Functie utilitara

O funcție de utilitate este o funcție care poate fi utilizată pentru a reprezenta preferințele consumatorilor pe un set de alternative valide [1] . Valorile numerice ale funcției ajută la ordonarea alternativelor în funcție de gradul de preferință pentru consumator. O valoare mai mare corespunde unei preferințe mai mari. În teoria modernă a utilității ordinale , numerele în sine nu contează - doar relațiile mai mari decât, mai mici decât și egale cu sunt importante.

Nu orice relație de preferințe poate fi reprezentată printr-o funcție de utilitate. Cu toate acestea, pentru preferințele utilizate în modelele economice, o astfel de funcție există. Existența unei funcții face posibilă utilizarea analizei matematice în rezolvarea problemelor de optimizare din economie. De exemplu, la rezolvarea problemei consumatorului [2] . Fără a utiliza funcția de utilitate, rezolvarea unei astfel de probleme devine dificilă.

Definiție formală

Să fie dat un set de alternative admisibile , pe care este definită relaţia de preferinţă . Atunci o funcție cu valoare reală se numește funcție de utilitate dacă este îndeplinită condiția [3] : $X$ $\{\succeq \)$ $u:X\to \mathbb {R}$

$x\succsim y\iff u(x)\geq u(y),\quad x,y\in X$

O valoare mai mare a unei funcții de utilitate înseamnă o mai mare dezirabilitate a alternativei în ceea ce privește preferința pe care o reprezintă această funcție. Din punct de vedere matematic, o funcție de utilitate este o modalitate de clasificare scalară .

Cardinalism și ordinalism

Microeconomia modernă se bazează pe o abordare ordinalistă a modelării comportamentului și alegerii consumatorilor. În conformitate cu aceasta, valorile numerice ale funcției de utilitate nu joacă un rol, doar ordinea „mai mare-mai puțin” este importantă. Dacă valoarea funcției de utilitate pentru una dintre alternative este mai mare, atunci această alternativă este mai preferabilă pentru consumator. În acest caz, diferența de valori sau coeficientul din împărțirea lor nu conține nicio informație [4] . Opusul este abordarea cardinală , când se utilizează valori numerice care, dimpotrivă, poartă informații despre utilitate. Abordarea cardinală presupune implicit existența unui standard de utilitate, adică a unei unități universale cu care se pot face comparații. Este această înțelegere a utilității care a fost folosită de creatorul filozofiei utilitarismului, Jeremy Bentham [5] .

Economiștii moderni pornesc de la faptul că conceptul de utilitate este subiectiv, deci compararea lor directă este imposibilă. Prin urmare, conceptul de eficiență Pareto este utilizat pentru a evalua bunăstarea comună a consumatorilor . O excepție o reprezintă preferințele cvasiliniare . Ei presupun existența unei mărfuri numărabile ( numerare engleză ), care este un analog al banilor. Apoi, însumarea și alte operațiuni de utilitate devin posibile.

Condiții pentru existența unei funcții de utilitate

Pentru ca preferințele să fie reprezentate ca o funcție de utilitate, este necesar ca preferința în sine să fie rațională , adică trebuie să îndeplinească axiomele completității și tranzitivității.

Condițiile suficiente depind de setul de alternative admisibile în sine și de proprietățile preferințelor. Dacă mulțimea este finită sau numărabilă , iar relația de preferințe este rațională, atunci există o funcție de utilitate care reprezintă acele preferințe. $X$ $X$

Dacă setul este de nenumărat , atunci trebuie să solicităm suplimentar continuitatea preferințelor . În acest caz, teorema lui Debre garantează existența unei funcții de utilitate. În acest caz, funcția de utilitate este continuă. Continuitatea este o condiție necesară pentru existența unei funcții de utilitate reprezentând o preferință rațională, dar nu este suficientă. Deci, de exemplu, o funcție de utilitate (partea întreagă a unui număr) reprezintă preferințe care nu sunt continue. Funcția în sine este, de asemenea, discontinuă. $X$ $u(x)=\lbrack x\rbrack ,\,x\in \mathbb {R}$

Adesea, preferințelor se impun condiții suplimentare pentru a obține funcții cu anumite proprietăți. Astfel, se poate cere monotonitate , nesaturare locală și convexitate . Aceste proprietăți de preferință sunt reflectate în proprietățile funcției de utilitate. De exemplu, monotonitatea preferințelor duce la monotonitatea unei funcții, în timp ce convexitatea preferințelor face ca funcția să fie cvasi- concavă .

Teorema lui Debre

Pentru orice preferințe raționale și continue, există o funcție de utilitate continuă care le reprezintă [2] . $X\subset R^{L}$

Proprietățile funcției utilitare

Să fie dată o funcție strict crescătoare și să fie o funcție de utilitate. Atunci compoziția caracteristicilor este , de asemenea, o funcție de utilitate reprezentând aceeași relație de preferințe . Rețineți că nu trebuie să fie continuu [6] . $g:\mathbb {R} \la \mathbb {R}$ $u:X\to \mathbb {R}$ $g\circ u(x)$ $\succsim$ $g$

Dacă mulțimea este convexă , atunci funcția de utilitate va fi cvasi- concavă . $X$

Dacă preferințele îndeplinesc proprietatea monotonității (monotonitate strictă), atunci funcția va fi monotonă (strict monotonă).

Proprietatea de descreştere a utilităţii marginale este o consecinţă a concavităţii funcţiei de utilitate. Dacă o funcție este de două ori diferențiabilă, atunci proprietatea înseamnă că derivata a doua parțială a unei astfel de funcții este negativă.

$MU={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2)}}<0$

O curbă de indiferență este o linie (suprafață, hipersuprafață) a nivelului funcției de utilitate.

$u(x)=const$

Cele mai importante exemple de funcții utilitare

Elasticitatea constantă a substituției

Una dintre cele mai importante funcții utilitare este funcția CES . Abrevierea CES reprezintă elasticitatea constantă a substituției alternativelor . Funcția are următoarea formă pentru cazul bidimensional.

${\displaystyle u(x,y)={\big (}\alpha x^{\frac {1}{\rho }}+\beta y^{\frac {1}{\rho }}{\big ) }^{\rho ))$

Cu valori diferite ale parametrului , puteți obține cazuri speciale ale funcției CES. $\rho$

Dacă , atunci funcția este liniară și descrie înlocuitori perfecti pentru . În acest caz, rata marginală de substituție este egală cu raportul parametrilor . $\rho =1$ $MRS_{xy}={\frac {\alpha }{\beta }}$

$u(x,y)=\alpha x+\beta y$

Dacă , atunci se obține funcția Leontief, care descrie complementele perfecte . Rata marginală de substituție în acest caz este infinită. $\rho \to -\infty$

$u(x,y)=\min\{\alpha x,\,\beta y\)$

Când , funcția Cobb-Douglas se obține dacă impunem o condiție suplimentară . $\rho \to 0$ $\alpha+\beta = 1$

$u(x,y)=x^{\alpha }y^{\beta )$

Atitudine de risc

Exemple importante de funcții de utilitate sunt funcțiile cu un indicator constant, absolut și relativ, al atitudinii față de risc. O funcție cu un indicator constant de atitudine la risc absolut ( CARA - constant absolute risk aversion ):

u(x)={\frac {1-e^{-\rho x}}{\rho }}

Măsura absolută Arrow-Pratt pentru o astfel de funcție este: . $\rho$

Funcție cu un indicator constant de atitudine relativă la risc ( CRRA - constant relative risk aversion ):

u(x)={\frac {x^{1-\rho }-1}{1-\rho }}

Măsura Arrow-Pratt relativă pentru o astfel de funcție este: . $1/\rho$

Funcția de utilitate Stone-Geary

Funcția de utilitate Stone-Giri este definită după cum urmează.

u(x_{1},x_{2},...x_{L})=\prod _{i=1}^{L}(x_{i}-\gamma _{i})^ {\beta _{i))

Pentru , funcția de utilitate Stone-Gery se transformă într-o funcție generală Cobb-Douglas. Funcția de utilitate Stone-Giri se află în centrul sistemului de cost liniar . $\gamma _{i}=0$

Vezi și

Note

↑ Busygin și colab., 2008 , p. 39.
↑ 1 2 Jaley, Reni, 2011 , p. 27.
↑ Jaley, Reni, 2011 , p. 26.
↑ Varian, 1997 , p. 74-75.
↑ Jaley, Reni, 2011 , p. cincisprezece.
↑ Varian, 1997 , p. 74.

Literatură

Busygin V.P., Zhelobodko E.V., Tsyplakov A.A. Microeconomie: al treilea nivel: în 2 volume . - Novosibirsk: Editura Filialei Siberiei a Academiei Ruse de Științe, 2008. - T. 1. - 525 p. - ISBN 978-5-7692-0976-5 . (Rusă)
Varian Hal R. Microeconomie. Nivel intermediar. Abordare modernă. Manual pentru universități . - UNITI, 1997. - 768 p. — ISBN 5-85173-072-2 . (Rusă)
Jeffrey A. Jaley, Philip J. Renee. Microeconomie: un nivel avansat . — Școala Superioară de Economie a Universității Naționale de Cercetare, 2011. — 384 p. - ISBN 978-5-7598-0362-1 . (Rusă)
Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Teoria microeconomică (engleză) . - Oxford University Press, 1995. - 1008 p. — ISBN 978-0195073409 .