Sistemul de numere ternar

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 7 ianuarie 2019; verificarea necesită 21 de modificări .

Sisteme numerice în cultură
indo-arabă
arabă tamilă birmană	Khmer Lao Mongolian Thai
Est asiatic
Chineză Japoneză Suzhou Coreeană	Bețe de numărat vietnameze
Alfabetic
Abjadia armeană Aryabhata greacă chirilică	Akshara Sankhya , evreică etiopiană georgiană
Alte
babilonian egiptean etrusc roman danubian	Attic Kipu Mayan Aegean KPPU Simboluri
pozițional
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-pozițional
simetric
sisteme mixte
Fibonacci
nepozițională
Singular (unar)

Sistemul numeric ternar este un sistem numeric pozițional cu o bază întreagă egală cu 3.

Disponibil în două versiuni: asimetric și simetric.

Numerale ternare

În sistemul numeric ternar asimetric, numerele {0,1,2} sunt mai des folosite, iar în sistemul numeric ternar simetric, semnele {−,0,+}, {−1,0,+1}, { 1 ,0,1}, { 1 ,0,1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} și cifrele {2,0,1}, {7 ,0,1} . Imprimările computerului Setun au folosit codul {unu,0,1} [1] . Cifrele Trinity pot fi notate cu oricare trei caractere {A,B,C}, dar trebuie să specificați suplimentar prioritatea caracterelor, de exemplu, A<B<C.

Implementări fizice

În electronica digitală , indiferent de varianta sistemului de numere ternar, o cifră ternară în sistemul de numere ternar corespunde unui declanșator ternar pe cel puțin trei invertoare cu logică de intrare sau două declanșatoare binare pe cel puțin patru invertoare cu logică de intrare.

Reprezentarea numerelor în sisteme numerice ternare

Sistem numeric ternar asimetric

Un exemplu de reprezentare a numerelor într-un sistem de numere ternar asimetric este intrarea în acest sistem de numere întregi pozitive:

Numar decimal	0	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece
număr ternar	0	unu	2	zece	unsprezece	12	douăzeci	21	22	100	101

Dacă există 10 cifre în sistemul numeric zecimal și ponderile cifrelor adiacente diferă de 10 ori (cifra una, cifra zecilor, cifra sutele), atunci în sistemul ternar sunt utilizate doar trei cifre, iar ponderile cifrelor adiacente diferă de trei ori (cifra unu, cifra trei, cifra nouă, ...). Numărul 1, scris mai întâi în stânga virgulei, denotă o unitate; același număr, scris al doilea în stânga virgulei, denotă un triplu etc.

Sistemul de numere ternare asimetrice este un caz special de sisteme de numere poziționale exponențiale pereche (combinate), în care a k este din mulțimea ternară a={0,1,2}, b=3, ponderile cifrelor sunt 3 k .

Sisteme numerice exponențiale

În sistemele de numere ternare poziționale exponențiale, sunt utilizate două sisteme:

sistem de codare intradigit cu baza c , ale cărui numere sunt folosite pentru a scrie cifre și
sistem de numere interdigite atribuit cu baza b .

Un număr întreg în sistemul de numere pozițional exponențial este reprezentat ca suma produselor valorilor în cifre (cifre) - prin puterea k -a a numărului b : $\a_k$

x_{{a,b}}=\sum _{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}b^{k}

, Unde:

k este un număr de la 0 la n-1 , numărul cifrei numerice ,
n este numărul de cifre,
c este baza sistemului de codificare, c este egală cu dimensiunea mulțimii a={0,1,…,c-1} din care sunt luate cifrele a k ,
a k sunt numere întregi din mulțimea a , numite cifre,
b este numărul, baza funcției de greutate exponențială între cifre,
b k sunt numerele funcției interdigitale, coeficienții de greutate ai cifrelor.

Fiecare produs dintr-o astfel de notație se numește cifră (a, b). $\a_{k}b^{k}$

Cu c=b , (b, b) -ary sisteme de numere se formează cu produsul - a k b k și suma - , care, cu b = 3 , se transformă în obișnuitul (3,3) -ary (ternar) sistem de numere. La scriere, primul index este adesea omis, uneori, când există o mențiune în text, se omite și al doilea index. $\sum _{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}b^{k}$

Factorul de ponderare al cifrei - b k - este atribuit și, în cazul general, poate fi o funcție exponențială opțională a numărului cifrei - k și opțional o putere de 3 . Setul de valori a k este mai limitat și mai legat de partea hardware - numărul de stări stabile ale declanșatorilor sau numărul de stări ale unui grup de declanșatori într-un bit al registrului . În cazul general, a k poate fi opțional și din mulțimea ternară a={0,1,2}, dar pentru ca un sistem pereche să fie ternar și numit ternar, cel puțin unul dintre cele două sisteme trebuie să fie ternar. o k --lea mai aproape de hardware și printr - o k --lea din mulțimea a={0,1,2} sau din mulțimea a={-1,0,+1}, se determină sistemul de codificare: ternar asimetric sau ternar simetric.

Sisteme de numere ternare exponențiale

Un număr întreg din sistemul ternar pozițional exponențial este scris ca o secvență a cifrelor sale (șiruri de cifre), listate de la stânga la dreapta, în ordinea descrescătoare a priorității cifrelor: $X$

x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0})_{a,b}.

În sistemele de numere exponențiale, valorilor cifrelor li se atribuie coeficienți de greutate , acestea sunt omise în notație, dar se înțelege că k -a cifră de la dreapta la stânga are un coeficient de greutate egal cu . $b^{k}$ $b^{k}$

Din combinatorie se știe că numărul de coduri înregistrate este egal cu numărul de plasări cu repetări :

{\bar {A}}(a,n)={\bar {A}}_{a}^{n}=a^{n}=3^{n},

unde a = 3 este o mulțime de 3 elemente a = {0, 1, 2}, din care sunt luate cifrele a k , n este numărul de elemente (cifre) din numărul x 3, b .

Numărul de coduri înregistrate nu depinde de baza funcției exponențiale - b , care determină intervalul de valori reprezentat de numerele x 3, b .

Un număr fracționar este scris și reprezentat ca

x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0}, a_{-1}a_{-2}\dots a_{-( m-1)}a_{-m})_{a,b}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k},

unde m este numărul de cifre ale părții fracționale a numărului din dreapta punctului zecimal;

pentru m = 0, partea fracțională este absentă, numărul este un întreg,
pentru a k , din mulțimea ternară a = {0, 1, 2} și b = 1, se formează un sistem numeric ternar nepozițional cu aceiași coeficienți de greutate a tuturor cifrelor egale cu 1 k = 1,
pentru a k din mulțimea binară a = {0, 1} și b = 3 suma va fi doar puteri întregi — 3 k ,
pentru a k din mulțimea ternară a = {0, 1, 2} și b = 3, suma va fi puteri întregi și duble ale lui 3, sistemul numeric devine sistemul de numere ternar asimetric obișnuit, a k satisface inegalitatea , că este , , $0\leqslant a_{k}\leqslant (b-1)<b$ $0\leqslant a_{k}\leqslant 2<3$
pentru a k din mulțimea zecimală a = {0, 1, ..., 9} și b = 3, suma va fi puteri întregi de 3 ori 1, 2, ..., 9.

În unele cazuri, acest lucru poate să nu fie suficient; în astfel de cazuri, pot fi utilizate sisteme de numere încorporate (comentate), quad și alte sisteme numerice.

Sisteme de numere ternare cu un factor suplimentar

În sistemele de numere ternare poziționale exponențiale, un factor suplimentar poate fi introdus în greutatea cifrei. De exemplu, factorul (b/c):

x_{{a,b,c}}=(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{{0}},a_{{-1}} a_{{-2}}\dots a_{{-(m-1)}}a_{{-m}})_{{a,b,c}}=\sum _{{k=-m}} ^{{n-1}}a_{k}b^{k}(b/c)

În general, c≠3.
Când a k din a={0,1,2}, b=3 și c=3, se formează sistemul de numere ternar asimetric obișnuit.
Cu a=2, b=3 și c=2, se formează un sistem numeric (2,3,2)-ari cu un coeficient suplimentar de greutate non-întreg în produs egal cu (3/c)=(3/2 )=1,5.
Pentru alte valori ale lui a, b și c, alte sisteme de numere poziționale exponențiale sunt formate cu un factor suplimentar (b/c), al cărui număr este infinit.
Sunt posibile și seturi infinite de alte sisteme de numere compuse.

Codificarea cifrelor ternare

O cifră ternară poate fi codificată în moduri diferite.

Sisteme de codare pe trei niveluri pentru cifre ternare

1. Codarea pe trei niveluri a cifrelor ternare (3-Level LevelCoded Ternary, 3L LCT, „single-wire”):
numărul de sisteme de codare pe trei niveluri pentru cifre ternare este egal cu numărul de permutări :

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

unul din ei

1.1. Simetric {-1,0,+1}
+U - (+1) ;
0 - (0);
-U - (-1),
1,2. Deplasat cu +1 {0,1,2}
1.3. Deplasat cu +2 {1,2,3}

Sisteme de codare pe două niveluri pentru cifre ternare

2. Cifre ternare codificate binar pe doi biți (2-Bit BinaryCodedTernary, reprezentare 2B BCT, „două fire”) folosind 3 coduri din 4 posibile [2] :
numărul posibilelor sisteme de codificare cu cifre ternare 2B BCT este egal cu numărul de combinații fără repetare :

{n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(nk\right)!}}={4 \choose 3}={\frac {4! }{3!\left(4-3\right)!}}=4,

înmulțit cu numărul de permutări din fiecare set de 3 cifre:

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

adică 4*6 = 24.

Iată câteva dintre ele:
2.1. [3]
(1,0) - 2 ;
(0,1) - 1;
(0,0) - 0.
2.2.
(1,1) - 2;
(0,1) - 1;
(0,0) - 0.
3. Cifre ternare codificate binar pe doi biți (2-Bit BinaryCodedTernary, reprezentare 2B BCT, „două fire”) folosind toate cele 4 coduri din 4 posibile (două dintre cele 4 coduri codifică unul și cifră ternară mai strânsă de la 3).
3.1.
Iată unul dintre ele [4] :
(0.0) - "0"
(1.1) - "0"
(0.1) - "-1"
(1.0) - "+1"
4. Ternar codificat binar pe trei biți cifre (3-Bit BinaryCodedTernary, reprezentare 3B BCT, „trei fire”) folosind 3 coduri din 8 posibile:
Numărul posibilelor sisteme de codificare cu cifre ternare 3B BCT este egal cu numărul de combinații fără repetare :

{n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(nk\right)!}}={8 \choose 3}={\frac {8! }{3!\left(8-3\right)!}}=54,

înmulțit cu numărul de permutări din fiecare set de 3 cifre:

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

adică 54*6 = 324.

Iată câteva dintre ele:
3.1.
(1,0,0) - 2;
(0,1,0) - 1;
(0,0,1) - 0.
3.2.
(0,1,1) - 2;
(1,0,1) - 1;
(0,1,0) - 0.
3.3.
(1,1,1) - 2;
(0,1,1) - 1;
(0,0,1) - 0.
3.4.
(0,0,0) - 2;
(1,0,0) - 1;
(1,1,0) - 0.
3.5.
(1,0,0) - 2;
(1,1,0) - 1;
(1,1,1) - 0.
3.6.
(0,1,1) - 2;
(0,0,1) - 1;
(0,0,0) - 0.
3.7.
(1,0,1) - 2;
(0,1,0) - 1;
(0,0,0) - 0.
etc.

Comparație cu sistemul binar

În comparație pe biți, sistemul numeric ternar este mai încăpător decât sistemul numeric binar.
Cu nouă cifre, codul binar are capacitatea de numere, iar codul ternar are capacitatea numărului, adică de două ori mai mult. Cu douăzeci și șapte de cifre, codul binar are capacitatea de numere, iar codul ternar are capacitatea de numere, adică este de ori mai mare. $2^{9}=512$ $3^{9}=19683$ $3^{9}/2^{9}=38,4$
$2^{{27}}=134217728$ $3^{{27}}=7625597484987$ $3^{{27}}/2^{{{27}}=56815,13$

Proprietăți

Sistemul de numere asimetric exponențial pozițional ternar în ceea ce privește numărul de caractere (într-un număr zecimal de trei cifre 3 * 10 = 30 de caractere) este cel mai economic dintre sistemele de numere asimetrice exponențiale poziționale. [5] [6] [7] [8] [9] A. Kushnerov [6] atribuie această teoremă lui John von Neumann .

Conversia numerelor întregi din zecimal în ternar

Pentru translație, un număr întreg zecimal este împărțit la 3 cu un rest (diviziunea întregului) atâta timp cât cât este mai mare decât zero. Resturile, scrise de la stânga la dreapta de la ultimul la primul, sunt echivalentul ternar nesimetric întreg al întregului număr zecimal. [10] [11]
Exemplu: număr întreg zecimal 48 10,10 va fi convertit în întreg ternar asimetric:
număr = 48 10,10 împărțit la 3, cât = 16, rest a 0 = 0
cât = 16 10,10 împărțit la 3 = 5, rest a 1 = 1 câte
= 5 10,10 împărțit la 3, cât = 1, rest a 2 = 2
cât = 1 10,10 împărțit la 3, cât = 0, rest a 3 = 1
cât nu mai mare decât zero, împărțirea este completă.
Acum, scriind toate resturile de la ultimul la primul de la stânga la dreapta, obținem rezultatul 48 10.10 \u003d (a 3 a 2 a 1 a 0 ) 3.3 \u003d 1210 3.3 .

Sistem numeric ternar simetric

Sistemul de numere ternare simetrice de poziții întregi a fost propus de matematicianul italian Fibonacci (Leonardo din Pisa) (1170-1250) pentru a rezolva „problema greutății”. [12] Problema celui mai bun sistem de greutăți a fost luată în considerare de Luca Pacioli (sec. XV). Un caz special al acestei probleme a fost publicat în cartea matematicianului francez Claude Bachet de Meziriac „Colecția de probleme distractive” în 1612 (traducerea în limba rusă a cărții de C. G. Bachet „Jocuri și probleme bazate pe matematică” a fost publicată în St. Petersburg abia în 1877). În 1797, în Rusia a fost emisă o lege „Cu privire la stabilirea greutăților corecte pentru băuturi și măsuri de pâine peste tot în Imperiul Rus”. Pentru cântărirea mărfurilor au fost permise numai greutăți cu următoarele greutăți: 1 și 2 lire, 1, 3, 9, 27 de lire și 1, 3, 9, 27 și 81 de bobine . Ca anexă la lege, a fost publicat un tabel pentru cântărirea mărfurilor de la 1 liră la 40 de lire folosind greutăți de 1, 3, 9, 27 de lire și pentru cântărirea mărfurilor de la 1 bobină la 96 de bobine cu greutăți de 1, 3, 9, 27 și 81 bobine [13] . În această problemă s-a angajat academicianul din Sankt Petersburg Leonard Euler , iar mai târziu D. I. Mendeleev a fost interesat . [14] [15] [16] [17] [18]

Simetria la cântărirea pe o balanță cu pârghie a fost folosită din cele mai vechi timpuri, adăugând o greutate la un castron cu mărfuri. Elementele sistemului de numere ternare se aflau în sistemul numeric al vechilor sumerieni, [19] în sistemele de măsuri, greutăți și bani, în care existau unități egale cu 3. Dar numai în sistemul numeric ternar simetric Fibonacci ambele aceste proprietăți sunt combinate.

Sistemul simetric vă permite să reprezentați numere negative fără a utiliza un semn minus separat. Numărul 2 este reprezentat de numărul 1 în locul celor trei și numărul (minus unu) în locul unităților. Numărul −2 este reprezentat de numărul (minus unu) în locul celor trei și numărul 1 în locul unităților. Există șase corespondențe posibile între cifrele (caracterele) sistemului numeric simetric ternar și cifrele (caracterele) ale sistemului numeric asimetric ternar: ${\bara 1}$ ${\bara 1}$

	unu.	2.	3.	patru.	5.	6.

unu	2	unu	0	0	2	unu
0	unu	0	2	unu	0	2
unu	0	2	unu	2	unu	0

Conform 2., valorile numerice 0 și 1 sunt stocate.

Sistemul zecimal	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9
Ternar asimetric	−100	−22	−21	−20	−12	−11	−10	−2	−1	unu	2	zece	unsprezece	12	douăzeci	21	22	100
Ternar simetric	100 _	101 _	1 1 1	1 10	1 11	unsprezece	1 0	1 1	unu	unu	1 1	zece	unsprezece	1 11	1 1 0	1 1 1	10 1	100

În sistemul numeric ternar simetric, semnul 1 poate fi înlocuit cu semnul (nu numărul) i sau 2 și, în al doilea caz, semnele sistemului ternar asimetric {2,0,1} pot fi folosite pentru sistem de numere simetric ternar {-1,0,+1}.

Proprietăți

Datorită faptului că baza 3 este impară, în sistemul ternar, este posibilă o aranjare a numerelor simetrică față de zero: −1, 0, 1, care este asociat cu șase proprietăți valoroase:

Naturalitatea reprezentării numerelor negative;
Nicio problemă de rotunjire : repunerea la zero a rotunjilor de cifre inferioare inutile - aduce numărul mai aproape de cel mai apropiat „grund”.
Tabelul înmulțirii din acest sistem, după cum a observat O. L. Cauchy , este de aproximativ patru ori mai scurt. [14] (pag. 34).
Pentru a schimba semnul numărului reprezentat, trebuie să schimbați cifrele diferite de zero cu cifre simetrice.
Când se însumează un număr mare de numere, valoarea pentru transferul la următoarea cifră crește odată cu creșterea numărului de termeni nu liniar, ci proporțional cu rădăcina pătrată a numărului de termeni.
În funcție de costul numărului de caractere pentru reprezentarea numerelor, acesta este egal cu sistemul ternar asimetric.

Reprezentarea numerelor negative

Având cifre pozitive și negative, permite reprezentarea directă atât a numerelor pozitive, cât și a celor negative. În acest caz, nu este nevoie de un bit de semn special și nu trebuie introdus niciun cod suplimentar (sau invers) pentru a efectua operații aritmetice cu numere negative. Toate acțiunile asupra numerelor reprezentate în sistemul numeric simetric ternar sunt efectuate, desigur, ținând cont de semnele numerelor. Semnul unui număr este determinat de semnul cifrei celei mai semnificative a numărului: dacă este pozitiv, atunci numărul este pozitiv, dacă este negativ, atunci numărul este negativ. Pentru a schimba semnul unui număr, trebuie să schimbați semnele tuturor cifrelor acestuia (adică, inversați codul său prin inversarea lui Lukasiewicz). De exemplu:

10{\bar 1}=9-1=8

{\bar 1}01=-9+1=-8

Rotunjire

O altă consecință utilă a dispunerii simetrice a valorilor cifrelor este absența problemei rotunjirii numerelor: valoarea absolută a părții numărului reprezentată de cifrele inferioare aruncate nu depășește niciodată jumătate din valoarea absolută a părții din număr corespunzătoare. la cifra cea mai puțin semnificativă a cifrei celei mai puțin semnificative dintre cifrele stocate. Prin urmare, ca urmare a eliminării cifrelor minore ale unui număr, cea mai bună aproximare a acestui număr se obține pentru un anumit număr de cifre rămase și nu este necesară rotunjirea.

Conversia numerelor din zecimal în ternar

Conversia numerelor din sistemul zecimal în sistemul ternar și întrebarea corespunzătoare despre greutăți sunt descrise în detaliu în cărțile [20] [21] . De asemenea, povestește despre utilizarea sistemului ternar de greutăți în practica rusă.

Traducere în alte sisteme numerice

Orice număr scris în sistemul numeric ternar cu numerele 0, 1, -1 poate fi reprezentat ca sumă a puterilor întregi ale numărului 3, iar dacă numărul 1 se află în bitul dat al reprezentării ternare a numărului, atunci puterea numărului 3 corespunzător acestui bit este inclusă în suma cu semnul „+”, dacă numărul este −1, atunci cu semnul „-”, iar dacă numărul este 0, atunci nu este inclus deloc . Aceasta poate fi reprezentată prin formula

\cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0} +K_{{-1}}\cdot 3^{{-1}}+K_{{-2}}\cdot 3^{{-2}}+K_{{-3}}\cdot 3^{{ -3}}+\cdots

, Unde

\cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0}

- partea întreagă a numărului,

\cdots +K_{{-1}}\cdot 3^{{-1}}+K_{{-2}}\cdot 3^{{-2}}+K_{{-3}}\cdot 3^ {{-3}}+\cdots

- parte fracționară a unui număr

în plus, coeficienții K pot lua valorile { 1, 0, −1 }.

Pentru ca numărul prezentat în sistemul ternar să fie convertit în sistemul zecimal, este necesar să se înmulțească cifra fiecărei cifre a numărului dat cu puterea numărului 3 corespunzător acestei cifre (în reprezentare zecimală) și se adaugă produsele rezultate.

Aplicații practice

Lucrând în Camera Greutăților și Măsurilor , D. I. Mendeleev, ținând cont de sistemul numeric ternar simetric, a dezvoltat o serie digitală de greutăți pentru cântărirea pe cântare de laborator , care este folosită până în prezent.
Sistemul ternar simetric a fost folosit în computerul sovietic Setun .

Tabele de adunare în sistemele de numere ternare

În sistemul numeric ternar nesimetric

+	0	unu	2
2	02	zece	unsprezece
unu	01	02	zece
0	00	01	02

În sistemul numeric simetric ternar

+	unu	0	unu
unu	00	01	1 1
0	0 1	00	01
unu	1 1	0 1	00

Reprezentarea în nouă zecimale a comenzilor

Reprezentarea comenzilor în cod ternar la programare și la intrarea într-o mașină este incomodă și neeconomică, prin urmare, în afara mașinii, este utilizată forma cu nouă zecimale de reprezentare a comenzii. Nouă cifre sunt mapate la perechi de cifre ternare: ${\bar 4},{\bar 3},{\bar 2},{\bar 1},0,1,2,3,4$

{\bar 1}{\bar 1}={\bar 4};\quad {\bar 1}0={\bar 3};\quad {\bar 1}1={\bar 2};\quad 0 {\bar 1}={\bar 1};\quad 00=0;

11=4;\quad 10=3;\quad 1{\bar 1}=2;\quad 01=1.

La retragerea din mașină, cifrele zecimale negative sunt notate cu litere:

cifra zecimală	${\bara 1}$	${\bar 2}$	${\bara 3}$	${\bar 4}$
Litera alfabetului latin	Z	Y	X	W
Litera alfabetului rus	C	La	X	ȘI

Vezi și

Note

↑ N. A. Krinitsky, G. A. Mironov, G. D. Frolov, ed. M. R. Shura-Bura. Capitolul 10. Mașină controlată de program „Setun” // Programare . - M. , 1963. (Rusă)
↑ http://314159.ru/kushnerov/kushnerov1.pdf Copie de arhivă din 7 octombrie 2013 la tehnologia digitală Wayback Machine Ternary. Retrospectivă și prezentă
↑ BCT: Ternar codificat binar . Consultat la 30 septembrie 2012. Arhivat din original la 21 ianuarie 2022. (nedefinit)
↑ Trinari. Forum. Partea hardware. Sumator. Bloc 003 (link inaccesibil) . Preluat la 29 septembrie 2012. Arhivat din original la 30 martie 2022. (nedefinit)
↑ S. V. Fomin . Sisteme numerice . — M .: Nauka , 1987. — 48 p. - ( Prelegeri populare despre matematică ). Arhivat 16 octombrie 2004 la Wayback Machine ( link alternativ Arhivat 2 iunie 2013 la Wayback Machine )
↑ 1 2 A. Kushnerov Tehnologia digitală ternară. Retrospectivă și prezentă. Arhivat pe 7 octombrie 2013 la Wayback Machine
↑ https://web.archive.org/web/20120111141145/http://misterkruger.narod.ru/math/base3rus.htm O proprietate uimitoare a sistemului numeric ternar]
↑ Economia sistemelor numerice cu funcție de pondere exponențială . Preluat la 22 ianuarie 2019. Arhivat din original la 29 octombrie 2018. (nedefinit)
↑ O. A. Akulov, N. V. Medvedev. Informatica si tehnologia calculatoarelor. a 4-a ed. - M .: Omega-L, 2007. (Secțiunea I, Cap.3.3)
↑ Conversia numerelor întregi zecimale în numere întregi ternare nesimetrice . Preluat la 22 ianuarie 2019. Arhivat din original la 22 ianuarie 2019. (nedefinit)
↑ http://algolist.manual.ru/maths/teornum/count_sys.php Arhivat 31 martie 2022 la Wayback Machine Transfer de la un sistem cu mai multe motive la un sistem cu mai puțin
↑ „Principiul Trinității” de Nikolai Brusentsov Copie de arhivă din 11 iunie 2008 la Wayback Machine .
↑ Depman I. Ya. Apariția unui sistem de măsuri și metode de măsurare a cantităților. Numărul 1. (Moscova: Editura Educațională și Pedagogică de Stat a Ministerului Educației din RSFSR (Uchpedgiz), 1956. - Seria „Biblioteca școlarului”). Capitolul VIII. § Utilizarea celui mai convenabil sistem de greutăți din Rusia. Pagina 118
↑ 1 2 S. B. Gashkov. § 11. D. I. Mendeleev și sistemul ternar // Sistemele numerice și aplicațiile lor . - M .: MTSNMO , 2004. - ( Biblioteca „Educația matematică” ). Arhivat pe 12 ianuarie 2014 la Wayback Machine Copie arhivată (link indisponibil) . Consultat la 18 octombrie 2009. Arhivat din original la 12 ianuarie 2014. (nedefinit) În Google Chrome, după ce faceți clic pe PDF(333Kb), trebuie să mutați una dintre laturile cadrului browserului.
↑ I. Ya. Depman. Istoria aritmeticii. Un ghid pentru profesori. Ediția a doua, corectată. Editura „Iluminismul”, Moscova, 1965. Capitolul I. Numărul natural. 7. Problema Basche-Mendeleev, p.36.
↑ E. S. Davydov, Cele mai mici grupuri de numere pentru formarea seriilor naturale, Sankt Petersburg, 1903, 36 p.
↑ V.F. Gartz, Cel mai bun sistem pentru greutăți, Sankt Petersburg, 1910, 36 p.
↑ F. A. Sludsky, Despre proprietățile puterilor lui doi și trei. „Colecția matematică”, Partea a III-a, p. 214.
↑ Yuri Revich „Moștenitorii lui Babbage” // „Home Computer”, nr. 12, 1 decembrie 2002.
↑ I. Ya. Depman. „Măsurile și sistemul metric”, Uchpedgiz, 1955.
↑ I. Ya. Depman. „Apariția unui sistem de măsuri și metode de măsurare a cantităților”, voi. 1, Uchpedgiz, 1956.

Literatură

Brusentsov N. P., S. P. Maslov, V. P. Rozin, A. M. Tishulina „Small digital computer Setun ”, Moscow University Press, 1965.
Fomin SV Sisteme numerice . — M .: Nauka, 1987. — 48 p. - ( Prelegeri populare despre matematică ).