Ecuații Schwinger

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 martie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Ecuațiile Schwinger sunt un sistem de ecuații care relaționează funcțiile lui Green în teoria cuantică a câmpurilor . Introdus de Julian Schwinger în 1951.

Ecuațiile Schwinger pot fi formulate ca o singură ecuație în derivate variaționale :

\left\{{\frac ({\overrightarrow {\delta}}S(\varphi )}{\delta \varphi (x))){\bigg |}_{\varphi =\chi {\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}}+A(x)\right\}G(A)=0,

unde este functionala actiunii , este functionala generatoare a functiilor complete ale lui Green . Argumentul funcționalului este un obiect clasic de aceeași natură cu câmpul , adică funcția uzuală pentru bozoni și funcția anticomutantă pentru fermioni , - derivata variațională stângă , în cazul bosonic, în cazul fermionic. $S(\varphi )$ $G(A)$ $Topor)$ $\varphi$ ${\frac {\overrightarrow {\delta}}{\delta iA}}$ $\chi =+1$ $\chi =-1$

Pentru o teorie cu polinom de acțiune în câmp, această ecuație este o ecuație de ordin finit în derivate variaționale. Ea determină soluția doar până la un factor numeric - funcționarea generatoare a funcției lui Green fără bucle de vid este determinată în mod unic , unde este funcționala generatoare a funcțiilor lui Green din teoria liberă. $H(A)=G_{0}^{-1}G(A)$ $G_{0}$

Făcând o înlocuire în ecuație și reducând multiplicatorul după diferențiere , obținem ecuația Schwinger pentru funcționarea generatoare a funcțiilor lui Green conectate . $G(A)=e^{W(A))$ $e^{W(A)}$ $W(A)$ $W_{n}$

Reprezentat ca o serie $W(A)$

W(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {W_{n}(iA)^{n}}{n!}},

și comparând coeficienții la toate puterile , obținem un sistem de ecuații legate pentru funcțiile lui Green conectate . $iA$ $W_{n}$

Ecuația Schwinger în electrodinamica cuantică

Pentru a obține ecuațiile Schwinger sunt introduse surse clasice de câmpuri externe. De exemplu, în electrodinamica cuantică a particulelor cu spin 1/2, în cea mai simplă versiune, este suficientă introducerea în Lagrangian a interacțiunii câmpului fotonic cuantizat cu sursa unui câmp electromagnetic extern în forma minimă — . Datorită acestui fapt, devine posibil, prin intermediul variației funcționale asupra unei surse clasice , să se obțină funcțiile lui Green cu un număr mare de capete fotonice . Matricea de împrăștiere devine sursă funcțională . De asemenea, este convenabil să se introducă valoarea medie observată a operatorului câmpului fotonic (ținând cont de corecțiile cuantice): $A^{\mu }(x)$ $J_{\mu}(x)$ $J_{\mu}A^{\mu }$ $J_{\mu}(x)$ $S[J]$

{\mathcal {A^{\mu }}}(x)={\frac {1}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{A^{\mu }( x)S[J]\}\vert 0\rangle =i{\frac {\delta \ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x))),

unde este valoarea medie a operatorilor peste stările de vid în reprezentarea interacțiunii , simbolul denotă ordonarea cronologică a operatorilor, este derivata variațională a . $S_{0}[J]\equiv \langle 0\vert S[J]\vert 0\rangle ,\mu =0,1,2,3.$ $\langle 0\vert \cdots \vert 0\rangle$ $T$ ${\frac {\delta {\delta J_{\mu}(x)))),$

Ca rezultat, pentru funcția Green fermionică în două puncte

G(x,y\vert J)=-{\frac {i}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{\psi (x){\overline {\psi } }(y)S[J]\}\vert 0\rangle ,

unde este operatorul spinor al câmpului fermionic (electron-pozitron), iar bara de deasupra operatorului înseamnă conjugarea Dirac , avem o ecuație de tip Dirac : $\psi(x)$

\left\{\gamma _{\mu }\left[{\frac {\partial }{\partial x_{\mu ))} -e{\mathcal {A^{\mu ))}(x )\right]-m-ie\gamma _{\mu }{\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)))\right\}G(x,y\vert J)=\ delta ^{4}(xy),

unde sunt matricele Dirac și sunt sarcina și masa electronului. Pentru valoarea medie a operatorului câmp fotonic, obținem o ecuație de tipul ecuației Maxwell (al doilea termen din partea dreaptă a ecuației are semnificația corecțiilor cuantice la curentul clasic ): $\gamma_{\mu}$ $e,m$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$ $J$

\Box {\mathcal {A^{\mu }}}(x)=-J_{\mu }(x)+ie\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu}G(x,x \vert J)],

unde urma este preluată peste indici spinori. Ecuațiile rezultate, care fac posibilă determinarea și din surse date , se numesc ecuații Schwinger . $J_{\mu}(x)$ $G(x,y\vert J)$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$

Funcția lui Green fotonului în două puncte poate fi găsită folosind relația

G^{\mu \nu }(x,y\vert J)=-{\frac {\delta A^{\mu }(x)}{\delta J^{\nu }(y)} }=-i{\frac {\delta ^{2}\ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)\delta J_{\nu }(y))).

Mărimea se numește funcțională generatoare . $Z[J]\equiv i\ln S_{0}[J]$

Partea de vârf în trei puncte este definită după cum urmează:

\Gamma _{\mu }(x,y,z)=-{\frac {\delta }{\delta A^{\mu ))}G^{-1}(x,y\vert J ),

unde este operatorul invers al funcției fermionice Green. Ecuațiile Schwinger sunt strâns legate de ecuațiile Dyson . Schwinger a derivat, de asemenea, o ecuație pentru funcția lui Green în patru puncte a două particule (fermioni). În absența unui câmp extern, această ecuație este echivalentă cu ecuația Bethe-Salpeter . $G^{-1}$

Literatură

Vasiliev AN § 7.1.Ecuații Schwinger // Metode funcționale în teoria și statistica cuantică a câmpurilor,. - L . : Editura Universității din Leningrad, 1976. - S. 72-74. — 295 p.
Bogolyubov HH, Shirkov DV Capitolul VI. Aplicarea teoriei generale a eliminării divergentelor // Introducere în teoria câmpurilor cuantificate,. - Ed. a IV-a,. - M. : Nauka, 1984. - T. 4. - S. 389. - 600 p.
Enciclopedia fizică / Cap. ed. A. M. Prohorov. Ed. numara D. M. Alekseev, A. M. Baldin, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovikov și alții - Enciclopedia sovietică, 1988. - ISBN 5-85270-034-7 .