Filtru Chebyshev

Filtru Chebyshev [K 1] - unul dintre tipurile de filtre liniare analogice sau digitale , a căror caracteristică distinctivă este o pantă mai abruptă a caracteristicii amplitudine-frecvență (AFC) și ondulații semnificative ale caracteristicii amplitudine-frecvență la frecvențele benzii de trecere (Chebyshev filtru de primul fel) și suprimare (filtru Chebyshev de al doilea fel) decât filtrele de alte tipuri. Filtrul a fost numit după celebrul matematician rus din secolul al XIX-lea Pafnuty Lvovich Chebyshev , deoarece caracteristicile acestui filtru se bazează pe polinoamele Chebyshev .

Filtrele Chebyshev sunt de obicei folosite acolo unde este necesar să se asigure caracteristicile de răspuns în frecvență necesare cu un filtru de ordin scăzut, în special o suprimare bună a frecvenței din banda de suprimare, în timp ce netezimea răspunsului în frecvență la frecvențele de trecere și de suprimare nu este atât de importantă. .

Există filtre Chebyshev genurile I și II.

Filtru Cebyshev de primul fel

Aceasta este o modificare mai comună a filtrelor Chebyshev. Răspunsul în frecvență al unui astfel de filtru de ordinul al treilea este dat de următoarea expresie: $n$

G_n(\omega) = \left | H_n(j\omega)\dreapta | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)))

unde este exponentul ondulației, este frecvența de tăiere și este polinomul Chebyshev de ordinul al treilea. $\varepsilon$ $\omega_0$ $T_{n}(x)$ $n$

În banda de trecere a unui astfel de filtru, sunt vizibile ondulații , a căror amplitudine este determinată de factorul de ondulare . În banda de trecere, polinoamele Chebyshev iau valori de la 0 la 1, astfel încât câștigul filtrului ia valori de la maxim la minim . La frecvența de tăiere , câștigul are o valoare de , iar la frecvențele peste aceasta, acesta continuă să scadă odată cu creșterea frecvenței. ( Notă : definiția obișnuită a frecvenței de tăiere ca frecvență când LAFC este -3 dB în cazul filtrului Chebyshev nu funcționează). $\varepsilon$ $G=1$ $G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$ $\omega_0$ $1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$

În cazul unui filtru electronic analogic Chebyshev, ordinea acestuia este egală cu numărul de componente reactive (de exemplu, inductori ) utilizate în implementarea sa.

Ondularea în banda de trecere este adesea dată în decibeli :

Ondularea în dB = . $20\log _{10}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}$

De exemplu, ondulațiile cu o amplitudine de 3 dB corespund cu . $\varepsilon=1$

O declinare mai abruptă poate fi obținută dacă ondularea este permisă nu numai în banda de trecere, ci și în banda de suprimare, prin adăugarea de zerouri la funcția de transfer a filtrului pe axa imaginară în planul complex. Totuși, aceasta va avea ca rezultat o suprimare mai puțin eficientă în banda de suprimare. Filtrul rezultat este filtrul eliptic , cunoscut și sub denumirea de filtru Cauer. $j\omega$

Poli și zerouri

Pentru simplitate, vom lua frecvența de tăiere egală cu unitatea. Polii filtrului Cebyshev sunt zerourile numitorului său. Folosind frecvența complexă , obținem: $(\omega_{pm})$ $s$

1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0

Prezentând și utilizând definiția trigonometrică a polinoamelor Chebyshev, obținem: $-js=\cos(\theta)$

1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0

Să rezolvăm ultima expresie cu privire la $\theta$

\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}

Apoi, polii filtrului Chebyshev sunt determinați din următoarea expresie:

s_{pm}=i\cos(\theta)=

=i\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right)

Folosind proprietățile funcțiilor trigonometrice și hiperbolice, scriem ultima expresie în formă complexă :

s_{pm}^\pm= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{ \varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+

+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\ cos(\theta_m)

unde si $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$

\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}

Această expresie poate fi considerată ca o ecuație parametrică cu parametrul . Arată că polii se află pe o elipsă în planul -, cu centrul elipsei în punctul , semiaxa axei reale are lungimea , iar semiaxa axei imaginare are lungimea . $\theta_n$ $s$ $s=0$ $\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$ $\mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$

Funcția de transfer

Ecuația derivată mai sus conține poli relaționați cu câștigul filtrului complex . Pentru fiecare pol există un conjugat complex, iar pentru fiecare pereche conjugată complexă există doi poli care diferă de ei doar prin semnul părții reale a polului. Funcția de transfer trebuie să fie stabilă, ceea ce înseamnă că polii săi trebuie să aibă o parte reală negativă, adică să se afle în semiplanul stâng al planului complex. Funcția de transfer în acest caz este dată de următoarea expresie: $G$

H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)}

unde sunt doar acei poli care au o parte reală negativă. $s_{pm}^-$

Întârziere de grup

Întârzierea de grup este definită ca minus derivata fazei filtrului în raport cu frecvența și este o măsură a distorsiunii de fază a unui semnal la frecvențe diferite.

\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))

Caracteristicile fazei

Caracteristicile de fază ale filtrului Chebyshev de primul fel - răspuns fază-frecvență (PFC) și întârziere de fază - sunt prezentate în figură. Răspunsul de fază arată distribuția de frecvență a decalajului de fază a semnalului de ieșire în raport cu intrarea. Întârzierea de fază este definită ca coeficientul împărțirii răspunsului de fază la frecvență și caracterizează distribuția de frecvență a decalajului de timp al semnalului de ieșire în raport cu intrarea.

\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}

Caracteristicile timpului

Caracteristicile temporale ale filtrului Chebyshev de primul fel - funcția de tranziție a impulsului și funcția de tranziție - sunt prezentate în figură. Funcția tranzitorie de impuls este răspunsul filtrului la semnalul de intrare sub forma funcției delta Dirac , iar funcția tranzitorie este răspunsul la acțiunea de intrare sub forma funcției de unitate Heaviside .

Filtru Cebyshev de al doilea fel

Filtrul Chebyshev de tip II (filtrul Chebyshev invers ) este utilizat mai rar decât filtrul Chebyshev de tip I din cauza declinării mai puțin abrupte a răspunsului de amplitudine, ceea ce duce la o creștere a numărului de componente. Nu are ondulație în banda de trecere, dar este prezent în banda de suprimare. Amplitudinea caracteristică a unui astfel de filtru este dată de următoarea expresie:

G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )))}

În banda de suprimare, polinoamele Chebyshev iau valori de la 0 la 1, datorită cărora caracteristica de amplitudine a unui astfel de filtru ia valori de la zero la

\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2))}

frecvenţa minimă la care se atinge acest maxim este frecvenţa de tăiere . Parametrul este legat de atenuarea benzii de oprire în decibeli prin următoarea expresie: $\omega_0$ $\varepsilon$ $\gamma$

\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}

Pentru atenuare la frecvențe de tăiere de 5 dB: ; pentru atenuare de 10 dB: . Frecvența este frecvența de tăiere. Frecvența de atenuare de 3 dB este legată de următoarea expresie: $\varepsilon=0,\!6801$ $\varepsilon=0,\!3333$ $f_C=\omega_C/(2\pi)$ $f_H$ $f_C$

f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right )

Poli și zerouri

Luând frecvența de tăiere egală cu unu, obținem o expresie pentru polii filtrului Chebyshev: $(\omega_{pm})$

1+\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0

Polii filtrului Chebyshev de al doilea fel sunt „inversarea” polilor filtrului Chebyshev de primul fel:

\frac{1}{s_{pm}^\pm}= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left (\frac{1}{\varepsilon}\dreapta)\dreapta)\sin(\theta_m)+

+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\ cos(\theta_m)

unde . $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$

Zerourile filtrului Chebyshev de al doilea fel sunt determinate din următoarea relație: $(\omega_{zm})$

\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0

Zerourile filtrului Chebyshev de al doilea fel sunt „inversarea” zerourilor polinoamelor Chebyshev:

1/s_{zm} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\right)

unde . $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$

Funcția de transfer

Funcția de transfer este specificată folosind polii din semiplanul stâng al planului complex, zerourile sale coincid cu zerourile modulului caracteristic de amplitudine, cu singura diferență că ordinea lor este egală cu 1.

Întârziere de grup

Răspunsul de amplitudine și întârzierea grupului sunt prezentate în grafic. Se poate observa că ondulația de amplitudine este în banda de respingere și nu în banda de trecere.

Caracteristicile fazei

Caracteristicile de fază ale filtrului Chebyshev de al doilea tip - răspunsul fază-frecvență și întârzierea de fază - sunt prezentate în figură. Răspunsul de fază arată distribuția de frecvență a decalajului de fază a semnalului de ieșire în raport cu intrarea. Întârzierea de fază este definită ca coeficientul împărțirii răspunsului de fază la frecvență și caracterizează distribuția de frecvență a decalajului de timp al semnalului de ieșire în raport cu intrarea.

Caracteristicile timpului

Caracteristicile temporale ale filtrului Chebyshev de al doilea fel - funcția tranzitorie de impuls și funcția tranzitorie - sunt prezentate în figură. Funcția tranzitorie de impuls este răspunsul filtrului la semnalul de intrare sub forma funcției delta Dirac, iar funcția tranzitorie este răspunsul la acțiunea de intrare sub forma funcției unității Heaviside .

Filtre digitale Chebyshev

Filtrele Chebyshev sunt adesea implementate în formă digitală. Pentru a trece de la un filtru analogic la unul digital, este necesar să se efectueze o transformare biliniară pe fiecare treaptă de filtru . Întregul filtru este obținut prin conectarea cascadelor în serie. Un exemplu simplu de filtru trece-jos Chebyshev de primul tip de ordin uniform :

Transformarea Z a fiecărei cascade:

S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}

În domeniul timpului, transformarea se scrie astfel:

y[n]=\alpha_0 \cdot x[0] + \alpha_1 \cdot x[-1] + \alpha_2 \cdot x[-2] - \beta_1 \cdot y[-1] - \beta_2 \cdot y[ -2]

Coeficienții și se calculează din coeficienții și : $\alpha_i$ $\beta _{i}$ $a_{i}$ $b_{i}$

K = \mathop{\mathrm{tg}}\left( \pi \frac{\mbox{Frecvență}}{\mbox{SampleRate}}\right)

\mbox{temp}_i =\cos\frac{(2i+1)\pi}{n}

b_i = \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2\gamma-\mbox{temp}_i ^2}

a_i = K \cdot b_i \cdot \mathop{\mathrm{sh}}\,\gamma \cdot 2\,\mbox{temp}_i

\alpha_0 = K \cdot K

\alpha_1 = 2 \cdot K^2

\alpha_2 = K \cdot K

\beta_0^\prime = (a_i + K^2 + b_i)

\beta_1^\prime = 2 \cdot (b_i - K^2)

\beta_2^\prime = (a_i - K^2 - b_i)

\beta_1 = \beta_1^\prime / \beta_0^\prime

\beta_2 = \beta_2^\prime / \beta_0^\prime

Pentru a obține un filtru Chebyshev de ordin superior, este necesar să conectați mai multe etape în serie.

Comparație cu alte filtre liniare

Mai jos sunt grafice ale răspunsului în frecvență al filtrului Chebyshev din genurile I și II în comparație cu alte filtre cu același număr de coeficienți:

Graficele arată că caracteristicile de amplitudine ale filtrelor Chebyshev au o pantă mai abruptă decât filtrele Butterworth , dar nu la fel de abruptă ca filtrul eliptic .

Vezi și

Comentarii

↑ Spre deosebire de pronunția obișnuită a vechiului nume de familie nobiliar al omului de știință - Cebyshev [1] [2] [3] - cu accent pe prima silabă ( Chébyshev ), datorită tendinței caracteristice secolului XX de a separa numele de familie în -ov / -ev din adjectivele posesive originale [2 ] ._ _ _ _ _ _ _ _ fixează ortografia și pronunția lui [7][6][5][4]Cebyshev .

Note

↑ Cebyshev Pafnuty Lvovich / B.V. Gnedenko // Chagan - Aix-les-Bains. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1978. - ( Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / redactor-șef A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 29). . - În titlul articolului: " Cebyshev (pronunțat Cebyshev ) Pafnuty Lvovich ..."
↑ 1 2 Unbegaun, B. O. Prenume rusești / trad. din engleza. L. V. Kurkina , V. P. Neroznak , E. R. Squires ; ed. N. N. Popov . - M .: Progres, 1989. - S. 349. - ISBN 5-01-001045-3 .
↑ Kalitkin, N. N. Metode numerice: manual. — Ed. a II-a, corectată. - Sankt Petersburg. : BHV-Petersburg, 2011. - P. 33 [ Sistemul de funcții Cebyshev ], 465 [ Chebyshev set of steps ], 552 [ Cebyshev criterion ], 574 [ Cebyshev polinoame ] . — (Literatura educațională pentru universități). - ISBN 978-5-9775-0500-0 .
↑ Cebyshev [ Polinoame Cebyshev , formula Cebyshev ]; Cebyshevsky // Dicționar de ortografie rusă / Academia Rusă de Științe. Institutul Limbii Ruse . V. V. Vinogradova ; ed. V. V. Lopatina , O. E. Ivanova . - Ed. a 4-a, rev. si suplimentare - M . : AST-PRESS KNIGA, 2013. - S. 819. - (Dicționare fundamentale ale limbii ruse). - ISBN 978-5-462-01272-3 .
↑ Ageenko, F. L. Cebyshev Pafnyuty // Nume proprii în rusă: un dicționar de stres. - M . : Editura NTs ENAS, 2001. - S. 349. - ISBN 5-93196-107-0 .
^ Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - M . : Editura Academiei de Științe a URSS, 1982. - T. 22, nr. 1. - P. 142 [ Centrul de set Cebyshev ].
↑ Culegere matematică. - M .: Nauka, 2004. - T. 195. - P. 29 [ alternanta Cebyshev ] , 56-57 [ metoda Cebyshev ].

Bibliografie

Krivitsky, B. Kh. Carte de referință despre fundamentele teoretice ale electronicii radio. - M .: Energie, 1977.
Lucas, V. A. Teoria controlului automat. — M. : Nedra, 1990.
Daniels, Richard W. Metode de aproximare pentru proiectarea filtrului electronic. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Higgins, Richard J. Procesarea semnalului digital în VLSI. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
Haykin, S. Teoria filtrului adaptiv. — Ed. a IV-a. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Honig, Michael L.; Messerschmitt, David G. Filtre adaptive - Structuri, algoritmi și aplicații. - Hingham, MA : Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
Markel, JD; Gray Jr., A.H. Linear Prediction of Speech. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
Oppenheim, A.V.; Schafer, RW Procesare digitală a semnalului. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. Introducere în procesarea semnalului digital. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .
Rabiner, L.R .; Schafer, R. W. Procesarea digitală a semnalelor vocale. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Rabiner, L.R.; Gold, B. Teoria și aplicarea procesării semnalelor digitale. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
Rorabaugh, Britton C. Metode de aproximare pentru proiectarea filtrului electronic. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
Smith, Steven W. Ghidul omului de știință și al inginerului pentru procesarea semnalului digital . — Ed. a II-a. - San Diego : California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Widrow, B.; Stearns, procesare adaptivă a semnalului SD. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .

Link -uri

Cum se calculează filtre recursive? (link indisponibil) . NGU . Consultat la 14 februarie 2014. Arhivat din original la 30 noiembrie 2013. (nedefinit)
Clasificarea filtrelor . Aparate de măsurare analogice. Preluat: 14 februarie 2014. (nedefinit)
Prelegere despre filtrarea digitală . DSP.sut.ru. Data accesului: 14 februarie 2014. Arhivat din original la 12 martie 2007. (nedefinit)
Calculul filtrului Chebyshev de primul fel cu exemple . Dsplib.ru. Preluat: 14 februarie 2014. (nedefinit)
Calculul filtrului Chebyshev de al doilea fel cu exemple . Dsplib.ru. Preluat: 14 februarie 2014. (nedefinit)
Filtre trece-jos . Gaw.ru (Piata de microelectronice). Preluat: 14 februarie 2014. (nedefinit)
Filtre Chebyshev . Texas Instruments. Data accesului: 14 februarie 2014. Arhivat din original pe 5 august 2012. (nedefinit) (Engleză)