Punct de inflexiune

Un punct de inflexiune  este un punct pe o curbă plană la care curbura sa orientată își schimbă semnul. Dacă curba este un grafic al unei funcții, atunci în acest moment partea convexă a funcției se separă de cea concavă (adică derivata a doua a funcției își schimbă semnul).

Definiții

Un punct de inflexiune (simplu) al unei curbe regulate este un astfel de punct al acestei curbe în care tangenta la curbă are contact de ordinul doi cu ea și împarte curba , adică punctele curbei care se află într-o vecinătate de punctul dat de pe laturile opuse ale acestui punct se află, de asemenea, de-a lungul unor laturi diferite față de tangenta [1] [2] . Dacă curba este 2-regulată, atunci condiția este înlocuită cu următoarea: curbura orientată a curbei își schimbă semnul la trecerea printr-un punct de inflexiune. Punctul de inflexiune cea mai mare (degenerată) a curbei este punctul său, tangenta la curba în care are contact cu aceasta, a cărei ordine nu este mai mică de trei, iar tangenta desparte curba [1] .

Condiția pentru schimbarea semnului curburii orientate nu este echivalentă cu împărțirea curbei în părți concave și convexe. Deci, în cazul unui cuspid, curba poate să nu aibă o tangentă. Pentru a elimina acest lucru, definițiile de mai sus necesită regularitatea curbei. Un caz mai interesant este funcția pentru când , care în punctul 0 atinge axa x și o intersectează, dar își schimbă semnul lângă zero de un număr infinit de ori; aici chiar există o derivată a doua continuă [3] . Pentru a exclude un astfel de caz, este necesar ca funcția să aibă un extremum izolat (vezi mai jos).

Un punct de pe o curbă se numește punct de redresare dacă curbura curbei în acel punct este zero [4] . Uneori punctul de îndreptare al unei curbe, care nu este un punct de inflexiune al acestei curbe, se numește punct de îndreptare parabolic [1] .

O funcție diferențiabilă are un punct de inflexiune ( x , f ( x )) dacă și numai dacă derivata sa prima , f′ , are un extremum izolat la x (acesta nu este același cu f are un extrem în acel punct). Adică, într-o vecinătate a punctului x , există unul și un singur punct în care f′ are un minim sau un maxim (local). Dacă toate extremele funcției f′ sunt izolate , atunci punctul de inflexiune este punctul de pe graficul lui f unde tangenta intersectează curba [5] [6] .

Cel mai înalt vârf (degenerat) al unei curbe regulate este punctul său în care cercul osculator îl atinge, a cărui ordine este mai mare decât a treia [1] .

Un punct de inflexiune ascendent  este un punct de inflexiune unde derivata are un minim local, iar un punct de inflexiune descendent este un punct de inflexiune unde derivata are un maxim local.

Pentru o curbă algebrică , un punct non-singular este un punct de inflexiune dacă și numai dacă multiplicitatea punctului de intersecție al tangentei cu curba este impar și mai mare de doi [7] .

Proprietăți

Un punct de inflexiune este caracterizat în mod unic de două proprietăți:

• într-un punct curba are o singură tangentă ,
• într-o vecinătate suficient de mică a punctului , curba este situată în interiorul unei perechi de unghiuri opuse formate de tangentă şi normală .

Dacă curba este definită ca graficul unei funcții diferențiabile , punctul de inflexiune este punctul extrem pentru .

Condiții necesare și suficiente

Dacă x este punctul de inflexiune pentru f , atunci derivata a doua, f″ ( x ), este zero dacă există, dar această condiție nu este suficientă . Este necesar ca cel mai mic ordin al unei derivate diferite de zero (peste cea de-a doua) să fie impar (derivatele a treia, a cincea etc.). Dacă ordinul cel mai mic al derivatei non-nule este par, punctul nu este un punct de inflexiune, ci un punct de redresare parabolic [8] . În geometria algebrică, totuși, atât punctele de inflexiune, cât și punctele de rectificare sunt denumite în mod obișnuit puncte de inflexiune .

Definiția presupune că f are o derivată de ordin superior diferită de zero față de x , care nu există neapărat. Dar dacă există, din definiție rezultă că semnul lui f′ ( x ) este constant pe ambele părți ale lui x într-o vecinătate a lui x .

Condiția suficientă pentru punctul de inflexiune este:

1) O condiție suficientă pentru punctul de inflexiune este:

Dacă f ( x ) este de k ori diferențiabil continuu într-o vecinătate a punctului x , unde k este impar și k ≥ 3, f (n) ( x 0 )=0 pentru n = 2,..., k  - 1 și f ( k) ( x 0 ) ≠ 0, atunci x 0 este punctul de inflexiune al lui f ( x ).

2) O altă condiție suficientă cere ca și să aibă semne diferite într-o vecinătate a punctului x , cu condiția ca în acest punct să existe o tangentă [2] .

Clasificarea punctelor de inflexiune

Punctele de inflexiune pot fi clasificate în funcție de derivata f′ ( x ).

• dacă f′ ( x ) este zero, punctul este un punct de inflexiune staționar
• dacă f′ ( x ) este diferit de zero, punctul este un punct de inflexiune nestaționar

Un exemplu de punct de șa este punctul (0,0) al graficului y = x 3 . Tangenta este axa x și împarte graficul în acel punct.

Punctele de inflexiune nestaționare pot fi demonstrate prin graficul funcției y \ u003d x 3 dacă este ușor rotită față de origine. Tangenta de la origine încă împarte graficul în două părți, dar gradientul nu este zero.

Funcții cu pauze

Unele funcții modifică convexitatea/concavitatea la un moment dat, dar nu au un punct de inflexiune în acel moment. În schimb, ele pot schimba curbura la tranziția asimptotei verticale sau la punctul de discontinuitate. Luați, de exemplu, funcția 2 x 2 /( x 2  - 1). Este convex la | x | > 1 și este concavă la | x | < 1. Totuși, această funcție nu are un punct de inflexiune, deoarece 1 și −1 nu aparțin domeniului funcției.

Vezi și

• Punct critic
• Prag ecologic
• Configurația hessiană este formată din cele nouă puncte de inflexiune ale curbei eliptice
• Arc lancet în formă de S , o formă arhitecturală cu puncte de inflexiune
• Apex de curbă , minim sau maxim local de curbură

Note

1. ↑ 1 2 3 4 Shikin, 1997 , p. 39.
2. ↑ 1 2 Bronshtein, Semendyayev, 2005 , p. 231.
3. ↑ Fikhtengolts, 2001 , p. 305.
4. ↑ Shikin, 1997 , p. 27.
5. ↑ Fikhtengolts, 2001 , p. 294-305.
6. ↑ Kudryavtsev, 1981 , p. 190-195.
7. ↑ Punct de inflexiune . encyclopediaofmath.org . (nedefinit)
8. ↑ Raşevski, 1950 , p. 18-19.

Literatură

• E.V. Shikin, M.M. Frank-Kamenetsky. Curbe în plan și în spațiu (manual). - Moscova: „FAZIS”, 1997. - ISBN 5-7036-0027-8 , BBC 22.15.
• IN Bronshtein, KA Semendyayev, G. Musiol, H. Muehlig. Manual de matematică. - 5. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2005. - ISBN 978-3-540-72121-5 .
• L. D. Kudryavtsev. Ch. 1. Calcul diferenţial al funcţiilor unei variabile // Analiză matematică. - Moscova: „Școala superioară”, 1981. - T. 1. - S. 190-195.
• G. M. Fikhtengolts. Ch. IV. Investigarea functiilor cu ajutorul derivatelor // Curs de calcul diferential si integral. - a 8-a. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 1. - ISBN 5-9221-0156-0 .
• P. K. Raşevski. Curs de geometrie diferenţială. - Moscova, Leningrad: Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1950.
• Weisstein, Eric W. Inflection Point  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Punctul de inflexiune , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 

Link -uri

• Punctele de inflexiune ale polinoamelor de gradul IV