Algebră învelitoare universală

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 8 martie 2020; verificarea necesită 1 editare .

O algebră învelitoare universală este o algebră asociativă care poate fi construită pentru orice algebră Lie care adoptă multe proprietăți importante ale algebrei originale, ceea ce vă permite să aplicați instrumente mai largi pentru studierea algebrei originale.

Clădire

O algebră asociativă peste un câmp are structura naturală a unei algebre Lie peste următorul bracket Lie : , adică dintr-un produs asociativ se poate construi un bracket Lie prin simpla luare a comutatorului . Notăm această algebră Lie cu . $A$ $K$ $K$ $[a,b] = ab - ba$ $A_L$

Construcția unei algebre de anvelopă universală încearcă să inverseze acest proces: pentru o algebră Lie dată peste , se găsește cea mai „generală” algebră asociativă astfel încât algebra Lie să conțină . O limitare importantă este păstrarea teoriei reprezentării: reprezentările sunt legate exact la fel ca modulele peste . Într-un context tipic, în care sunt date de transformări infinitezimale , elementele acționează ca operatori diferențiali de toate ordinele. $\mathfrak{g}$ $K$ $K$ $U(\mathfrak{g})$ $U_L$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$

Motivație

Un subiect important în studiul algebrelor, și probabil principalul mod în care apar în aplicații, este reprezentarea algebrei Lie . Reprezentarea atribuie fiecărui element x al algebrei Lie un operator liniar . Acest spațiu de operatori liniari nu este doar o algebră Lie, ci și o algebră asociativă, deci este posibil să se ia în considerare produse . Esența introducerii algebrei învelitoare universale este studiul unor astfel de produse în diferite reprezentări ale algebrei Lie. Un obstacol în încercarea naivă de a face acest lucru este imediat evident: proprietățile produselor depind fundamental de reprezentarea aleasă, și nu doar de algebra Lie în sine. De exemplu, pentru o reprezentare, puteți obține , în timp ce într-o altă reprezentare acest produs poate fi diferit de zero. Cu toate acestea, anumite proprietăți sunt universale pentru toate vederile, adică sunt valabile pentru toate vederile în același timp. Algebra de împachetare universală este o modalitate de a acoperi toate aceste proprietăți și numai ele. $\rho$ $\rho(x)$ $\rho(x)\rho(y)$ $\rho(x)\rho(y)=0$

Proprietate generică

Fie o algebră Lie arbitrară asupra câmpului . Având în vedere o algebră asociativă cu identitate și un homomorfism al algebrelor Lie $\mathfrak{g}$ $K$ $U$

h\colon \mathfrak{g} \to U_L,

vom spune că este o algebră de anvelopă universală a unei algebre Lie dacă îndeplinește următoarea proprietate universală : pentru orice algebră asociativă cu identitate și un homomorfism al algebrelor Lie $U$ $\mathfrak{g}$ $A$

f\colon \mathfrak{g} \to A_L

există un homomorfism unic al algebrelor asociative cu identitate

g\colon U\la A

astfel încât

f = gh.

Această proprietate universală poate fi înțeleasă și după cum urmează: maparea functorului la algebra sa universală de anvelopă este lăsată conjugată la maparea functorului algebra asociativă la algebra Lie corespunzătoare . $\mathfrak{g}$ $A$ $A_L$

Construcție directă

Din această proprietate universală, putem deduce că, dacă o algebră Lie are o algebră învelitoare universală, atunci această algebră învelitoare este determinată în mod unic de algebră până la izomorfism. Cu ajutorul următoarei construcții, care se sugerează din considerații generale (de exemplu, ca parte a unei perechi de functori adjuncți ), se stabilește că, de fapt, orice algebră Lie are în mod necesar o algebră învăluitoare universală. $\mathfrak{g}$

Începând cu algebra tensorală pe spațiul vectorial al algebrei , obținem factorizarea prin relații $T(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $T(\mathfrak{g})$

a \otimes b - b \otimes a = [a,b]

pentru orice și în , unde parantezele din partea dreaptă a expresiei indică comutatorul în . $A$ $b$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

Formal, asta înseamnă că

U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/I

unde este un ideal cu două fețe al algebrei generat de elementele formei $eu$ $T(\mathfrak{g})$

a\otimes b - b \otimes a - [a,b], \quad a,b \in \mathfrak{g}.

Maparea naturală definește maparea și acest homomorfism al algebrelor Lie este utilizat în proprietatea universală de mai sus. $\mathfrak{g} \to T(\mathfrak{g})$ $h\colon \mathfrak{g} \to U_L$

Construcția descrisă duce aproape textual la cazul superalgebrelor Lie .

Exemple

Dacă este abelian (adică comutatorul este întotdeauna 0), atunci este comutativ; dacă se alege o bază de spațiu vectorial , atunci poate fi considerată ca o algebră polinomială peste cu o variabilă pentru fiecare element de bază. $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $K$

Dacă este algebra Lie a grupului Lie , atunci poate fi considerată ca o algebră a operatorilor diferențiali invarianți la stânga (de toate ordinele) pe , conținând ca operatori diferențiali de ordinul întâi (care sunt în corespondență reciprocă cu câmpurile vectoriale invariante la stânga). pe ). $\mathfrak{g}$ $G$ $U(\mathfrak{g})$ $G$ $\mathfrak{g}$ $G$

Centrul algebrei este notat cu și este format din operatori diferențiali care sunt invarianți atât sub acțiunea stângă a grupului, cât și sub cea dreaptă; în cazul necomutativității, centrul adesea nu este generat de operatori de ordinul întâi (de exemplu, operatorul Casimir al unei algebre Lie semisimple). $U(\mathfrak{g})$ $Z(\mathfrak{g})$ $G$

Poate fi caracterizată și ca o algebră a funcțiilor generalizate susținute pe elementul de identitate al unui grup cu operația de convoluție . $U(\mathfrak{g})$ $e$ $G$

Algebra Weyl a operatorilor diferenţiali învariabile cu coeficienţi polinomiali poate fi obţinută pornind de la algebra Lie a grupului Heisenberg . Pentru a face acest lucru, este necesar să o factorizezi astfel încât elementele centrale ale algebrei Lie date să acționeze ca scalari. $n$

Descriere suplimentară a structurii

Teorema fundamentală a lui Poincaré - Birkhoff - Witt oferă o descriere exactă ; cea mai importantă consecință a acesteia este că poate fi considerată ca un subspațiu liniar al . Mai precis: maparea canonică este întotdeauna injectivă . Mai mult, este generată ca o algebră asociativă cu identitate. $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $h\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$

$\mathfrak{g}$ acţionează asupra ei însăşi printr-o reprezentare adjunctă a algebrei Lie , iar această acţiune poate fi extinsă la o reprezentare în endomorfisme : acţionează ca o algebră a derivatelor pe , iar această acţiune păstrează relaţiile impuse, deci acţionează efectiv asupra . (Acesta este un mod pur infinitezimal de a privi operatorii diferenţiali invarianţi de mai sus.) $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $T(\mathfrak{g})$ $U(\mathfrak{g})$

Cu această reprezentare, elementele care sunt invariante sub acțiune (adică acțiunea oricărui element asupra lor este banală) sunt numite elemente invariante . Ele sunt generate de invarianții Casimir . $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

După cum s-a menționat mai sus, construcția algebrelor anvelope universale face parte dintr-o pereche de functori adjuncți. este un functor din categoria algebrelor Lie peste categoria algebrelor asociative cu identitate. Acest functor este lăsat alăturat functorului de mapare algebră cu algebră . De remarcat că construcția algebrei învăluitoare universale nu este tocmai inversul formării lui : dacă pornim de la algebra asociativă , atunci aceasta nu este egală cu ; este mult mai mare. $U$ $K$ $K$ $A$ $A_L$ $A_L$ $A$ $U(A_L)$ $A$

Informațiile despre teoria reprezentării menționate mai devreme pot fi rafinate după cum urmează: categoria abeliană a tuturor reprezentărilor este izomorfă cu categoria abeliană a tuturor modulelor din stânga . $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$

Construcția unei algebre de grup pentru un grup dat este în multe privințe analogă cu construcția unei algebre de anvelopă universală pentru o algebră Lie dată. Ambele construcții sunt universale și transferă teoria reprezentărilor la teoria modulelor. Mai mult, atât algebrele de grup, cât și algebrele universale de anvelopă au o structură naturală de multiplicare care le transformă în algebre Hopf .

Literatură

Dixmier, Jacques. Algebre învăluitoare. Retipărire revizuită a traducerii din 1977. . - Providence, RI: Societatea Americană de Matematică, 1996. - V. 11. - 379 p. — (Studii universitare de matematică). — ISBN 0-8218-0560-6 .
Serre J.-P. Algebre Lie și grupuri Lie. - Moscova: Mir, 1969. - 376 p. - ISBN 978-5-458-50774-5 .
Zhelobenko D. P. Grupurile Compact Lie și reprezentările lor. - Ed. a II-a, adaug. - Moscova: MTSNMO, 2007. - 552 p. — ISBN 978-5-94057-302-9 .