Cazimir invariant

Invariantul Casimir ( operatorul Casimir ) este un element notabil al centrului algebrei anvelope universale a algebrei Lie . Numit după fizicianul olandez Hendrik Casimir . Un exemplu este pătratul operatorului moment unghiular , care este invariantul Casimir al grupului de rotație tridimensional . Operatorii Casimir din grupul Poincare au o semnificație fizică profundă, deoarece sunt utilizați pentru a defini conceptele de masă și spin ale particulelor elementare [1] .

Definiție

Să presupunem că este o algebră Lie semi-dimensională . Fie orice bază , și fie baza duală construită dintr-o formă biliniară invariantă fixă (de exemplu, forma Killing ) pe . Elementul Casimir este un element al algebrei anvelope universale , definit prin formula $\mathfrak{g}$ $n$ $\{X_{i}\}_{i=1}^{n)$ $\mathfrak{g}$ $\{X^{i}\}_{i=1}^{n)$ $\mathfrak{g}$ $\Omega$

\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.

Chiar dacă definiția elementului Casimir se referă la o anumită alegere a bazei în algebra Lie, este ușor de arătat că elementul rezultat nu depinde de acea alegere. Mai mult, invarianța formei biliniare utilizată în definiție implică faptul că elementul Casimir comută cu toate elementele algebrei și, prin urmare, se află în centrul algebrei învelitoare universale. $\Omega$ $\mathfrak{g}$ $U({\mathfrak {g}}).$

Orice reprezentare a unei algebre pe un spațiu vectorial V , posibil cu dimensiuni infinite, are un invariant Casimir corespunzător , un operator liniar pe V , dat de $\rho$ $\mathfrak{g}$ $\rho (\Omega)$

\rho (\Omega)=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).

Un caz special al acestei construcții joacă un rol important în geometria diferențială și analiza generală . Dacă un grup de Lie G conex cu o algebră Lie acţionează asupra unei varietăţi diferenţiabile M , atunci elementele sunt reprezentate prin operatori diferenţiali de ordinul întâi pe M . Reprezentarea acţionează asupra spaţiului funcţiilor netede pe M . Într-o astfel de situație, invariantul Casimir este un operator diferențial G -invariant de ordinul doi pe M definit de formula de mai sus. Acesta (în funcție de convenție, până la semn) coincide cu operatorul Laplace-Beltrami pe varietatea subiacentă a grupului Lie G în raport cu metrica Cartan-Killing . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $\rho$

Invarianții Casimir mai generali pot fi, de asemenea, definiți. Ele sunt întâlnite frecvent în studiul operatorilor pseudo-diferențiali și al teoriei Fredholm .

Proprietăți

Operatorul Casimir este un element notabil al centrului algebrei de anvelopă universală a algebrei Lie . Cu alte cuvinte, este un membru al algebrei tuturor operatorilor diferenţiali care face naveta cu toţi generatorii din algebra Lie.

Numărul de elemente independente ale centrului algebrei anvelope universale este, de asemenea, rangul în cazul unei algebre Lie semisimple . Operatorul Casimir dă conceptul de Laplacian pe grupuri generale de Lie semisimple ; dar o astfel de cale arată că poate exista mai mult de un analog al laplacianului, pentru rangul >1.

În orice reprezentare ireductibilă a algebrei Lie, după lema lui Schur , orice membru al centrului algebrei învăluitoare universale comută cu totul și este astfel proporțional cu identitatea. Acest factor de proporționalitate poate fi utilizat pentru a clasifica reprezentările unei algebre Lie (și, prin urmare, și grupul său Lie ). Masa fizică și spinul sunt exemple de astfel de coeficienți, la fel ca multe alte numere cuantice utilizate în mecanica cuantică . La suprafață, numerele cuantice topologice reprezintă o excepție de la acest model; deși teorii mai profunde sugerează că acestea sunt două fațete ale aceluiași fenomen.

Exemplu: so(3)

Algebra Lie corespunde lui SO (3), grupul de rotație al spațiului euclidian tridimensional . Este un prim de rang 1 și, prin urmare, are singurul invariant Casimir independent. Forma Killing pentru un grup de rotație este doar simbolul Kronecker , iar invariantul Casimir este pur și simplu suma pătratelor generatoarelor algebrei date. Adică invariantul Casimir este dat de formula ${\mathfrak {deci}}(3)$ $L_{x},\,L_{y},\,L_{z)$

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.

În reprezentarea ireductibilă, invarianța operatorului Casimir implică multiplicitatea acestuia la elementul de identitate e al algebrei, astfel încât

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)e.

În mecanica cuantică , valoarea scalară se referă la momentul unghiular total. Pentru reprezentările cu valori matrice de dimensiuni finite ale grupului de rotație, este întotdeauna un număr întreg (pentru reprezentările bosonice ) sau un număr semiîntreg (pentru reprezentările fermionice ). $\ell$ $\ell$

Pentru un număr dat , reprezentarea matriceală este -dimensională. Deci, de exemplu, reprezentarea tridimensională deci (3) corespunde și este dată de generatoare $\ell$ $(2\ell +1)$ $\ell =1$

L_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}), L_{y}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0 \end{pmatrix}},L_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.

Apoi invariantul Casimir:

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}},

din moment ce la . În același mod, reprezentarea bidimensională are o bază dată de matricele Pauli , care corespund spinului 1/2. $\ell (\ell +1)=2$ $\ell =1$

Vezi și

Homomorfismul Harish-Chandra

Note

↑ Rumer, 2010 , p. 134.

Link -uri

Humphreys, James E. Introducere în algebrele minciunii și teoria reprezentării . — A doua tipărire, revizuită. Texte de absolvent în matematică, 9. - New York: Springer-Verlag, 1978. - ISBN 5-9221-0055-6 .

Literatură

Yu. B. Rumer , AI Fet Teoria grupurilor și câmpurilor cuantizate. - M. : Librokom, 2010. - 248 p. - ISBN 978-5-397-01392-5 .