A treia problemă a lui Hilbert

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 noiembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

A treia problemă a lui Hilbert este a treia dintre problemele puse de David Hilbert în celebra sa conferință la cel de-al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor de la Paris, în 1900. Această problemă este dedicată problemelor de compoziție egală a poliedrelor : posibilitatea de a tăia două poliedre de volum egal într-un număr finit de părți egale-poliedre.

Punerea unei astfel de întrebări s-a datorat faptului că, pe de o parte, pe un plan, oricare două poligoane de arie egală sunt compuse în mod egal - așa cum afirmă teorema Bolyai-Gervin . Pe de altă parte, metodele existente de demonstrare a formulei pentru volumul unui tetraedru (1/3 din produsul înălțimii și aria bazei) au fost oarecum legate de tranziții limită și, astfel, de axioma de Arhimede [1] . Deși literalmente în formularea propusă de Hilbert era vorba despre compoziția egală a tetraedrelor (sau, mai precis, despre dovada imposibilității unei astfel de partiții în cazul general), ea se extinde imediat și firesc la problema compoziției egale. de poliedre arbitrare ale unui volum dat (sau, mai precis, despre necesarul și suficient pentru aceste condiții).

A treia problemă s-a dovedit a fi cea mai simplă dintre problemele lui Hilbert: un exemplu de tetraedre inegale de volum egal a fost prezentat un an mai târziu, în 1901, în lucrarea [2] a elevului lui Hilbert M. V. Dehn . Și anume, a construit (luând valori într-un grup abstract ) o mărime - invariantul Dehn - ale cărei valori pe poliedre compuse egal sunt egale și a prezentat un exemplu de tetraedre de volum egal, pentru care valorile Invarianții Dehn sunt diferiți.

Mai târziu, Seidlerîn lucrarea sa [3] din 1965, el a arătat că coincidența volumului și invariantul Dehn sunt nu numai condiții necesare, ci și suficiente pentru echicompunerea poliedrelor.

Enunțul problemei

A treia problemă a lui Hilbert este formulată după cum urmează:

Gauss, în cele două scrisori ale sale către Gerling, își exprimă regretul că unele poziții binecunoscute ale stereometriei depind de metoda epuizării, adică, în termeni moderni, de axioma continuității (sau de axioma lui Arhimede).

Gauss notează în mod specific teorema lui Euclid, conform căreia volumele piramidelor triunghiulare cu înălțimi egale sunt legate ca ariile bazelor lor. O problemă similară a planimetriei a fost acum rezolvată complet. Gerling a reușit, de asemenea, să demonstreze egalitatea volumelor poliedrelor simetrice, împărțindu-le în părți congruente .

Cu toate acestea, mi se pare că, în cazul general, demonstrarea amintitei teoreme a lui Euclid în acest fel este imposibilă, iar acest lucru, aparent, poate fi confirmat printr-o demonstrație riguroasă a imposibilității.

O astfel de demonstrație ar putea fi obținută dacă ar fi posibil să se indice două tetraedre cu baze egale și înălțimi egale care nu pot fi descompuse în tetraedre congruente în niciun fel și care, de asemenea, nu pot fi completate cu tetraedre congruente unor astfel de poliedre pentru care descompunerea în tetraedre congruente Poate .

David Hilbert (citat din cartea lui V. G. Boltyansky [4] )

Invariantul lui Dehn

Invariantul construit de Dehn ia valori într-un grup abstract (și, în plus, un spațiu vectorial peste ) $\mathbb {Q}$

V=\mathbb{R} \otimes _{{\mathbb{Q} }}\mathbb{R} /\langle \{l\otimes \pi \mid l\in \mathbb{R} \}\rangle .

Și anume, pentru un politop P cu lungimi de muchii și unghiuri diedrice corespunzătoare , invariantul Dehn D(P) este setat egal cu $l_{1},\puncte ,l_{n}$ $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$

D(P):=\sum _{i}l_{i}\otimes \alpha _{i}\in V

Când tăiați un poliedru în părți, valoarea sumei „lungimea unghiului inclus muchiei” se poate modifica numai atunci când apar/dispar noi muchii, care apar în interiorul sau pe graniță. Dar pentru astfel de muchii, suma unghiurilor diedrice adiacente acestora este egală sau respectiv, prin urmare, ca element al factorului V , invariantul Dehn nu se modifică. $uneori$ $2\pi$ $\pi$

Exemplu

Un exemplu de aplicare a invariantului Dehn este compoziția neuniformă a unui cub și a unui tetraedru regulat de volum egal: pentru un cub cu muchia l , invariantul Dehn este , iar pentru un tetraedru regulat cu muchia a - $12l\otimes {\frac {\pi }{2))=6l\otimes \pi =0$

6a\otimes 2\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\neq 0,

pentru că $\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\notin \mathbb{Q} \pi .$

Note

↑ Copie arhivată (link nu este disponibil) . Consultat la 25 martie 2010. Arhivat din original la 17 octombrie 2011. (nedefinit) Copie arhivată (link indisponibil) . Consultat la 25 martie 2010. Arhivat din original la 17 octombrie 2011. (nedefinit)
↑ Max Dehn: „Über den Rauminhalt”, Mathematische Annalen 55 (1901), nr. 3, paginile 465-478.
↑ Sydneyr, J.-P. „Condiții necesare et suficiente pentru l’equivalence des polyèdres de l’espace euclidean à trei dimensiuni”. cometariu. Matematică. Helv. 40, 43-80, 1965.
↑ A treia problemă a lui Boltyansky V. G. Hilbert . - M. : Nauka, 1977. - S. 46. - 208 p. Arhivat pe 21 aprilie 2017 la Wayback Machine

Link -uri

Weisstein, Eric W. Dehn Invariant (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Literatură

Problemele lui Hilbert / ed. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 p. — 10.700 de exemplare. Arhivat pe 17 octombrie 2011 la Wayback Machine
A treia problemă a lui Boltyansky V. G. Hilbert
Dehn, M. „Über raumgleiche Polyeder”. Nachr. Konigl. Ges. der Wiss. zu Göttingen fd Jahr 1900, 345-354, 1900.
Dehn, M. „Über den Rauminhalt”. Matematică. Ann. 55, 465-478, 1902.
Syldler, J.-P. „Condiții necesare et suficiente pentru l’equivalence des polyèdres de l’espace euclidean à trei dimensiuni”. cometariu. Matematică. Helv. 40, 43-80, 1965.
P. Cartier, Décomposition des polyèdres : le point sur le troisième problème de Hilbert , Séminaire Bourbaki, 1984-85, n° 646, p. 261-288.

Probleme Hilbert
unu 2 3 patru 5 6 7 opt 9 zece unsprezece 12 13 paisprezece cincisprezece 16 17 optsprezece 19 douăzeci 21 22 23 ( 24 )