Teorema spectrală

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 7 august 2022; verificarea necesită 1 editare .

Teorema spectrală este o clasă de teoreme pe matrice operator liniar care oferă condiții în care astfel de matrici pot fi diagonalizate , adică reprezentate ca o matrice diagonală într-o anumită bază . Aceste teoreme reduc calculele care implică matrici diagonalizabile la calcule mult mai simple folosind matricele diagonale corespunzătoare.

Conceptul de diagonalizare, care este destul de simplu pentru cazul spațiilor vectoriale cu dimensiuni finite , necesită unele clarificări atunci când se trece la spații vectoriale cu dimensiuni infinite. .

În general, teorema spectrală evidențiază o clasă de operatori liniari care pot fi modelați prin operatori de multiplicare - cei mai simpli operatori care pot fi. Mai abstract, teorema spectrală este o afirmație despre algebrele comutative . $C^{*}$

Exemple de operatori la care se poate aplica teorema spectrală sunt operatorii autoadjuncți sau, mai general, operatori normali pe spații Hilbert .

Teorema spectrală oferă, de asemenea, o descompunere canonică a spațiului vectorial ambiental, numită descompunere spectrală sau cu valori proprii .

Caz cu dimensiuni finite

Teorema spectrală pentru matrici hermitiene

Pentru orice matrice hermitiană pe un spațiu vectorial cu dimensiuni finite, [ 1] : $A$ $V$

Toate valorile proprii ale matricei sunt reale ; $A$
Vectorii proprii corespunzători diferitelor valori proprii sunt ortogonali ;
Vectorii proprii formează o bază ortogonală pentru întregul spațiu . $V$

Dovada

Lema 1 : pentru orice vector și adevărat: $\mathbf {y} \in V$ $\mathbf {z} \in V$

(A\mathbf {y},\mathbf {z})=(\mathbf {y}, A\mathbf {z})

Dovada Lemei 1:

Prin definitie:

A=A^{*}

Prin urmare:

(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(Ay)^{*}z=y^{*}Az=(y,Az)

Dovada declaraţiei 1 . Să demonstrăm că toate valorile proprii ale matricei sunt reale. $A$

Se consideră - valoarea proprie a matricei . $\lambda$ $A$

Apoi, prin definiția unei valori proprii, există un vector pentru care . $(\mathbf {x} \în V)\neq 0$ $A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$

Înmulțiți scalar ambele părți ale acestei egalități cu : $\mathbf {x}$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )

Prin definiția produsului punctual:

(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )}}={\overline {\lambda }}( \mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (1)

Pe de altă parte, aplicând lema 1 la , obținem: $\mathbf {y} =\mathbf {z} =\mathbf {x}$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )=\ lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (2)

Din egalități rezultă : $(unu)$ $(2)$

{\overline {\lambda ))(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )

Deoarece pentru oricare este adevărat , atunci: $(\mathbf {x} \în V)\neq 0$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$

{\overline {\lambda }}=\lambda

ceea ce înseamnă . $\lambda \in \mathbb {R}$

Dovada afirmaţiei 2 . Să demonstrăm că vectorii proprii corespunzători diferitelor valori proprii sunt ortogonali.

Luați în considerare două valori proprii diferite . Apoi: $\lambda \neq \mu$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

unde și sunt vectori proprii. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Să înmulțim prima egalitate cu , și să aplicăm, de asemenea, Lema 1 și faptul dovedit mai sus că valorile proprii sunt reale, . Ca rezultat, obținem: $\mathbf {y}$ $\lambda \in \mathbb {R}$

\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,\mathbf {y} )= (\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mu \mathbf {y} )=\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Pornind de la , obținem că , adică, cu alte cuvinte, vectorii și sunt ortogonali. $\lambda \neq \mu$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Dovada afirmaţiei 3 . Să demonstrăm că vectorii proprii formează o bază pentru întregul spațiu $V$

Fie , valoarea proprie a matricei și vectorul propriu corespunzător . $\lambda _{1}$ $A$ $\mathbf {x_{1}}$

Se consideră - mulțimea tuturor vectorilor de la , ortogonal la . $V_{1}$ $V$ $\mathbf {x_{1}}$

Deoarece pentru oricare este adevărat că , atunci conform Lemei 1: $\mathbf {x} \in V_{1}$ $(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0$

(\mathbf {x_{1}} ,A\mathbf {x} )=(A\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=\lambda _{1}(\mathbf {x_ {1}} ,\mathbf {x} )=0

Prin urmare, . $\mathbf {Ax} \in V_{1}$

Operatorul liniar , fiind mărginit de mulțimea , este și hermitian, are o valoare proprie și un vector propriu corespunzător . $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{1}$ $\lambda _{2}$ $\mathbf {x_{2}}$

Prin definiție, ortogonal . ${\mathbf {x}}_{{2}}$ ${\mathbf {x}}_{{1}}$

Considerăm o mulțime - o mulțime de vectori ortogonali în același timp și . În mod similar, operatorul liniar se mapează pe el însuși. $V_{{2}}$ ${\mathbf {x}}_{{1}}$ ${\mathbf {x}}_{{2}}$ $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{{2}}$

Continuând în acest fel, putem găsi șirul , , precum și subspații care conțin și în același timp ortogonale cu vectorii . Secvența se va încheia la pasul , deoarece . $\lambda _{{k}}$ $\mathbf {x} _{k)$ $V_{k)$ $\mathbf {x} _{k)$ $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1)$ $n$ $\dim V_{k}=nk$

Astfel, vectorii proprii formează o bază ortogonală pentru întreg spațiul $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n)$ $V$

■

Teorema spectrală pentru matrice unitară

Pentru orice matrice unitară pe un spațiu vectorial cu dimensiuni finite este adevărată [1] : $U$ $V$

Toate valorile proprii ale matricei au valori absolute egale cu ; $A$ $unu$
Vectorii proprii corespunzători diferitelor valori proprii sunt ortogonali ;
Vectorii proprii formează o bază ortogonală pentru întregul spațiu . $V$

Dovada

Lema 2 : Pentru o matrice unitară , este adevărată următoarea: $U$

(U\mathbf {x}, U\mathbf {y} )=(\mathbf {x},\mathbf {y} )

de unde și sunt vectori arbitrari $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$ $V$

Dovada Lemei 2:

(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(U\mathbf {x} )^{*}U\mathbf {y} =x^{*}U^{*}Uy= x^{*}y=(x,y)

Dovada afirmației 1 : Toate valorile proprii ale matricei au valori absolute egale cu . $A$ $unu$

Se consideră - valoarea proprie a matricei . $\lambda$ $A$

Apoi, prin definiția unei valori proprii, există un vector pentru care: $(\mathbf {x} \în V)\neq 0$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

Aplicând lema 2 obținem:

(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(A\mathbf {x}, A\mathbf {x} )={\overline {\lambda }}\lambda (\mathbf {x} , \mathbf {x} )

Din moment ce , atunci , și prin urmare: $\mathbf {x} \neq 0$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$

{\overline {\lambda }}\lambda =|\lambda |^{2}=1

Dovada revendicării 2 : Vectorii proprii corespunzători diferitelor valori proprii sunt ortogonali.

Luați în considerare două valori proprii diferite . Apoi: $\lambda \neq \mu$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

unde și sunt vectori proprii. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Să înmulțim aceste două ecuații:

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x}, A\mathbf {y} )={\overline {\lambda }}\mu (\mathbf {x} , \mathbf {y} )

După cum se arată mai sus, . Prin urmare , de unde: $|\lambda |=1$ ${\overline {\lambda }}=\lambda ^{-1}$

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mu \lambda ^{-1}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Deoarece ipoteza a fost făcută mai sus , obținem: $\lambda \neq \mu$

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0

Adică, vectorii și sunt ortogonali. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Dovada afirmaţiei 3 : Vectorii proprii formează o bază ortogonală pentru întregul spaţiu . $V$

Fie , valoarea proprie a matricei și vectorul propriu corespunzător . $\lambda _{1}$ $A$ $\mathbf {x_{1}}$

Se consideră - mulțimea tuturor vectorilor de la , ortogonal la . $V_{1}$ $V$ $\mathbf {x_{1}}$

Să demonstrăm că pentru orice vector este adevărat . $\mathbf {x} \in V_{1}$ $A\mathbf {x} \in V_{1}$

Lema 2 implică faptul că . Folosind acest fapt, obținem: ${\displaystyle A^{*}=A^{-1))$

(A\mathbf {x},\mathbf {x} _{1})=(x,A^{*}\mathbf {x} _{1})=(x,A^{-1} \mathbf {x} _{1})=\lambda ^{-1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0

Astfel este un subspațiu propriu al dimensiunii spațiului . $V_{1}$ $\dim V-1$ $V$

Deoarece operatorul liniar , fiind mărginit de mulțimea , este și hermitian, are o valoare proprie și un vector propriu corespunzător . $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{1}$ $\lambda _{2}$ $\mathbf {x_{2}}$

Astfel, vectorii proprii formează o bază ortogonală pentru întreg spațiul $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n)$ $V$

■

Matrici normale

Teorema spectrală poate fi extinsă la o clasă puțin mai largă de matrici. Fie un operator pe un spațiu finit-dimensional cu produs scalar. se numeste normal daca . Se poate dovedi că este normal dacă și numai dacă este diagonalizabil unitar. Într-adevăr, conform descompunerii Schur, avem , unde este un operator unitar și este unul triunghiular superior. Din moment ce este normal, atunci . Prin urmare, este diagonală. Reversul nu este mai puțin evident. $A$ $A$ $AA^{*}=A^{*}A$ $A$ $A=UTU^{*}$ $U$ $T$ $A$ $TT^{*}=T^{*}T$ $T$

Cu alte cuvinte, este normal dacă și numai dacă există o matrice unitară astfel încât , unde este o matrice diagonală de . Mai mult, elementele diagonale ale matricei Λ sunt valori proprii, iar vectorii coloană ai matricei sunt vectori proprii (desigur, au lungimea unitară și sunt ortogonali pe perechi). Spre deosebire de cazul Hermitian, elementele matricei nu sunt neapărat reale. $A$ $U$ $A=U\Lambda U^{*}$ $\lambda$ $A,$ $U$ $A$ $\lambda$

Teorema spectrală pentru operatori autoadjuncți compacti

În spațiile Hilbert cu dimensiuni infinite, afirmația teoremei spectrale pentru operatori autoadjuncți compacti arată în esență la fel ca în cazul cu dimensiuni finite.

Teorema
Fie un operator auto-adjunct compact într-un spațiu Hilbert . Există o bază ortonormală a spațiului , constând din vectorii proprii ai operatorului . În plus, toate valorile proprii sunt reale. $A$ $V$ $V$ $A$

La fel ca și în cazul matricelor hermitiene, punctul cheie este de a demonstra existența a cel puțin unui vector propriu. În cazul infinit-dimensional, este imposibil să se utilizeze determinanți pentru a demonstra existența vectorilor proprii, dar pot fi utilizate considerații de maximizare similare cu caracterizarea variațională a valorilor proprii. Teorema spectrală de mai sus este valabilă atât pentru spațiile Hilbert reale, cât și pentru cele complexe.

Fără presupunerea compactității, afirmația că fiecare operator auto-adjunct are un vector propriu devine falsă.

Teorema spectrală pentru operatori autoadjuncți mărginiți

Următoarea generalizare pe care o considerăm se referă la operatori autoadjuncți mărginiți pe spații Hilbert. Este posibil ca astfel de operatori să nu aibă valori proprii (de exemplu, acesta este operatorul de înmulțire cu o variabilă independentă în spațiu , adică . $A$ $L^{2}[0,1]$ $\left[A\phi \right](t)=t\phi (t)$

Teoremă
Fie un operator auto-adjunct mărginit într-un spațiu Hilbert . Apoi există un spațiu cu măsura , o funcție măsurabilă cu valoare reală activată și un operator unitar astfel încât , unde este operatorul de înmulțire , adică . $A$ $H$ $\left(X,\Sigma,\mu \right)$ $f$ $X$ $U:H\rightarrow L_{\mu }^{2}(X)$ $U^{*}TU=A$ $T$ $\left[T\phi \right](x)=f(x)\phi (x)$

Cu această teoremă începe o vastă zonă de cercetare în analiza funcțională numită teoria operatorilor .

O teoremă spectrală similară este valabilă pentru operatorii normali mărginiți în spațiile Hilbert. Singura diferență este că acum poate fi evaluat în complex. $f$

O formulare alternativă a teoremei spectrale permite ca operatorul să fie scris ca o integrală, preluată din spectrul operatorului, a funcției de coordonate peste măsura de proiecție . În cazul în care operatorul normal luat în considerare este compact, această versiune a teoremei spectrale se reduce la teorema spectrală de dimensiuni finite de mai sus (cu avertismentul că acum combinația liniară poate conține infinite proiecții). $A$

Teorema spectrală pentru operatori generali autoadjuncți

Mulți operatori liniari importanți care apar în calcul nu sunt restricționați. De exemplu, aceștia sunt operatori diferențiali . Există o teoremă spectrală pentru operatorii autoadjuncți care funcționează pentru operatorii nemărginiți. De exemplu, orice operator diferențial cu coeficienți constanți este echivalent unitar cu un operator de înmulțire (operatorul unitar corespunzător este transformata Fourier , iar operatorul de înmulțire corespunzător se numește multiplicatorul Fourier ).

Literatură

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right , Springer Verlag, 1997
A. A. Kirillov, A. D. Gvishiani, Teoreme și probleme de analiză funcțională , M.: Nauka, 1979
Paul Halmos , „Ce spune teorema spectrală?” , American Mathematical Monthly , 70 , nr. 3 (1963), 241-247

Note

↑ 1 2 A. Eremenko. Teoreme spectrale pentru matrici hermitiene și unitare . https://www.math.purdue.edu/~eremenko/ . Purdue science, Departamentul de Matematică (26 octombrie 2017). Consultat la 19 februarie 2019. Arhivat din original pe 20 februarie 2019.