Element (teoria categoriilor)

În teoria categoriilor , noțiunea de element (sau punct ) generalizează noțiunea obișnuită de element dintr-o mulțime la un obiect dintr-o categorie arbitrară. Uneori, vă permite să reformulați proprietățile morfismelor (de exemplu, proprietatea monomorfismului ), care sunt de obicei descrise folosind proprietăți universale în termeni mai familiari ai acțiunii mapării asupra elementelor. Această abordare a teoriei categoriilor (și mai ales utilizarea ei în lema lui Yoneda ) a fost propusă de Grothendieck .

Definiție

Fie C o categorie , A și T două obiecte C. Atunci punctele obiectului A cu valori în T sunt săgeți . Asocierea unui obiect cu mulțimea punctelor sale cu valori în T este un functor din „variabila” T în categoria mulțimilor, care se numește functorul punctual al obiectului A ; conform lemei lui Yoneda , functorul punctual definește A ca obiect al lui C până la izomorfism. $p\colon T\la A$

Proprietăți ale morfismelor

Multe proprietăți ale morfismelor pot fi descrise în termeni de puncte. De exemplu, un morfism f se numește monomorfism dacă

Pentru orice morfisme g , h astfel încât , este adevărat .

f\circ g=f\circ h

g=h

Fie aceste morfisme să aibă forma , în categoria C . Atunci g și h sunt puncte în B cu valori în A , deci definiția unui monomorfism este echivalentă cu: $f\colon B\la C$ $g,h\colon A\la B$

f este un monomorfism dacă acţionează injectiv asupra punctelor.

Astfel de reformulări trebuie făcute cu grijă. f este un epimorfism dacă proprietatea duală este valabilă:

Pentru orice morfisme g , h astfel încât , este adevărat .

g\circ f=h\circ f

g=h

Fie că aceste morfisme au forma , . În teoria mulțimilor, „epimorfism” ar însemna următoarele: $f\colon A\la B$ $g,h\colon B\la C$

Fiecare punct B este imaginea unui punct A sub acțiunea lui f .

Această afirmație nu este deloc o traducere a primei în limbajul punctelor și nu sunt echivalente în cazul general. Totuși, de exemplu, în cazul categoriei abeliene , „monomorfismele” și „epimorfismele” trebuie să îndeplinească condiții atât de puternice încât să poată fi interpretate în termeni de puncte.

Unele construcții categorice, cum ar fi produsul , au și reformulări. Reamintim că dacă A , B sunt două obiecte C , produsul lor A × B este un obiect astfel încât

există morfisme , iar pentru orice T și morfisme există un morfism unic astfel încât și .

p\colon A\time B\la A,

q\colon A\ori B\la B

f\colon T\la A,g\colon T\la B

h\colon T\la A\ori B

f=p\circ h

g=q\circ h

În această definiție, f și g sunt punctele A și B cu valori în T , în timp ce h este punctul A × B cu valori în T. Definiția poate fi reformulată după cum urmează:

A × B este un obiect C cu proiecții și astfel încât p și q definesc o bijecție între punctele A × B și perechile de puncte A și B .

p\colon A\time B\la A

q\colon A\ori B\la B

Relația cu teoria mulțimilor

În cazul în care C este o categorie de mulțimi , există o „mulțime într-un punct” ( obiect terminal ) - un singleton {1}, iar elementele obișnuite ale mulțimii S sunt aceleași cu elementele lui S cu valori în {1}. Putem lua în considerare puncte cu valori în {1,2} — perechi de elemente ale lui S sau elemente ale lui S × S. În acest caz, S este complet determinat de punctele sale {1}. Cu toate acestea, acest lucru este departe de a fi întotdeauna adevărat (în acest caz, acest lucru se datorează faptului că orice set este un coprodus al lui {1}).

Note

Barr, Michael; Wells, Charles. Topoze, triple și teorii (nedefinite) . — Springer, 1985. Arhivat la 21 august 2010 la Wayback Machine