Point Gergonne

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 17 mai 2022; verificările necesită 2 modificări .

Point Gergonne
Triunghi ΔABC, cu cerc înscris (albastru), centru cerc înscris I, triunghi roșu construit prin punctele tangente Ta , T b și T c și punctul Gergonne (verde, Ge)
coordonate baricentrice	${\frac {1}{-a+b+c)):{\frac {1}{a-b+c):{\frac {1}{a+bc})$
Coordonate triliniare	${\frac {bc}{-a+b+c}}:{\frac {ac}{a-b+c}}:{\frac {ab}{a+bc}}$
cod ECT	X(7)
Puncte conectate
conjugată izotomic	punctul Nagel
Suplimentare	mittenpunkt

Punctul Gergonne - punctul de intersecție al segmentelor care leagă vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale laturilor opuse ale cercului înscris .

De obicei notat cu , , sau . $GE$ $G$ $J$ $K$

Proprietăți

Punctul Gergonne este punctul Lemoine al triunghiului format din punctele de contact ale laturilor triunghiului cu cercul înscris.
Punctul Gergonne este conjugat izotomic cu punctul Nagel .
Punctul Gergonne este conjugat izogonal cu centrul homoteției negative a cercului și cercului circumscris .
Pătratul distanței de la punctul Gergonne la centrul cercului înscris este

$L^{2}=r^{2}-{\frac {3p^{2}r^{2}}{(4R+r)^{2}}}$

Pătratul distanței de la punctul Gergonne la centrul cercului circumscris este

$L^{2}=R^{2}-{\frac {4p^{2}r(R+r)}{(4R+r)^{2)))$

Punctul Gergonne se află în interiorul unui cerc ortocentroid deschis cu un centru perforat. [unu]
Un set complet de proprietăți ale punctului Gergonne poate fi găsit în articolul lui Dekov. [2]

Triunghiul lui Gergonne

Triunghiul Gergonne pentru triunghiul principal ABC este definit de trei puncte de contact ale cercului înscris al celor trei laturi ale sale. Să notăm aceste vârfuri ca T A , T B și T C . Punctul T A se află opus vârfului A . Acest triunghi Gergonne T A T B T C este cunoscut și sub denumirea de triunghi de tangență al triunghiului ABC .

Proprietăți

Trei drepte AT A , BT B și CT C se intersectează într-un punct - punctul Gergonne și sunt notate cu Ge - X(7) .
Punctul Gergonne al triunghiului este punctul de intersecție al simmetricilor triunghiului Gergonne .
Punctele de contact ale cercului înscris în triunghiul dat să fie conectate prin segmente, apoi triunghiul Gergonne se va dovedi, iar înălțimile vor fi desenate în triunghiul rezultat. În acest caz, liniile care leagă bazele acestor înălțimi sunt paralele cu laturile triunghiului original. Prin urmare, ortotriunghiul triunghiului Gergonne și triunghiul original sunt similare.
Triunghiul lui Gergonne (pentru triunghiul ABC ) este un subtriunghi pentru incentrul triunghiului ABC .

Vezi și

Istorie

Punctul Gergonne a fost descoperit de Joseph Diaz Gergonne (Joseph Diaz Gergonne, 19/06/1771 - 04/05/1859) la începutul secolului al XIX-lea .

Note

↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. Locațiile centrelor triunghiului // Forum Geometricorum. - 2006. - Emisiune. 6 . - S. 57-70. .
↑ Deko Dekov. Matematică generată de computer: punctul Gergonne // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. - 2009. - T. 1 . — P. 1–14. . Arhivat din original pe 5 noiembrie 2010.