Particule libere

O particulă liberă este un termen folosit în fizică pentru a se referi la particulele care nu interacționează cu alte corpuri și au doar energie cinetică .

Colecția de particule libere formează un gaz ideal .

În ciuda simplității definiției, în fizică conceptul de particule libere joacă un rol foarte important, deoarece ecuația mișcării trebuie în primul rând îndeplinită pentru particulele libere.

Mecanica clasică

În fizica clasică, o particulă liberă își păstrează viteza și, în consecință, impulsul este de asemenea conservat . Energia cinetică a unei particule libere este dată de formule

$E=T={\frac {mv^{2}}{2}}$ , unde m este masa particulei, în cazul nerelativistic.
$E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$ , unde c este viteza luminii , în cazul relativist.

Mecanica cuantică nonrelativista

Particulele cuantice sunt descrise de ecuația Schrödinger

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t)}=-{\frac {\hbar ^{2}} {2m)}\Delta \psi

Soluțiile acestei ecuații sunt date de suprapunerea funcțiilor de undă, care au forma

\psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }

Unde

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

$A_{\mathbf {k} }$ orice număr complex .

Vectorul de undă este singurul număr cuantic pentru o particulă mecanică cuantică liberă . $\mathbf {k}$

O particulă cuantică liberă poate fi într-o stare cu un vector de undă strict definit. Atunci impulsul său este, de asemenea, strict definit și egal cu . În acest caz, energia particulei este, de asemenea, definită și este egală cu E. Cu toate acestea, particula cuantică poate fi, de asemenea, într-o stare mixtă , în care nu este definită nici impulsul, nici energia. $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$

Particulă liberă în coordonate curbilinie

Hamiltonianul unei particule libere

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta

este proporțională cu operatorul Laplace , care în coordonate curbilinie, precum și pe o varietate riemanniană arbitrară , are forma [1]

\Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k))}\right)

Astfel, Hamiltonianul unei particule libere în coordonate curbilinie are forma: [2]

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i} }}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)

Funcția Hamilton clasică are forma

H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k }

În acest caz, apare o problemă de ordonare non-trivială, care poate fi rezolvată doar local [3]

H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q} )P_{i}P_{k }+i\hbar g^{is}(\mathbf {Q} )\Gamma _{is}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\right)

Particulă cuantică relativistă

Particulele cuantice relativiste sunt descrise prin diferite ecuații de mișcare, în funcție de tipul de particule. Pentru electroni și, în același timp, antiparticulele lor , pozitroni , este valabilă ecuația lui Dirac . Într-o stare cu o anumită valoare a impulsului p, energia particulelor este egală cu

E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2)))

unde semnul „+” corespunde unui electron, iar semnul „-” corespunde unui pozitron. Pentru un electron relativist, apare și un număr cuantic suplimentar - spin .

Alte particule sunt descrise prin propriile lor ecuații specifice, de exemplu, o particulă fără spin este descrisă de ecuația Klein-Gordon .

Notă

↑ Operatorul Laplace pe o varietate Riemanniană se numește operatorul Laplace-Beltrami .
↑ Flugge, 2008 , p. 36.
↑ Takhtajyan, 2011 , p. 146.

Literatură

Flygge Z. Probleme în mecanica cuantică / Traducere din engleză, editată de A.A. Sokolova . - M . : Editura LKI, 2008. - T. 1. - 344 p.
Takhtadzhyan L.A. Mecanica cuantică pentru matematicieni / Tradus din engleză de Ph.D. S.A. Slavnov . - Ed. al 2-lea. — M. -Izhevsk: Centrul de Cercetare „Dinamica obișnuită și haotică”, Institutul de Cercetare Calculatoare Izhevsk, 2011. — 496 p. - ISBN 978-5-93972-900-0 .

Modele de mecanică cuantică
Unidimensional fără spin	particule libere Groapă cu pereți nesfârșiti Puț cuantic dreptunghiular potenţial delta Puțul cuantic triunghiular Oscilator armonic Potențială piatră de treaptă Pöschl-Teller potenţial bine Potenţialul Pöschl-Teller modificat bine Particulă într-un potențial periodic Dirac potențial pieptene Particulă în inel
Multidimensional fără spin	oscilator circular Ionul moleculei de hidrogen Top simetric Potențiale simetrice sferic Potențial păduri-saxon problema lui Kepler Potenţialul Yukawa Potențial Morse Hulthen potențial Potenţialul molecular al lui Kratzer Potenţial exponenţial
Inclusiv spin	atom de hidrogen Ion hidrură atom de heliu