Derivată parțială

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 decembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

În analiza matematică , o derivată parțială (prima derivată) este una dintre generalizările conceptului de derivată în cazul unei funcții a mai multor variabile. Derivata parțială este limita raportului dintre incrementul unei funcții în raport cu variabila selectată și incrementul acestei variabile, deoarece acest increment tinde spre zero.

Derivata parțială a unei funcții în raport cu o variabilă este de obicei notă cu , sau . Dacă variabilele sunt numerotate, de exemplu , sunt folosite și simbolurile și . $f$ $X$ ${\tfrac {\partial f}{\partial x)}$ $f_{x}$ $D_{x}f$ $x_1,\dots,x_n$ $f_{i}$ $D_{i}f$

În formă explicită, derivata parțială a unei funcții într-un punct este definită după cum urmează: $f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ $(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$

{\frac {\partial f}{\partial x_{k))}(a_{1},\cdots ,a_{n})=\lim _({\Delta x\to 0)){\frac {f (a_{1},\ldots ,a_{k}+\Delta x,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{k},\ldots ,a_{n}) }{\Delta x}}.

Operator \ Funcție	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Diferenţial	unu: $\operatorname {d} \!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x$	2: $\operatorname {d} _{x}\!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x$ 3: $\operatorname {d} \!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v$
Derivată parțială (prima derivată)	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!X}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\ operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
Derivată totală (derivată a doua)	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f '_{X}$	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f '_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname { d} \!v}{\operatorname {d} \!x));(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}= 0)$

Denumire

Trebuie remarcat faptul că notația trebuie înțeleasă ca un simbol integral , spre deosebire de derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile , care poate fi reprezentată ca raportul dintre diferențialele funcției și argumentul. Totuși, derivata parțială poate fi reprezentată și ca un raport al diferențialelor, dar în acest caz este necesar să se indice cu ce variabilă este incrementată funcția: , unde este diferența parțială a funcției față de variabila . Adesea neînțelegerea faptului integrității personajului este cauza erorilor și a neînțelegerilor, precum reducerea expresiei [1] . $\frac{\partial f}{\partial x}$ ${\frac {df}{dx))$ ${\frac {\partial f}{\partial x}}\equiv {\frac {d_{x}f}{dx}}$ $d_{x}f$ $f$ $X$ $\frac{\partial f}{\partial x}$ $\partial x$ ${\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}$

Interpretare geometrică

Geometric, o derivată parțială dă o derivată de-a lungul direcției uneia dintre axele de coordonate. Derivata parțială a unei funcții într-un punct față de coordonată este egală cu derivata față de direcția , unde unitatea este pe locul -. $f$ ${\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})$ $x_k$ ${\frac {\partial f}{\partial {\vec {e))))$ ${\vec {e}}={\vec {e}}{\,}^{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ $k$

Exemple

Volumul V al conului depinde de înălțimea h și raza r , conform formulei

V={\frac {\pi r^{2}h}{3)),

Derivată parțială a volumului V față de raza r

{\frac {\partial V}{\partial r))={\frac {2\pi rh}{3)),

care arată viteza cu care se modifică volumul unui con dacă raza lui se modifică și înălțimea lui rămâne neschimbată. De exemplu, dacă luăm în considerare unitățile de volum și măsurătorile de lungime , atunci derivata de mai sus va avea dimensiunea vitezei de măsurare a volumului , i.e. o modificare a valorii razei cu 1 va corespunde unei modificări a volumului conului cu . $m^{3}$ $m$ $m^{3}/m$ $m$ ${\frac {2\pi rh}{3}}$ $m^{3}$

Derivată parțială față de h

{\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},

care arată viteza cu care se modifică volumul unui con dacă înălțimea acestuia se modifică și raza lui rămâne neschimbată.

Derivată totală a lui V în raport cu r și h

{\frac {\operatorname dV}{\operatorname dr}}=\overbrace {{\frac {2\pi rh}{3}}}^{{\frac {\partial V}{\partial r}}}+ \overbrace {{\frac {\pi r^{2}}{3}}}^{{\frac {\partial V}{\partial h}}}{\frac {\operatorname dh}{\operatorname dr} }

și

{\frac {\operatorname dV}{\operatorname dh}}=\overbrace {{\frac {\pi r^{2}}{3}}}^{{\frac {\partial V}{\partial h} ))+\overbrace {{\frac {2\pi rh}{3))}^({\frac {\partial V}{\partial r))}{\frac {\operatorname dr}{\operatorname dh} }

Diferența dintre derivatele totale și parțiale este eliminarea dependențelor indirecte dintre variabilele din acestea din urmă.

Dacă (din anumite motive) proporțiile conului rămân aceleași, atunci înălțimea și raza sunt într-un raport fix k ,

k={\frac {h}{r}}={\frac {\operatorname dh}{\operatorname dr}}.

Aceasta dă derivata totală în raport cu r :

{\frac {\operatorname dV}{\operatorname dr))={\frac {2\pi rh}{3))+k{\frac {\pi r^{2)){3))

Ecuațiile care implică derivate parțiale sunt numite ecuații cu diferențe parțiale și sunt cunoscute pe scară largă în fizică , inginerie și alte științe și discipline aplicate.

Vezi și

Derivată parțială mixtă

Note

↑ Fikhtengolts, „Curs de calcul diferențial și integral”

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)