Algebră peste câmp

O algebră peste un câmp este un spațiu vectorial echipat cu un produs biliniar . Aceasta înseamnă că o algebră peste un câmp este atât un spațiu vectorial, cât și un inel , iar aceste structuri sunt compatibile. O generalizare a acestui concept este o algebră peste un inel , care, în general, nu este un spațiu vectorial, ci un modul peste un inel.

Se spune că o algebră este asociativă dacă operația de înmulțire din ea este asociativă ; în consecință, o algebră cu o unitate este o algebră în care există un element care este neutru în ceea ce privește înmulțirea. În unele manuale, cuvântul „algebră” înseamnă „algebră asociativă”, dar și algebrele non-asociative au o oarecare importanță.

Definiție

Fie un spațiu vectorial peste un câmp echipat cu o operație numită înmulțire. Atunci este o algebră peste dacă următoarele proprietăți sunt valabile pentru oricare: $A$ $K$ $A\ori A\la A$ $A$ $K$ $x,y,z\în A,\;a,b\în K$

$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$
$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$(ax)\cdot (prin)=(ab)(x\cdot y)$ .

Aceste trei proprietăți pot fi exprimate într-un singur cuvânt spunând că operația de înmulțire este biliniară . În cazul algebrelor unitare, este adesea dată următoarea definiție echivalentă:

O algebră cu unitate peste un câmp este un inel cu unitate echipat cu un homomorfism de inele cu unitate astfel încât să aparțină centrului inelului (adică mulțimea de elemente care comută prin înmulțire cu toate celelalte elemente). După aceea, putem presupune că este un spațiu vectorial peste cu următoarea operație de înmulțire cu un scalar : .

K

A

f:K\la A

f(K)

A

A

K

\alpha \în K

\alpha x=f(\alpha )\cdot x

Definiții înrudite

Un homomorfism al -algebrelor este o mapare -liniară astfel încât pentru oricare dintre domenii. $K$ $K$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $a,b$
O subalgebră a unei algebre peste un câmp este un subspațiu liniar astfel încât produsul a oricăror două elemente din acest subspațiu îi aparține din nou. Cu alte cuvinte, o subalgebră a unei algebre liniare peste un câmp este submulțimea sa dacă este un subinel al unui inel și un subspațiu al unui spațiu liniar [1] . $K$ $U$ $R$ $P$ $R$ $R$
- Un element al unei algebre se numește algebric dacă este conținut într-o subalgebră cu dimensiuni finite.
- O algebră se numește algebrică dacă toate elementele ei sunt algebrice. [2]

Idealul stâng al unei -algebre este un subspațiu liniar care este închis sub înmulțirea stângă cu un element arbitrar al inelului. În consecință, idealul corect este închis sub înmulțirea corectă; un ideal cu două laturi este un ideal care este atât stânga cât și dreapta. Singura diferență între această definiție și definiția unui ideal al unui inel este cerința ca acesta să fie închis sub înmulțire cu elemente ale câmpului; în cazul algebrelor cu identitate, această cerință este îndeplinită automat. $K$
O algebră de diviziune este o algebră peste un câmp astfel încât pentru oricare dintre elementele sale , ecuațiile și sunt rezolvabile [3] . În special, o algebră de diviziune asociativă care are o unitate este un câmp oblic . $a\neq 0$ $b$ $ax=b$ $ya=b$
Centrul algebrei este mulțimea de elemente astfel încât pentru orice element . $A$ $a\în A$ $xa=ax$ $x\în A$

Exemple

Algebre asociative

Numerele complexe sunt în mod natural o algebră bidimensională peste reale .
Cuaternionii sunt o algebră cu patru dimensiuni peste numere reale.
Cele două exemple anterioare sunt un câmp și , respectiv, un câmp oblic , iar aceasta nu este o coincidență: orice algebră cu dimensiuni finite peste un câmp care nu are divizori zero este o algebră de diviziune. Într-adevăr, înmulțirea din stânga este o transformare liniară a acestei algebre ca spațiu vectorial, această transformare are un nucleu zero (din moment ce nu este un divizor zero), prin urmare, este surjectivă; în special, există o imagine inversă a unui element arbitrar , adică un element astfel încât = . A doua condiție este dovedită în mod similar. $X$ $X$ $b$ $y$ $X y$ $b$
Algebră polinomială comutativă (și infinit-dimensională) . $K[x]$
Algebre ale funcțiilor , cum ar fi -algebra funcțiilor continue cu valori reale definite pe intervalul (0, 1) sau -algebra funcțiilor holomorfe definite pe o submulțime deschisă fixă a planului complex. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Algebre ale operatorilor liniari pe un spațiu Hilbert .

Algebre non-asociative

Algebre Cayley sau octave .
Algebra generală Lie .
Iordan Algebre .
Algebre alternative .

Coeficienți structurali

Înmulțirea în algebră pe un câmp este definită în mod unic prin produsele vectorilor de bază. Astfel, pentru a defini o algebră peste un câmp , este suficient să specificați dimensiunea și coeficienții structurali ai acesteia, care sunt elemente ale câmpului. Acești coeficienți sunt definiți după cum urmează: $K$ $n$ $n^3$ $c_{{i,j,k}}$

{\mathbf {e}}_{{i}}{\mathbf {e}}_{{j}}=\sum _{{k=1}}^{n}c_{{i,j,k} }{\mathbf {e}}_{{k}}

unde este o bază . Seturi diferite de coeficienți de structură pot corespunde algebrelor izomorfe. $(e_{1},e_{2},\ldots e_{n})$ $A$

Dacă este doar un inel comutativ și nu un câmp, această descriere este posibilă numai atunci când algebra este un modul liber . $K$ $A$

Vezi și

Note

↑ Skornyakov L. A. Elemente de algebră. - M., Nauka, 1986. - p. 190
↑ Jacobson N. Structura inelelor . - M. : IL, 1961. - 392 p.
↑ Kuzmin E. N. Algebra cu diviziune Copie de arhivă din 14 iulie 2015 la Wayback Machine

Literatură

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Capitolul III. Inele și module // Algebră generală / Ed. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 p. — (Bibliotecă matematică de referință). — 30.000 de exemplare. — ISBN 5-02-014426-6 .