Funcțiile de temperatură ale lui Green

Temperatura Funcțiile lui Green sunt unele modificări ale funcțiilor lui Green pentru sisteme mecanice cuantice cu o temperatură diferită de zero. Sunt convenabile pentru calcularea proprietăților termodinamice ale unui sistem și, de asemenea, conțin informații despre spectrul cvasiparticulelor și despre fenomene cinetice slab neechilibrate.

În sistemele cu interacțiune se poate construi tehnica diagramă corespunzătoare pentru funcțiile lui Green de temperatură. Această tehnică este utilizată pe scară largă pentru a studia tranzițiile de fază ( superconductivitate , superfluiditate , punct Curie) în sisteme diferite. Studiul unor astfel de sisteme este o sarcină non-trivială. Modelul particulelor care nu interacționează este nepotrivit pentru descrierea mecanismului de tranziție în sine și a stării de sub punctul de tranziție. Aici interacțiunea dintre particule joacă un rol decisiv. Luarea în considerare a unei astfel de interacțiuni complică semnificativ aparatul matematic folosit. Aparatul funcţiilor lui Green de temperatură poate fi dezvoltat în două formulări echivalente: cu ajutorul operatorilor mecanici cuantici sau în metoda integralelor funcţionale. Unul dintre avantajele acestei din urmă metode este absența problemelor de necomutativitate a operatorilor de câmp și a diferitelor tipuri de ordonări. [unu]

Abordarea operatorului

Definiția temperaturii Funcțiile lui Green

Introducem operatorii Matsubara în „reprezentarea Heisenberg” prin relațiile [2] : ${\pălărie {\Psi ))$

{\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})},

{\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}} )}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}.

Mai general, acești operatori pot avea indici de spin. În aceste formule , este o variabilă reală , deci operatorii și nu sunt conjugați hermitieni, este potențialul chimic al sistemului, este Hamiltonianul sistemului și este operatorul numărului de particule. Operatori și operatori de câmp Hermitian-Adjoint în reprezentanța Schrödenger . Se poate observa că „reprezentarea Heisenberg” a operatorilor Matsubara diferă de reprezentarea Heisenberg reală prin schimbarea acestuia din urmă , adică formal aceasta poate fi înțeleasă ca o tranziție la timpul imaginar . Funcția verde a temperaturii este definită după cum urmează: $\tau$ $\tau \in(0,1/T)$ ${\hat {\Psi ))(\tau ,\mathbf {r} )$ ${\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )$ $\mu$ ${\hat {H}}$ ${\hat {N}}=\int d\mathbf {r} {\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} ){\hat {\psi }}(\mathbf { r} )$ ${\hat {\psi ))(\mathbf {r} )$ ${\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} )$ $t\rightarrow -i\tau$

G(\tau,\mathbf {r} _{1};\tau ',\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{\frac {( {\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}T_{\tau }{\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} _{1}){\hat {\Psi }}(\tau ',\mathbf {r} _{2})\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat { H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}\right\}}},

unde simbolul înseamnă „ - cronologizare” - aranjarea operatorilor de la stânga la dreapta în ordine descrescătoare . În cazul particulelor Fermi, o permutare a operatorilor duce la o schimbare a semnului comun. [3] Folosind această funcție, puteți calcula numărul de particule în funcție de potențialul chimic sau potențialul chimic în funcție de concentrație și temperatură: $T_{\tau )$ $\tau$ $\tau$ $N=\pm \int d\mathbf {r} G(\tau,\mathbf {r};\tau +0,\mathbf {r}).$

Cazul particulelor libere

Hamiltonianul unui sistem liber, exprimat în termenii operatorilor de câmp Schrödinger, are forma [4] :

\quad {\hat {H_{0}}}=\int {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}\left(-{\frac {\Delta }{2m }}\right){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )d\mathbf {r} ,

în reprezentarea de cuantizare secundară , se va scrie și după cum urmează:

{\hat {H_{0}}}=\sum \varepsilon _{0}(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\ pălărie {a}}_{\mathbf {p} },\quad \varepsilon _{0}(\mathbf {p} )=p^{2}/2m,

care rezultă din definiția operatorilor: ${\pălărie {\psi ))$

{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{i\mathbf {p} \mathbf {r} } {\hat {a}}_{\mathbf {p} },\qquad {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}={\frac {1}{\sqrt {V} }}\sum e^{-i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}.

Temperatura Funcția lui Green a particulelor libere în reprezentarea impuls-„timp”:

G(\mathbf {p},\tau,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta ( \tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right),

Aici $\xi _{0}(\mathbf {p} )=\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )-\mu,\quad \beta =1/T.$

Particule care interacționează

Să presupunem că câmpurile externe nu acționează asupra sistemului de particule, iar interacțiunile dintre particule sunt de tip pereche. Reprezentăm Hamiltonianul sistemului sub forma: Să introducem operatori Matsubara în reprezentarea interacțiunii prin relații [5 ] ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{int}.$

{\hat {\Phi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}}) }{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})},

{\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N)))}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat { N)))}.

Partea perturbată a hamiltonianului exprimată în termeni de operatori — are forma: ${\pălărie {\Phi ))$

{\hat {H}}_{int}={\frac {1}{2}}\int \int d\mathbf {r_{1}} d\mathbf {r_{2}} {\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{1}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\mathbf {r_{1}} ,\tau )U(\mathbf {r_ {1}} -\mathbf {r_{2}} ){\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{2}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\ mathbf {r_{2}} ,\tau ).

Prin aceiași operatori, se poate defini funcția lui Green de temperatură:

G(\tau _{1},\mathbf {r} _{1};\tau _{2},\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{ e^{({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})\beta }T_{\tau }{\hat {\Phi }}(\tau _{1}, \mathbf {r} _{1}){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau _{2},\mathbf {r} _{2})S(\beta )\right\} }{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{T}}S(\beta )\right\} }},

S(\beta)=T_{\tau}\exp {\left(-\int \limits _{0}^{\beta }{\hat {H))_{int}(\tau)d \tau\right)}.

O astfel de notație face posibilă extinderea exponențialului cu o perturbare și calcularea funcției lui Green sub forma unei serii, iar fiecare termen al seriei poate fi reprezentat grafic sub forma unei diagrame.

Regulile tehnicii diagramei de temperatură. reprezentare coordonată.

	Elementele diagramei		Expresie analitică
	titlu	imagine	Expresie analitică
unu	linie solida		$G_{0}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\tau _{1}-\tau _{2})$
2	linie solida		$G_{0}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\tau _{2}-\tau _{1})$
3	Linie ondulată		${\mathfrak {U}}(x_{1}-x_{2})=U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\delta (\tau _ {1}-\tau _{2})$
patru	Desenați toate diagramele neechivalente topologic conectate cu 2n vârfuri și două capete exterioare, unde două linii continue și o linie ondulată converg la fiecare vârf.
5	Integrarea se realizează peste coordonatele ( ) ale fiecărui vârf. $d^{4}z=d\mathbf {r} d\tau$
6	Expresia rezultată este înmulțită cu , n este ordinea diagramei, F este numărul de bucle fermionice închise din ea. $(-1)^{n+F)$

Folosind aceste reguli, descriem corecția de ordinul întâi în perturbarea temperaturii Funcția lui Green de a interacționa particulele. Pentru a face acest lucru, trebuie să ne restrângem la un termen liniar în expansiunea exponentului. Apoi, ținând cont de teorema lui Wick , desenăm toate diagramele conectate (oricare două puncte din diagramă pot fi conectate printr-o linie) de ordinul întâi:

Expresia analitică corespunzătoare, de exemplu, pentru diagrama 2 va fi scrisă după cum urmează:

Diag_{2}(xy)=-\iint d^{4}zd^{4}wG_{0}(xz)G_{0}(zw)G_{0}(wy){\mathfrak {U }}(zw).

Pentru calcule, reprezentarea coordonatelor se dovedește a fi incomodă, prin urmare este mai ușor să se formuleze întreaga tehnică a diagramei în reprezentarea impuls-frecvență, folosind regulile obișnuite ale analizei Fourier . În această reprezentare, expresia analitică a diagramei luate în considerare va lua forma:

Diag_{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=-{\frac {T}{(2\pi )^{3}}}\sum \limits _{\omega _ {m}}\int d\mathbf {p} _{1}G_{0}^{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})G_{0}(\mathbf {p} _{ 1},\omega _{m}){\mathfrak {U}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1},\omega _{n}-\omega _{m}),

unde funcția lui Green a sistemului liber are forma [6] :

G_{0}(\mathbf {p},\omega _{n})={\frac {1}{i\omega _{n}-\varepsilon _{0}(\mathbf {p}) +\mu}},

\omega _{n}=(2n+1)\pi T

- pentru fermioni,

\omega _{n}=2n\pi T

- pentru bosoni. Regulile tehnicii diagramei de temperatură. Reprezentare puls-frecvență.

	Elementele diagramei		Expresie analitică
	titlu	imagine	Expresie analitică
unu	linie solida		$G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})$
3	Linie ondulată		${\mathfrak {U}}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=U(\mathbf {p} )$
patru	Potriviți liniile diagramei cu impulsurile și frecvențele externe. Momentul și frecvențele liniilor interne la fiecare vârf trebuie să îndeplinească legile de conservare $\sum \mathbf {p} =0,\sum \omega =0$
5	Integrarea se realizează pe toate impulsurile independente, iar însumarea se realizează pe frecvențe.
6	Expresia rezultată este înmulțită cu , k este ordinea diagramei, F este numărul de bucle închise din diagramă și s este spinul particulei. $(-1)^{k}{\frac {T^{k}}{(2\pi )^{3k}}}(2s+1)^{F}(\mp )^{F}$

În cel mai simplu caz (L. Landau), potențialul poate fi luat în forma care corespunde razei de interacțiune zero. Grafic, aceasta corespunde contracției a două puncte, care sunt conectate printr-o linie ondulată într-unul singur. $U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\sim \delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}) ,,$

Metoda de integrare funcțională

În trecerea de la mecanica statistică clasică la mecanica cuantică, integrarea peste variabile conjugate canonic este înlocuită cu o urmă , adică cu o sumă peste stări. [7] Astfel, funcția de partiție a unui sistem cuantic cu un operator hamiltonian este definită ca $p,q$ ${\hat {H}}$

Z=Tre^{-\beta {\hat {H)}}=\sum \limits _{n}{\langle n\vert e^{-\beta {\hat {H)}}\vert n\rangle }.

Se poate observa că termenul de sub semnul sumă este similar cu elementul matriceal al operatorului de evoluție până la înlocuire . Acest element de matrice este dat de formula Feynman-Katz [8] : $t\rightarrow -i\beta$

\langle q_{2}\vert e^{-it{\hat {H)}}\vert q_{1}\rangle =\int \prod \limits _{t}{\frac {dp(t )dq(t)}{2\pi }}\exp {\left(i\int \limits _{0}^{t}\left(p{\dot {q}}-H(p,q)\ dreapta)dt\dreapta)}.

Să fim atenți la faptul că mărimile din integrala funcțională sunt funcții clasice, iar în calculele ulterioare nu există nicio problemă cu relațiile de comutație. Să facem o rotație Wick în această formulă și să identificăm , apoi expresiile pentru funcția de partiție vor fi transformate în forma: $p,q,H(p,q)$ $q\sim \psi (x,\tau), p\sim i\psi ^{+}(x,\tau )$

Z=\int \limits _{BC}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}e^{-S_{\beta )),\qquad BC= {\begin{cases}\psi (x,\tau )=\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Bose))\\\psi (x,\tau )=-\psi ( x,\tau +\beta ),&{\text{Fermi}}\end{cases}},

unde acțiunea teoriei temperaturii, integrarea se realizează pe câmpuri cu condițiile la limită corespunzătoare (BC) În cazul unui gaz ideal $S_{\beta )$

S_{\beta }^{0}=\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} \psi ^{+}(x,\tau )\ stânga(\partial _{\tau }+{\frac {\Delta }{2m}}-\mu \right)\psi (x,\tau ).

Interacțiunea perechi poate fi luată în considerare sub forma unui termen de tip densitate-densitate [9]

S_{\beta }^{int}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )U(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )\psi ^{+}(x',\ tau )\psi (x',\tau ).

După cum am menționat mai sus, obiectele nu sunt operatori de câmp. În cazul fermionilor, acestea sunt funcții Grassmann , care este o moștenire a antisimetriei funcțiilor de undă fermionice. $\psi (x,\tau ),\psi ^{+}(x,\tau )$

Definirea temperaturii Funcția lui Green

Definim funcția lui Green ca medie a produsului mai multor câmpuri cu greutate . [10] Deci funcția de corelare a perechii este dată de expresia $\exp(-S_{\beta})$

G(x,x',\tau,\tau ')=\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\frac {1 }{Z}}\int \limits _{BC}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}\psi ^{+}(x,\tau )\psi ( x',\tau )e^{-S_{\beta )),\quad S_{\beta }=S_{\beta }^{0}+S_{\beta }^{int}.

Pentru definirea corectă a acestui obiect, după cum se poate arăta, avem nevoie de o definiție suplimentară $G(x,x',\tau =\tau ')=G(x,x',\tau =\tau '+0).$

Cazul particulelor libere

Să calculăm funcția lui Green pentru particulele care nu interacționează. După cum se știe [11] , pentru aceasta este necesar să se găsească nucleul operatorului ținând cont de condițiile la limită, adică să se rezolve ecuația $\left(-\partial _{\tau}+{\hat {H}}_{1}\right)^{-1}$

\left(-\partial _{\tau}+{\hat {H}}_{1}\right)G_{0}(x,x',\tau,\tau ')=\delta ( xx')\delta(\tau-\tau').

Ecuația este rezolvată elementar în reprezentare $p-\tau$

G_{0}(\mathbf {p},\tau,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left( \Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right).

După cum se poate observa, această funcție a lui Green coincide cu funcția lui Green obținută folosind operatorii Matsubara. Extinderea acestei funcții cu „timpi” care coincid înseamnă că funcția theta la zero este egală cu zero.

Particule care interacționează

Să considerăm, de exemplu, bosonii cu o interacțiune interparticule de tipul . $U(xx')=\lambda \delta (xx'),\lambda >0.$ $\lambda$

\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x' ,\tau ')\rangle }_{0}-{\frac {\lambda }{2}}\int \limits _{0}^{\beta }dt\int d\mathbf {y} {\langle \ psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\left(\psi ^{+}(y,\tau )\psi (y,\tau )\right)^{2 }\rangle }_{0}+O(\lambda ^{2}).

Să construim tehnica diagramei corespunzătoare

Regulile tehnicii diagramei de temperatură. reprezentare coordonată.

	Elementele diagramei		Expresie analitică
	titlu	imagine	Expresie analitică
unu	Cruce		$\psi ^{+}(x,\tau )$
2	Punct		$\psi (x,\tau )$
3	propagator		${\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}=G_{+,0}(x,x',\tau ,\tau ')$
patru	propagator		${\langle \psi (x',\tau ')\psi ^{+}(x,\tau )\rangle }_{0}=G_{0,+}(x',x,\tau ',\tau )$
3	Vertex		$\left(\psi ^{+}(x,\tau)\psi (x,\tau)\right)^{2)$
5	Înmulțiți fiecare vârf cu , unde n este ordinea diagramei, r este coeficientul de simetrie, numărul de grafice echivalente topologic. $(-\lambda /2)^{n}r/n!$
5	Integrarea se realizează peste toate coordonatele vârfurilor.

Desenați în primul rând toate graficele conectate

Există o singură diagramă pentru el . Expresia analitică corespunzătoare pentru corecție $r=4$

Diag=-2\lambda \int \limits _{0}^{\beta}dt\int dyG_{+,0}(x,y,\tau,t)G_{+,0}(y, y,t,t)G_{+,0}(y,x',t,\tau '),

această expresie este exact aceeași cu cea obținută mai devreme în metoda operatorului. Pentru potențialul considerat, două diagrame 1 și 2 devin echivalente, prin urmare, pentru a obține o contribuție într-o singură buclă, expresia pentru una dintre diagrame trebuie înmulțită cu 2. Desigur, în acest caz este, de asemenea, rezonabil să trecem la reprezentarea impulsului. Regulile pentru construirea diagramelor în reprezentarea momentului sunt aceleași ca înainte.

Note

↑ Ishihara A. Statistical Physics. - M . : Mir, 1973. - S. 408.
↑ Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzyaloshinsky I. E. Methods of quantum field theory in statistical physics. - M . : Dobrosvet, KDU, 2006. - S. 153. - ISBN 5-98227-171-3 .
↑ Landau L.D., Lifshits E.M., Pitaevsky L.P. 2 // Fizică statistică. - M . : Nauka, 1976. - S. 172.
↑ Haken X. Teoria cuantică a câmpului solidelor. - M . : Nauka, 1980. - S. 99.
↑ Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzyaloshinsky I. E. Methods of quantum field theory in statistical physics. - M . : Dobrosvet, KDU, 2006. - S. 166. - ISBN 5-98227-171-3 .
↑ Landau L.D., Lifshits E.M., Pitaevsky L.P. 9 // Fizică statistică. - M . : Nauka, 1976. - S. 180.
↑ Vasiliev A.N. Metode funcționale în teoria și statistica cuantică a câmpurilor. - Leningrad: Leningrad. Univ., 1976. - S. 162.
↑ Vergeles S. Prelegeri de electrodinamică cuantică. - M. : Fizmatlit, 2008. - P. 7. - ISBN 978-5-9221-0892-8 .
↑ Komarova M.V., Nalimov M.Yu., Novozhilova T.Yu. Tranziții de fază în sisteme cuantice: superfluiditate și supraconductivitate. St.Petersburg: Facultatea de Fizică, Universitatea de Stat din Sankt Petersburg.
↑ Popov V. N. Integrale continuu în teoria câmpului cuantic și fizica statistică. - M .: Atomizdat , 1976. - S. 31.
↑ Diagramele Matukk R. Feynman în problema cu mai multe corpuri. - M . : Mir, 1969. - S. 68.
↑ Vasiliev A. N. Grupul de renormalizare a câmpului cuantic în teoria comportamentului critic și dinamicii stocastice. - Sankt Petersburg: PNPI, 1998. - P. 77. - ISBN 5-86763-122-2 .

Literatură

Zee E. Teoria câmpului cuantic pe scurt. - M.-Izhevsk: NIC „RHD”, 2009. - ISBN 978-5-93972-770-9 .
Tsvelik AM Teoria câmpului cuantic în fizica materiei condensate. - M. : FIZMATLIT, 2002. - ISBN 5-9221-0237-0 .
Zinn-Justin J. Teoria câmpului cuantic și fenomenele critice. - Oxford: Clarendon Press, 2002. - ISBN 0-19-850923-5 .

Funcțiile de temperatură ale lui Green

Abordarea operatorului

Definiția temperaturii Funcțiile lui Green

Cazul particulelor libere

Particule care interacționează

Metoda de integrare funcțională

Definirea temperaturii Funcția lui Green

Cazul particulelor libere

Particule care interacționează

Note

Literatură

Vezi și