Ecuația Orr-Sommerfeld

Ecuația Orr-Sommerfeld este o ecuație a unei probleme de valori proprii hidrodinamice care descrie stabilitatea unui flux plan-paralel al unui fluid vâscos incompresibil cu condiții la limită arbitrare și un profil de viteză. Este una dintre ecuațiile de bază ale teoriei stabilității hidrodinamice .

Ecuația a fost publicată pentru prima dată în lucrările lui William McFadden Orr și Arnold Sommerfeld în 1907-1908.

Declarația problemei

Ecuația Orr-Sommerfeld este obținută din ecuațiile Navier-Stokes pentru perturbații mici ale unui flux staționar. Presupunând că viteza curgerii poate fi reprezentată ca

{\vec {v}}=U(z){\vec {e}}_{x}+{\vec {v}}'(x,z),

unde este profilul de curgere staționar, se poate trece la ecuațiile liniarizate Navier-Stokes pentru perturbații, care admit soluții sub formă de unde care se deplasează , unde este numărul de undă al perturbațiilor de-a lungul axei și este viteza de propagare a acestora. $U(z)$ ${\vec {v)}'\sim \exp(ik(x-ct))$ $k$ $X$ $c$

Excluzând succesiv presiunea și componenta orizontală a vitezei de perturbare din ecuații direct sau trecând la funcția de flux , putem aduce sistemul la o ecuație pentru componenta verticală, potențialul de viteză sau funcția de flux, indiferent de funcția aleasă. transformari:

(Uc)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi}}{\partial z^{2)}}-k^{2}\varphi \right)-{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\varphi ={\frac {1}{ik\mathrm {Re} }}\left({\frac {\partial ^{4}\varphi } {\partial z^{4))}-2k^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}+k^{4}\varphi \right) ,

unde este numărul Reynolds adimensional . $\mathrm{Re}$

Când scrieți perturbații sub forma , unde este incrementul (rata de creștere) perturbațiilor, se poate obține o formă ușor diferită a ecuației: ${\vec {v)}'\sim \exp(ikx+\lambda t)$ $\lambda$

(\lambda +ikU)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi {\partial z^{2)}} -k^{2}\varphi \right) -ik{\ frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2))}\varphi ={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\left({\frac {\partial ^{4} \varphi }{\partial z^{4))}-2k^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}+k^{4}\varphi \dreapta).

Ecuația este completată cu condiții la limită pentru perturbațiile corespunzătoare problemei. De exemplu, pentru un flux într-un canal cu doi pereți solizi, se vor efectua următoarele:

\varphi =0,{\frac {\partial \varphi {\partial z}}=0,

dacă ne referim la componenta verticală a vitezei de perturbare sau la potențialul câmpului de viteză, sau $\varphi$

\varphi =0,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=0,

if este o funcție a fluxului. $\varphi$

Valoarea proprie a problemei cu valoarea la limită rezultată este viteza de propagare a perturbației , care depinde de numărul de undă și de numărul Reynolds. În cazul general, este un număr complex , iar dacă partea imaginară a vitezei se dovedește a fi pozitivă, aceasta duce la o creștere exponențială a perturbațiilor în timp și, în consecință, la pierderea stabilității fluxului staționar și a tranziției. de la flux laminar la turbulent . $c$

Soluții ale ecuației

În general, chiar și pentru cele mai simple profile de viteză, cum ar fi curgerea Poiseuille , această ecuație nu poate fi rezolvată analitic. O soluție exactă poate fi obținută doar pentru fluxul Couette (vezi mai jos). Pentru fluxuri arbitrare, metode asimptotice, metode spectrale ( metoda de colocare , metoda Galerkin etc.), algoritmi specializați pentru rezolvarea numerică a problemelor cu valori la limită, cum ar fi metoda de fotografiere sau metoda de baleiaj diferențial , sau simularea numerică directă a dezvoltării sunt utilizate instabilitatea fluxului.

Analiza stabilității fluxului Couette

Vezi și

Literatură

Orr, W. M'F. (1907). „Stabilitatea sau instabilitatea mișcărilor constante ale unui lichid. Partea I”. Proceedings of the Royal Irish Academy. A27:9-68
Orr, W. M'F. (1907). „Stabilitatea sau instabilitatea mișcărilor constante ale unui lichid. Partea a II-a”. Proceedings of the Royal Irish Academy. A27:69-138
Sommerfeld, A. (1908). „Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen”. Lucrările celui de-al IV-lea Congres Internațional al Matematicienilor III. Roma. pp. 116-124
Lin Chia Chiao . Teoria stabilității hidrodinamice. Moscova: Literatură străină, 1958.

Dicționare și enciclopedii	mare chinezesc