Teoria Hodge se ocupă de studiul formelor diferențiale pe varietăți netede . Mai precis, această teorie studiază modul în care Laplacianul generalizat asociat cu o metrică riemanniană pe o varietate M afectează grupurile sale de coomologie cu coeficienți reali.
Această teorie a fost dezvoltată de William Hodge în anii 1930 ca o generalizare a coomologiei de Rham . Teoria Hodge are aplicații majore la trei niveluri:
În primele lucrări, se presupunea că varietatea M este închisă (adică compactă și fără graniță). La toate cele trei niveluri, teoria a avut o mare influență asupra lucrărilor ulterioare, fiind folosită de Kunihiko Kodaira și, mai târziu, de mulți alții.
Hodge însuși a formulat această teorie pentru complexele de Rham . Dacă M este o varietate compactă orientabilă înzestrată cu o metrică netedă g și Ω k ( M ) este un snop de forme diferențiale netede de grad k pe M , atunci complexul de Rham este o succesiune de operatori diferențiali
unde d k denotă derivata exterioară pe Ω k ( M ). Atunci coomologia de Rham este pur și simplu o secvență de spații vectoriale definite ca
Este posibil să se definească un operator conjugat formal cu derivata exterioară (diferenţială exterioară) d , numită codiferenţială şi notat pur şi simplu cerând ca pentru toate α ∈ Ω k ( M ) şi β ∈ Ω k +1 ( M ) relaţia
unde este metricul indus pe . Acum laplacianul poate fi definit ca . Acest lucru ne permite să definim spații de forme armonice:
Se poate arăta că , deci există o mapare canonică . Prima parte a teoremei lui Hodge afirmă că este un izomorfism al spațiilor vectoriale.
Una dintre principalele consecințe ale acestui lucru este că grupurile de coomologie de Rham de pe o varietate compactă sunt de dimensiuni finite. Aceasta rezultă din faptul că operatorii sunt eliptici , iar nucleul unui operator eliptic pe o varietate compactă este întotdeauna finit-dimensional.
Definiția abstractă a structurilor Hodge (reale) este următoarea: pentru un spațiu vectorial real , structura Hodge este descompunerea complexificării sale într-o sumă directă gradată.
în plus, conjugarea complexă nu rearanjează termenii gradați și :
Afirmația principală este că grupurile de coomologie singulare cu coeficienți reali ai unei varietăți proiective complexe nesingulare au următoarea structură Hodge:
unde sunt grupurile de coomologie Dolbeault ale varietatii . Aceasta implică relația dintre numerele Betti și :
Expansiunea Hodge a apărut inițial din teoria formelor armonice (vectorii proprii ai laplacianului în spațiul formelor diferențiale ) care generalizează funcții armonice constante local. Se dovedește că fiecare clasă de coomologie singulară poate fi reprezentată printr-o formă armonică unică și că o astfel de formă are în mod necesar o bigradare bine definită (față de acțiunea operatorului de structură complexă). Aceasta implică expansiunea Hodge. Ulterior, descompunerea lui Hodge a fost obținută pur algebric, folosind teoria secvențelor spectrale și a grupurilor de coomologie de snopi , în lucrările lui Dolbeault.
În cazul varietăților necompacte sau ale varietăților cu singularități , este necesar să se înlocuiască structura Hodge cu o structură Hodge mixtă , care diferă prin faptul că descompunerea coomologiei singulare într-o sumă directă este înlocuită cu o pereche de filtrări . Acest caz este folosit, de exemplu, în teoria monodromiei .