Fractal Lyapunov

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 mai 2022; verificările necesită 2 modificări .

Fractalii Lyapunov (cunoscuți și ca fractali Markus-Lyapunov ) sunt fractali bifurcați generați de o extensie a hărții logistice , în care rata de creștere a populației r își schimbă periodic valoarea de la A la B și invers.

Fractalii Lyapunov sunt construiți prin maparea zonelor de comportament stabil și haotic, măsurate prin exponentul Lyapunov ( en ) , în planul a - b pentru o anumită secvență periodică a lui a și b . În figuri, galbenul corespunde stabilității ( ), iar albastrul haosului ( ). $\lambda$ $\lambda < 0$ $\lambda>0$

Proprietăți

Fractalii Lyapunov sunt de obicei construiți pentru valorile A și B în intervalul . Pentru valori mai mari, intervalul nu mai este stabil, iar succesiunea tinde cel mai probabil spre infinit, deși pentru unii parametri există încă cicluri convergente de valori finite. Pentru toate secvențele iterative, diagonala a = b este aceeași ca pentru funcția logistică standard cu un parametru. $[0,4]$ $[0,1]$

Secvența începe de obicei la 0,5, care este punctul critic al funcției iterative. Celelalte puncte critice (de obicei cu valori complexe ) ale funcției iterative ale unui ciclu complet sunt cele care trec prin valoarea 0,5 în primul ciclu. Un ciclu convergent trebuie să conțină cel puțin un punct critic, astfel încât toate ciclurile convergente pot fi obținute prin simpla deplasare a secvenței iterative, menținând în același timp valoarea inițială de 0,5. În practică, mutarea acestei secvențe are ca rezultat modificări ale fractalului , deoarece unele ramuri se suprapun cu altele. De exemplu, rețineți că fractalul Lyapunov pentru secvența de iterație AB nu este perfect simetric față de a și b .

Algoritm pentru generarea fractalilor Lyapunov

Selectați un șir dintre caracterele A și B de orice lungime netrivială (de exemplu, AABAB).
Construiți o secvență de caractere consecutive dintr-un șir, repetate de numărul necesar de ori. $S$
Selectați punctul . $(a,b)\in [0,4]\times [0,4]$
Definiți o funcție . $r_{n}={\begin{cases}a,&S_{n}=A\\b,&S_{n}=B\end{cases))$
Acceptați și repetați . $x_{0}=0,5$ $x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})$
Calculați exponentul Lyapunov (engleză) : $\lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n} (1-2x_{n})|$
Colorează punctul în funcție de valoarea primită . $(a,b)$ $\lambda$
Repetați pașii 3-7 pentru fiecare punct din planul imaginii.

În practică, se aproximează prin alegerea unui . Acest algoritm este potrivit pentru limbi precum Mathematica , dar nu pentru limbi de nivel scăzut . $\lambda$ $N$

Mai multe dimensiuni

Fractalii Lyapunov pot fi calculați în mai mult de două dimensiuni. O secvență iterativă a unui fractal n-dimensional este construită dintr-un alfabet cu n litere. De exemplu, secvența „ABBBCA” a unui fractal 3D, care poate fi redat fie ca obiect 3D, fie ca animație, fiecare cadru a cărui „slice” în direcția C, ca în exemplul dat în articol .

Link -uri

Fractali și haos de la EFG - exponenți Lyapunov
Elert, Glenn Lyapunov Space . Hipertextul haosului . Consultat la 23 februarie 2017. Arhivat din original la 30 martie 2012. (nedefinit) (Engleză)

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski Triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului