Teoria Hodge

Teoria Hodge se ocupă de studiul formelor diferențiale pe varietăți netede . Mai precis, această teorie studiază modul în care Laplacianul generalizat asociat cu o metrică riemanniană pe o varietate M afectează grupurile sale de coomologie cu coeficienți reali.

Această teorie a fost dezvoltată de William Hodge în anii 1930 ca o generalizare a coomologiei de Rham . Teoria Hodge are aplicații majore la trei niveluri:

În primele lucrări, se presupunea că varietatea M este închisă (adică compactă și fără graniță). La toate cele trei niveluri, teoria a avut o mare influență asupra lucrărilor ulterioare, fiind folosită de Kunihiko Kodaira și, mai târziu, de mulți alții.

Aplicații și exemple

Coomologie De Rham

Hodge însuși a formulat această teorie pentru complexele de Rham . Dacă M este o varietate compactă orientabilă înzestrată cu o metrică netedă g și Ω k ( M ) este un snop de forme diferențiale netede de grad k pe M , atunci complexul de Rham este o succesiune de operatori diferențiali

0\rightarrow {\mathbb R}{\xrightarrow {d_{{-1))))\Omega ^{0}(M){\xrightarrow {d_{0))}\Omega ^{1}(M){ \xrightarrow {d_{1}}}\cdots {\xrightarrow {d_{{n-1}}}}\Omega ^{n}(M){\xrightarrow {d_{n}}}0

unde d k denotă derivata exterioară pe Ω k ( M ). Atunci coomologia de Rham este pur și simplu o secvență de spații vectoriale definite ca

H^{k}(M)={\frac {\ker d_{k}}{{\mathrm {im}}\,d_{{k-1}}}}.

Este posibil să se definească un operator conjugat formal cu derivata exterioară (diferenţială exterioară) d , numită codiferenţială şi notat pur şi simplu cerând ca pentru toate α ∈ Ω k ( M ) şi β ∈ Ω k +1 ( M ) relaţia $\delta :$

\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle _{{k+1}}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\ ,dV

unde este metricul indus pe . Acum laplacianul poate fi definit ca . Acest lucru ne permite să definim spații de forme armonice: $\langle \ ,\ \rangle _{k}$ $\Omega ^{k}(M)$ $\Delta =d\delta +\delta d$

{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

Se poate arăta că , deci există o mapare canonică . Prima parte a teoremei lui Hodge afirmă că este un izomorfism al spațiilor vectoriale. $d{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=0$ $\varphi :{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)\rightarrow H^{k}(M)$ $\varphi$

Una dintre principalele consecințe ale acestui lucru este că grupurile de coomologie de Rham de pe o varietate compactă sunt de dimensiuni finite. Aceasta rezultă din faptul că operatorii sunt eliptici , iar nucleul unui operator eliptic pe o varietate compactă este întotdeauna finit-dimensional. $\Delta$

Teoria Hodge pentru complexe eliptice

Structuri Hodge

Definiția abstractă a structurilor Hodge (reale) este următoarea: pentru un spațiu vectorial real , structura Hodge este descompunerea complexificării sale într-o sumă directă gradată. $W$ $W$ $W^{{{\mathbb C}}}=W\otimes {\mathbb C}$

W^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\bigoplus _{p=0}^{k}W^{p,kp)

în plus, conjugarea complexă nu rearanjează termenii gradați și : $W^{\mathbb {C} }$ $W^{{p,q}}$ $W^{{q,p}}$

\overline {W^{{p,q}}}=W^{{q,p}}

Afirmația principală este că grupurile de coomologie singulare cu coeficienți reali ai unei varietăți proiective complexe nesingulare au următoarea structură Hodge: $H^{k}(V,\mathbb{R} )$ $V$

H^{k}=\oplus _{{p=0}}^{k}H^{{p,kp}}

unde sunt grupurile de coomologie Dolbeault ale varietatii . Aceasta implică relația dintre numerele Betti și : $H^{{p,q}}$ $V$ $b_{k}=\dim H^{k}$ $h_{{p,q}}=\dim H^{{p,q}}$

b_{k}=\sum _{{p=0}}^{k}h_{{p,kp}}

Expansiunea Hodge a apărut inițial din teoria formelor armonice (vectorii proprii ai laplacianului în spațiul formelor diferențiale ) care generalizează funcții armonice constante local. Se dovedește că fiecare clasă de coomologie singulară poate fi reprezentată printr-o formă armonică unică și că o astfel de formă are în mod necesar o bigradare bine definită (față de acțiunea operatorului de structură complexă). Aceasta implică expansiunea Hodge. Ulterior, descompunerea lui Hodge a fost obținută pur algebric, folosind teoria secvențelor spectrale și a grupurilor de coomologie de snopi , în lucrările lui Dolbeault. $(p,q)$ $H^{{q}}(V,\Omega ^{{p}})$

În cazul varietăților necompacte sau ale varietăților cu singularități , este necesar să se înlocuiască structura Hodge cu o structură Hodge mixtă , care diferă prin faptul că descompunerea coomologiei singulare într-o sumă directă este înlocuită cu o pereche de filtrări . Acest caz este folosit, de exemplu, în teoria monodromiei .

Literatură

F. Griffiths, J. Harris. Principiile geometriei algebrice. - IO NFMI, 2000. - T. 1. - 496 p. - ISBN 5-80323-126-6 .
C. Voisin. Teoria Hodge și geometria algebrică complexă. - M. : MTSNMO , 2010. - T. 1. - 344 p. - 1000 de exemplare. - ISBN 978-5-94057-514-6 .