1}}=S_{{2k-1}}-\stânga({b_{{2k}}-b_{{2k+1}}}\dreapta),$ $S_{{2k}}$ $S_{{2k-1}}$ $k\la +\infty .$ $S_{{2k}}\leqslant s\leqslant S_{{2k-1}}$ $s\leqslant S_{{2k+1}}.$ $0\leqslant s-S_{{2k}}\leqslant S_{{2k+1}}-S_{{2k}}=b_{{2k+1}}$ $0\leqslant S_{{2k-1}}-s\leqslant S_{{2k-1}}-S_{{2k}}=b_{{2k}}.$ $k$ $\left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{{k+1}},$

Serii alternante

Serii alternante sunt uneori numite și alternante [3] , dar acest termen poate însemna și orice serie care are un număr infinit de termeni pozitivi și negativi în același timp.

Vezi și

Testul Dirichlet este o generalizare a testului Leibniz

Literatură

Bronshtein IN , Semendyaev KA Manual de matematică . - Ed. al 7-lea, stereotip. - M . : Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1967. - S. 296.
Vorobyov N. N. Teoria seriei. - a 4-a ed. — M .: Nauka, 1979. — 408 p. - (Capitole alese de matematică superioară pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior).
Ivanov G. E. Capitolul 9. Seria numerică. §3. Serii cu membri alternanți // Prelegeri de analiză matematică. - M. : MIPT, 2000. - T. 1. - S. 299-303. — 359 p. - 800 de exemplare. — ISBN 5-7417-0147-7 .

Note

↑ Vorobyov, 1979 , p. 84-85.
↑ Beklemishev D.V. Curs de Geometrie Analitică și Algebră Liniară: Proc. pentru universități. - Ed. a 10-a, Rev. — M. : FIZMATLIT, 2005.
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral vol. 2 p. 302

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich