Suprafață minimă triplu periodică

O suprafață minimă triplu periodică (TPMS, ing.  suprafață minimă triplu periodică , TPMS) este o suprafață minimă în , care este o invariantă de translație într-o rețea de rang 3.

Aceste suprafețe au simetrii de grup cristalografice . Sunt cunoscute numeroase exemple cu simetrii cubice, tetragonale , hexagonale și rombice . Exemple monoclinice și triclinice există cu siguranță, dar s-a dovedit a fi greu de parametrizat [1] .

TPMP sunt solicitate în științele naturii. TSMT-urile au fost descoperite ca membrane biologice [2] , ca bloc copolimeri [3] , suprafețe echipotențiale în cristale [4] , etc. Sunt de asemenea de interes în arhitectură, decorare și artă.

Proprietăți

Aproape toate TSMT-urile studiate nu au avut auto-intersecții (adică au fost încorporate în ) - din punct de vedere matematic, sunt cele mai interesante (deoarece suprafețele care se intersectează în mod evident sunt abundente) [5] .

Toate TSMT-urile conectate au genul [6] și în orice rețea există TSMT-uri imbricate orientate de orice fel [7] .

TSMP imbricate sunt orientabile și împart spațiul în două subvolume (labirinturi) care nu se intersectează. Dacă aceste două labirinturi sunt congruente, se spune că suprafața este o suprafață echilibrată [8] .

Istorie

Primele exemple de STMT au fost suprafețele descrise de Schwartz în 1865, urmate de suprafața descrisă de elevul său E. R. Neovius în 1883 [9] [10] .

În 1970, Alan Schön a venit cu 12 noi SST-uri bazate pe rețelele scheletice [11] [12] [13] . Deși suprafețele Schön au câștigat popularitate în științele naturii, construcțiile nu au primit o dovadă matematică a existenței și au rămas în mare parte necunoscute matematicienilor până când G. Karcher și-a dovedit existența în 1989 [14] .

Cu ajutorul suprafețelor conjugate s-au găsit multe alte suprafețe. Deși reprezentările Weierstrass sunt cunoscute pentru exemple simple, ele nu sunt cunoscute pentru majoritatea suprafețelor. În schimb, metodele de geometrie diferențială discretă [5] sunt adesea folosite .

Familii

Clasificarea TSMT este o problemă deschisă.

TSMT formează adesea familii și pot fi deformate continuu de la una la alta. Meeks a găsit o familie de 5 parametri pentru genul 3 SST care conține toate exemplele cunoscute de suprafețe din genul 3, cu excepția giroidei [6] . Membrii acestei familii pot fi deformați continuu unul în altul, suprafața rămânând imbricată în timpul procesului de deformare (deși rețeaua se poate modifica). Giroida și lidinoidul sunt într-o familie separată cu 1 parametru [15] .

O altă abordare a clasificării STMT este de a lua în considerare grupurile lor spațiale. Pentru suprafețele care conțin linii, se pot renumerota posibilele poligoane de limită, oferind astfel o clasificare [8] [16] .

Generalizări

Suprafețele minime periodice pot fi construite în S 3 [17] și H 3 [18] .

Se poate generaliza împărțirea spațiului în labirinturi pentru a găsi suprafețe minime de trei ori periodice (eventual ramificate) care împart spațiul în mai mult de două părți [19] .

Suprafețele minime cvasi-periodice au fost construite în [20] . S-a sugerat, niciodată dovedit, că suprafețele minime cu o ordine cvasi -cristalină există în [21] .

Galerie de imagini externe

Note

  1. ↑ Matematica Proiectului EPINET . Preluat la 4 august 2020. Arhivat din original la 7 martie 2020.
  2. ↑ Deng, Mieczkowski, 1998 , p. 16–25.
  3. ↑ Jiang, Göpfert, Abetz, 2003 , p. 6171–6177.
  4. ↑ Mackay, 1985 , p. 300–305.
  5. ↑ 1 2 Karcher și Polthier 1996 , p. 2077–2104.
  6. ↑ 12 Meeks , 1975 .
  7. ↑ Traizet, 2008 , p. 243–275.
  8. ↑ 1 2 fără auto-intersecții
  9. ↑ Schwarz, 1933 .
  10. ↑ Neovius, 1883 .
  11. ↑ Alan H. Schoen, Infinite periodic minimal surfaces without self-intersects, NASA Technical Note TN D-5541 (1970)
  12. ↑ [1 .pdf Suprafețe minime periodice infinite fără auto-intersecții de Alan H. Schoen] . Consultat la 12 aprilie 2019. [ 1.pdf Arhivat] 13 aprilie 2018.
  13. ↑ Suprafețe minime triplu-periodice de Alan H. Schoen . Preluat la 12 aprilie 2019. Arhivat din original la 22 octombrie 2018.
  14. ↑ Karcher, 1989 , p. 291–357.
  15. ↑ Weyhaupt, 2006 .
  16. ↑ Fischer și Koch 1996 , p. 2105–2142.
  17. ↑ Karcher, Pinkall, Sterling, 1988 , p. 169–185.
  18. ↑ Polthier, 1991 , p. 201–210.
  19. ↑ Góźdź, Holyst, 1996 , p. 5012–5027.
  20. ↑ Mazet, Traizet, 2006 , p. 573–601.
  21. ↑ Sheng, Elser, 1994 , p. 9977–9980.

Literatură