Ecuații Bargmann–Wigner

Ecuațiile Bargmann-Wigner sunt ecuații spinore multicomponente relativistic invariante ale mișcării particulelor libere cu masă diferită de zero și spin arbitrar . [unu]

A primit numele în onoarea lui Valentine Bargman și Eugene Wigner .

Istorie

Paul Dirac a publicat pentru prima dată ecuația lui Dirac în 1928 și mai târziu (1936) a generalizat-o la particule cu orice spin semiîntreg înainte ca Fiertz și Pauli să găsească ulterior aceleași ecuații în 1939 și cu aproximativ un deceniu înainte de Bargmann și Wigner. [2] Eugene Wigner a scris o lucrare în 1937 despre reprezentările unitare ale grupului neomogen Lorentz sau grupului Poincaré . [3] Wigner notează că Ettore Majorana [4] și Dirac au folosit operatori infinitezimali și clasifică reprezentările ca ireductibile, factoriale și unitare.

În 1948, Valentin Bargman și Wigner au publicat ecuațiile care le poartă acum numele într-o lucrare despre o discuție teoretică de grup a ecuațiilor de unde relativiste. [5]

Formularea ecuațiilor

Pentru o particulă masivă liberă neutră electric cu spin , ecuațiile BV sunt un sistem de ecuații diferențiale parțiale liniare , fiecare dintre ele având o formă matematică similară cu ecuația Dirac . Sistemul de ecuații are forma [2] [6] [7] [8] [9] $j$ $2j$

{\begin{aliniat}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P))_{\mu}+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{ 1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\ mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{ 2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\ mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha ' _{2j}}=0\\\end{aliniat}}

și urmează regula generală;

$\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{r}\alpha '_{r}}\psi _ {\alpha _{1}\cdots \alpha '_{r}\cdots \alpha _{2j))=0$

( 1 )

pentru . $r=1,2,...2j$

Funcția de undă a BV are componente $\psi =\psi (\mathbf {r} ,t)$

\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j))(\mathbf {r} ,t)

și este un câmp spinor cu 4 componente de rang 2j. Fiecare indice ia valorile 1, 2, 3 sau 4, adică există o componentă a întregului câmp spinor , deși o funcție de undă complet simetrică reduce numărul de componente independente la . În continuare, sunt matricele Dirac și $4^{2j}$ $\psi$ $2(2j+1)$ $\gamma ^{\mu }=(\gamma ^{0},\mathbf {\gamma } )$

{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }

este operatorul de impuls cu patru dimensiuni .

Operatorul care alcătuiește fiecare ecuație este o matrice de dimensiune , deoarece matricele și sunt scalare înmulțite cu matricea de identitate a dimensiunii (de obicei nu este scrisă pentru simplitate). În mod explicit, în reprezentarea Dirac a matricelor Dirac : [2] $(-\gamma ^{\mu}P_{\mu}+mc)=(-i\hbar \gamma ^{\mu}\partial _{\mu}+mc)$ $4\ ori 4$ $\gamma ^{{\mu ))$ $mc''$ $4\ ori 4$

{\begin{aliniat}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{ c))-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\ \0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{ 2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\ pălărie {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c ))+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p} }_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0 \\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E }}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aliniat}}

unde este un vector, a cărui componentă este o matrice Pauli , este un operator energetic, este un operator de impuls tridimensional , denotă o matrice de identitate de dimensiune , zerourile (în a doua linie) indică o matrice bloc de dimensiune compusă din zero matrice . $\mathbf {\sigma} =(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ $E$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})=(p_{x},p_{y},p_{z})$ $I_{2}$ $2\times 2$ $2\times 2$

Ecuațiile BV au unele proprietăți ale ecuației lui Dirac:

ecuațiile BV sunt covariante Lorentz ,
toate componentele soluțiilor ecuațiilor BV satisfac ecuația Klein–Gordon și, prin urmare, satisfac relația relativistă energie-impuls ,

E^{2}=(buc)^{2}+(mc^{2})^{2}

ecuaţiile BV admit a doua cuantizare .

Spre deosebire de ecuația lui Dirac, care poate lua în considerare acțiunea unui câmp electromagnetic prin includerea unui termen care descrie interacțiunea electromagnetică minimă , formalismul BV, atunci când încearcă să țină cont de interacțiunea electromagnetică, conține contradicții și dificultăți interne. Cu alte cuvinte, este imposibil să se facă o schimbare în ecuațiile BV , unde este sarcina electrică a particulei și este potențialul electromagnetic . [10] [11] Curenții electromagnetici 4 și particulele multipoli sunt utilizate pentru a studia interacțiunile electromagnetice în acest caz . [12] [13] $P_{\mu}\rightarrow P_{\mu}-eA_{\mu )$ $e$ $A_{\mu }=(A_{0},\mathbf {A} )$

Structura grupului Lorentz

Reprezentarea grupului Lorentz pentru ecuațiile BV: [10]

D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{ (0,1/2)}\dreapta]\,.

unde denotă o reprezentare ireductibilă. $D_{r)$

Vezi și

Ecuații Dirac pentru două corpuri
Generalizări ale matricelor Pauli
Matricea D Wigner
Matrice Weil–Brauer
Matrici Dirac de dimensiuni mai mari
Ecuațiile Joos–Weinberg sunt ecuații alternative care descriu particule libere cu orice spin.
Teoria spinurilor mai mari

Surse

Note

^ Acest articol folosește convenția de însumare a lui Einstein pentru indicii tensor / spinor și folosește simbolul circumflex pentru a reprezenta operatorii cuantici .
↑ 123 E.A. _ _ Jeffery (1978). „Minimizarea componentelor funcției de undă Bargman-Wigner”. Jurnalul Australian de Fizică . 31 (2): 137. Cod biblic : 1978AuJPh..31..137J . DOI : 10.1071/ph780137 .
↑ E. Wigner (1937). „Despre reprezentările unitare ale grupului neomogene Lorentz” (PDF) . Analele matematicii . 40 (1): 149-204. Cod biblic : 1939AnMat..40..149W . DOI : 10.2307/1968551 . JSTOR 1968551 . Arhivat (PDF) din original pe 2015-10-04 . Extras 2022-09-12 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ E. Majorana Teoria relativistă a unei particule cu un moment unghiular intern arbitrar // L. Michel, M. Schaaf Symmetry in quantum physics. - M., Mir , 1974. - p. 239-247
↑ Bargmann, V.; Wigner, E.P. (1948). „Discuție teoretică de grup a ecuațiilor de unde relativiste” . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 34 (5): 211-23. Cod biblic : 1948PNAS ...34..211B . DOI : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID 16578292 . Caracter de întrerupere de linie |journal=la poziția #16 ( ajutor )
↑ RK Loide; I.Ots; R. Saar (2001). „Generalizări ale ecuației Dirac în formă covariantă și hamiltoniană”. Jurnalul de fizică A. 34 (10): 2031-2039. Cod biblic : 2001JPhA ...34.2031L . DOI : 10.1088/0305-4470/34/10/307 .
↑ H. Shi-Zhong; R. Tu-Nan; W. Ning; Z. Zhi-Peng (2002). „Funcții de undă pentru particule cu spin arbitrar” . Comunicări în fizică teoretică . 37 (1): 63. Bibcode : 2002CoTPh..37...63H . DOI : 10.1088/0253-6102/37/1/63 . Arhivat din original pe 27.11.2012 . Extras 2022-09-12 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolohov A.A. Grupuri de simetrie și particule elementare. - L., Universitatea de Stat din Leningrad , 1983. - p. 326 - 327
↑ Novozhilov Yu.V. Introducere în teoria particulelor elementare. - M., Nauka , 1972. - p. 150 - 153
↑ 1 2 T. Jaroszewicz; PS Kurzepa (1992). „Geometria propagării spațiu-timp a particulelor în rotație”. Analele fizicii . 216 (2): 226-267. Cod biblic : 1992AnPhy.216..226J . DOI : 10.1016/0003-4916(92)90176-M .
↑ C.R. Hagen . Metoda Bargmann–Wigner în relativitatea galileană, pp. 97–108.
↑ Cedric Lorce (2009), Electromagnetic Properties for Arbitrary Spin Particles: Part 1? Curent electromagnetic și descompunere multipolară, arΧiv : 0901.4199 [hep-ph].
↑ Cedric Lorce (2009). „Proprietăți electromagnetice pentru particule de spin arbitrar: partea 2? Momente naturale și densități de sarcină transversală. Analiza fizică D. 79 (11): 113011. arXiv : 0901.4200 . Cod biblic : 2009PhRvD..79k3011L . DOI : 10.1103/PhysRevD.79.113011 . S2CID 17801598 .

Lectură suplimentară

Cărți

Weinberg, S, Teoria cuantică a câmpurilor, vol II
Weinberg, S, Teoria cuantică a câmpurilor, vol III
R. Penrose. Drumul către realitate. - Cărți de epocă, 2007. - ISBN 978-0-679-77631-4 .

Articole selectate

EN Lorenz (1941). „O generalizare a ecuațiilor lui Dirac” . PNAS . 27 (6): 317-322. Cod biblic : 1941PNAS ...27..317L . DOI : 10.1073/pnas.27.6.317 . PMC 1078329 . PMID 16588466 .
VV Dvoeglazov . Formalismul Bargmann-Wigner modificat pentru câmpuri de spin superioare și mecanică cuantică relativistă.
D. N. Williams (1965). „Algebra Dirac pentru orice învârtire” (PDF) . Prelegeri de Fizică Teoretică . 7A . University Press din Colorado. pp. 139-172.
H. Shi-Zhong; Z. Peng-Fei; R. Tu-Nan; Z. Yu-Can; Z. Zhi-Peng (2004). „Operator de proiecție și propagator Feynman pentru o particulă masivă liberă de rotație arbitrară” . Comunicări în fizică teoretică . 41 (3): 405-418. Cod biblic : 2004CoTPh..41..405H . DOI : 10.1088/0253-6102/41/3/405 .
V. V. Neznamov (2006). „Despre teoria câmpurilor care interacționează în reprezentarea Foldy-Wouthuysen”. Fiz. Parte. Nucl . 37 (2006): 86-103. arXiv : hep-th/0411050 . Cod biblic : 2004hep.th ...11050N . DOI : 10.1134/S1063779606010023 . S2CID 16681061 .
H. Stumpf . Ecuații de Broglie-Bargmann-Wigner generalizate, o formulare modernă a teoriei fuziunii lui de Broglie , p. 785.
DGC McKeon și TN Sherry (2004), Ecuațiile Bargmann–Wigner în spațiul sferic, arΧiv : hep-th/0411090 .
Teoria câmpului cuantic , pp. 61–69. Preluat la 27 octombrie 2016.
H. Stumpf . Eigenstates of Generalized de Broglie–Bargmann–Wigner Equations for Photons with Partonic Substructure , pp. 726–736.
B. Schroer (1997). „Teoria reprezentării Wigner a Grupului Poincare, Localizare, Statistică și S-Matrix”. Fizica nucleară B . 499 (3): 519-546. arXiv : hep-th/9608092 . Cod biblic : 1997NuPhB.499..519S . DOI : 10.1016/S0550-3213(97)00358-1 . S2CID 18003852 .
De la ecuații de undă invariante din Galileea la ecuații de undă relativiste , p. 884.
DV Ahluwalia (1997). „Recenzie de carte: Teoria cuantică a câmpurilor vol. I şi II de S. Weinberg”. Găsite. Fiz . 10 (3): 301-304. arXiv : fizică/9704002 . Cod biblic : 1997FoPhL..10..301A . doi : 10.1007/ bf02764211 . S2CID 189940978 .
JA Morgan (2005). Paritatea și conexiunea Spin-Statistics. Pramana . 65 (3): 513-516. arXiv : fizica/0410037 . Bibcode : 2005Prama..65..513M . DOI : 10.1007/BF02704208 . S2CID 119416196 .

Link- uri externe

Ecuații de undă relativiste:

Grupuri Lorentz în fizica cuantică relativistă: