Orbită de transfer bi-eliptică

O orbită de transfer bi-eliptică este o manevră în tehnologia astronautică și aerospațială în care o navă spațială se deplasează de pe o orbită pe alta. În unele cazuri, o tranziție bi-eliptică necesită o viteză caracteristică delta-v mai mică decât un zbor cu elipsă Hohmann .

O orbită bi-eliptică este formată din două jumătăți de orbite eliptice . În primul rând, navei spațiale de pe orbita inițială primește o anumită delta-v pentru a se muta în prima parte a orbitei bi-eliptice cu apocentrul la un punct la o distanță de corpul central. În acest moment, vehiculului i se oferă, de asemenea, niște delta-v pentru a se deplasa către al doilea segment al unei orbite bi-eliptice cu un periapsis la o distanță egală cu raza orbitei finale dorite. În punctul pericentric, pentru a treia oară, navei spațiale i se dă niște delta-v, ca urmare, nava spațială merge pe orbita necesară [1] . $r_{b}$

Zborurile bi-eliptice necesită de obicei mai mult combustibil și timp decât cele Hohmann, dar unele traiectorii bi-eliptice necesită un delta-v total mai mic decât traiectoria Hohmann, în cazul raportului dintre semi-axele majore ale traiectoriei finale și inițiale. depășind 11,94, în funcție de semiaxa majoră a orbitei intermediare [ 2] .

Ideea unei orbite de transfer bi-eliptice a fost introdusă pentru prima dată într-o lucrare de Ari Sternfeld în 1934 [3] .

Calcule

Delta-v

Trei valori ale schimbării vitezei pot fi obținute direct din integrala energetică,

v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),

Unde

v

este viteza vehiculului pe orbită,

\mu=GM

este parametrul gravitațional al corpului care atrage,

r

este distanța de la centrul de atragere la corpul aflat pe orbită,

A

este semi- axa majoră a orbitei corpului.

În problema luată în considerare

r_{1}

este raza orbitei circulare inițiale,

r_{2}

este raza orbitei circulare finale,

r_{b}

este raza apocentrului comun a două segmente eliptice ale orbitei de transfer, parametrul de manevră liberă,

a_{1}

și sunt egale cu semiaxele majore ale segmentelor eliptice ale orbitei de transfer, sunt date de egalitățile

a_{2}

a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2)),

a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}.

Când porniți de la o orbită circulară inițială de rază (cerc albastru închis în figură), adăugarea vitezei în direcția de deplasare (vector la poziția 1 din figură) duce nava spațială la primul segment eliptic al orbitei de transfer (linia turcoaz) . Delta-v necesar este $r_{1}$

\Delta v_{1}={\sqrt ({\frac {2\mu }r_{1))}-{\frac {\mu }a_{1)))}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1)))).

Când apocentrul primului segment eliptic este atins la o distanță de , navei spațiale primește o viteză suplimentară a doua oară în direcția de mișcare (vector la poziția 2 din figură), ca urmare, în noua orbită eliptică ( curbă portocalie), pericentrul se află în punctul de contact al orbitei circulare finale. Valoarea necesară pentru tranziția către această parte a orbitei de transfer este egală cu $r_{b}$

\Delta v_{2}={\sqrt ({\frac {2\mu }r_{b))}-{\frac {\mu }{a_{2)))}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.

În cele din urmă, când este atinsă orbita circulară finală de rază, navei spațiale primește un vector de viteză antiorbitală (vector la poziția 3 din figură) pentru a se muta pe orbita circulară finală (cerc roșu). Adăugarea finală a vitezei este $r_{2}$

\Delta v_{3}={\sqrt ({\frac {2\mu }{r_{2)}}-{\frac {\mu }{a_{2)))}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2)))).

Dacă , atunci manevra este transformată într-o traiectorie Hohmann (în acest caz este egală cu zero). Prin urmare, orbita bi-eliptică reprezintă un tip mai general de traiectorie decât cea Hohmann. $r_{b}=r_{2)$ $\Delta v_{3)$

Economiile maxime în ceea ce privește viteza incrementală pot fi calculate presupunând , atunci valoarea totală devine . $r_{b}=\infty$ $\Delta v$ ${\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}} }\dreapta)$

În acest caz, tranziția se numește biparabolică, deoarece ambele secțiuni ale traiectoriei nu sunt elipse, ci parabole. Timpul de zbor tinde, de asemenea, spre infinit.

Timp de zbor

Ca și în cazul unui zbor Hohmann, ambele părți ale traiectoriei utilizate într-un zbor bi-eliptic sunt exact jumătate de elipse. Aceasta înseamnă că timpul necesar pentru a depăși fiecare fază de tranziție este jumătate din perioada orbitală pentru fiecare elipsă.

Folosim ecuația pentru perioada orbitală și notația de mai sus:

T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.

Prin urmare , timpul total de călătorie este suma timpilor pentru fiecare jumătate a elipselor $t$

t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}},\quad \quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}.

Interval de timp final:

t=t_{1}+t_{2}.

Comparație cu traiectoria lui Hohmann

Delta-v

Figura arată valoarea totală necesară pentru a trece de la o orbită circulară de rază la o altă orbită circulară de rază . Valoarea este normalizată la viteza orbitală a orbitei inițiale și este prezentată în funcție de raportul dintre razele orbitei finale și inițiale ; astfel, compararea cantităților este generală, nu în funcție de și individual, ci doar de raportul lor [2] . $\Delta v$ $r_{1}$ $r_{2}$ $\Delta v$ $v_{1}$ $R\equiv r_{2}/r_{1)$ $r_{1}$ $r_{2}$

Curba neagră arată valoarea pentru traiectoria Hohmann, curbele colorate corespund traiectoriilor bi-eliptice cu diferite valori ale parametrului , definită ca distanța apocentrului orbitei bi-eliptice împărțită la raza orbitei inițiale. , și indicat lângă curbe. Inset-ul arată un prim plan al regiunii în care curbele pentru traiectoriile bieliptice intersectează curba pentru orbita Hohmann pentru prima dată. $\Delta v$ $\alpha \equiv r_{b}/r_{1)$ $r_{b}$

Se poate observa că zborul Hohmann este mai eficient atunci când raportul razelor este mai mic de 11,94. Pe de altă parte, dacă raza orbitei finale este mai mare de 15,58 ori mai mare decât raza orbitei inițiale, atunci orice tranziție bieliptică, indiferent de distanța apocentrică (trebuie să depășească totuși raza orbitei finale), necesită mai puțin de traiectoria Hohmann. În regiunea de la 11,94 la 15,58, eficiența uneia sau alteia orbite depinde de distanța apocentrică . Având în vedere acest interval, există o valoare peste care este preferată o traiectorie bi-eliptică și sub care este preferată o traiectorie Hohmann. Următorul tabel prezintă valorile pentru unele cazuri [4] . $R$ $\Delta v$ $r_{b}$ $R$ $r_{b}$ $\alpha \equiv r_{b}/r_{1)$

Minimul este astfel încât o traiectorie bieliptică necesită mai puțin . [5]

\alpha \equiv r_{b}/r_{1)

\Delta v

Raportul dintre razele orbitelor, $r_{2}/r_{1)$	Minim $\alpha \equiv r_{b}/r_{1)$	cometariu
0 - 11,94	-	Zborul Gomanov este mai bun
11.94	$\infty$	Traiectorie biparabolica
12	815,81
13	48,90
paisprezece	26.10
cincisprezece	18.19
15.58	15.58
peste 15,58	Mai mult $r_{2}/r_{1)$	Orice traiectorie bi-eliptică este mai bună

Timp de zbor

Timp lung de zbor pe o orbită bi-eliptică

t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\ mu }}}

este un dezavantaj semnificativ al unei astfel de manevre orbitale. În cazul unei traiectorii biparabolice, timpul de zbor devine infinit.

Zborul lui Hohmann durează de obicei mai puțin timp, deoarece mișcarea are loc doar de-a lungul jumătate a elipsei orbitei de transfer:

t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.

Exemplu

Pentru a transfera de la o orbită circulară joasă cu raza r 0 = 6700 km în jurul Pământului la o nouă orbită circulară cu raza r 1 = 93 800 km folosind traiectoria Hohmann, este necesar Δ v egal cu 2825,02 + 1308,70 = 4133; 72 m/ s. Deoarece r 1 \u003d 14 r 0 > 11,94 r 0 , atunci traiectoria bi-eliptică vă va permite să cheltuiți mai puțin Δ v . Dacă navei spațiale primesc mai întâi o viteză suplimentară de 3061,04 m/s, transferându-se astfel pe o orbită eliptică cu un apogeu la r 2 = 40 r 0 = 268.000 km, iar apoi la apogeu i se acordă încă 608,825 m/s pentru a ajunge la un nou orbita cu perigeu la o distanta r 1 = 93.800 km, iar la finalul manevrei in pericentrul celei de-a doua sectiuni a orbitei de transfer se reduce viteza cu 447,662 m/s, transferand aparatul pe orbita finala, apoi valoarea totală a lui Δ v va fi egală cu 4117,53 m/s, ceea ce este cu 16,19 m/s (0,4%) mai mică decât cu traiectoria Hohmann.

Scăderea valorii Δv poate fi crescută cu o creștere a apogeului intermediar, în același timp cu creșterea timpului de zbor. De exemplu, la apogeul 75,8 r 0 = 507.688 km (de 1,3 ori distanța medie de la Pământ la Lună), scăderea Δv în raport cu traiectoria Hohmann va fi de 1%, dar zborul va dura 17 zile. În cazul unei distanțe extrem de mari la apocentru, 1757 r 0 = 11.770.000 km (de 30 de ori distanța medie de la Pământ la Lună), economiile vor fi de 2% față de orbita Hohmann, dar zborul va dura 4,5 ani (excluzând perturbațiile gravitaționale de la alte corpuri din sistemul solar). Pentru comparație, un zbor de-a lungul traiectoriei Hohmann va dura 15 ore și 34 de minute.

Δ v pentru diferite opțiuni de zbor

Tip de	traiectoria lui Gohmann	Traiectorie bi-eliptică
Apogeu, km	93 800	268 000	507 688	11 770 000	∞
Adăugarea vitezei 1 (m/s)	2825.02	3061.04	3123,62	3191,79	3194,89
Adăugarea vitezei 2 (m/s)	1308,70	608.825	351.836	16,9336	0
Adăugarea vitezei 3 (m/s)	0	−447.662	−616.926	−842.322	−853.870
Valoarea totală (m/s)	4133,72	4117,53	4092,38	4051.04	4048,76
Atitudine	100 %	99,6%	99,0%	98,0%	97,94%

Δ v este îndreptat în direcția de mișcare
(valoare negativă) Δ v este îndreptată împotriva mișcării

Pe o orbită bi-eliptică, cea mai mare parte a Δv este transferată în primul moment, ceea ce aduce o contribuție mare la energia orbitală a corpului.

Note

↑ Curtis, Howard. Mecanica orbitală pentru studenții la inginerie (engleză) . - Elsevier , 2005. - P. 264. - ISBN 0-7506-6169-0 .
↑ 1 2 Vallado, David Anthony. Fundamentele astrodinamicii și aplicațiilor . - Springer, 2001. - P. 318. - ISBN 0-7923-6903-3 .
↑ Sternfeld, Ary J. [ sic ] (1934-02-12), Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée , Comptes rendus de l'Académie des sciences (Paris) T. 198(1): 711–713 , < https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31506/f711.image.langEN > Arhivat 25 septembrie 2020 la Wayback Machine
↑ Gobetz, FW; Doll, JR A Survey of Impulsive Trajectories // Jurnalul AIAA : jurnal. — Institutul American de Aeronautică și Astronautică, 1969. - Mai ( vol. 7 , nr. 5 ). - P. 801-834 . - doi : 10.2514/3.5231 .
↑ Escobal, Pedro R. Metode de astrodinamică. - New York: John Wiley & Sons , 1968. - ISBN 978-0-471-24528-5 .

Orbite

Tipuri

Principal	Orbită cutie Captură orbită orbită circulară Orbită eliptică / Orbită eliptică înaltă Orbită de îngrijire Orbită funerară Traiectorie hiperbolica Orbită înclinată / Orbită neînclinată Orbită osculatoare Traiectorie parabolică Orbită de referință (inclusiv scăzută ) orbită sincronă ( Semi-sincron subsincrone ) Orbită staționară
Geocentric	orbită geosincronă orbită geostaţionară Orbită sincronă cu Soarele Orbită terestră joasă Orbită Pământului Mediu Orbită Pământului înaltă Orbită „Fulger” Orbită ecuatorială Orbita Lunii orbită polară Orbită „Tundra” TLE
În jurul altor corpuri și puncte cerești	Orbită areosincronă Orbită areostationară orbita halo Orbită Lissajous orbita lunară Orbită heliocentrică Orbită sincronă cu Soarele

Opțiuni

Clasic	$eu\,\!$ Starea de spirit $\Omega\,\!$ Longitudinea nodului ascendent $e\,\!$ Excentricitate $\omega\,\!$ argument periapsis $A\,\!$ Axa majoră $M_o\,\!$ Anomalie medie pe epocă
Alte	$\nu\,\!$ Adevărata anomalie $b\,\!$ Axa minoră $E\,\!$ Anomalie excentrică $L\,\!$ Longitudine medie $l\,\!$ longitudine adevărată $T\,\!$ Perioada de circulatie

Manevrele orbitale
Orbită de transfer bi-eliptică Marja caracteristică de viteză orbita de geotransfer Manevra gravitațională Viraj gravitațional orbita Hohmann Calea de tranziție cu costuri reduse Efectul Oberth Modificarea înclinației orbitale Fazarea orbitei Andocare Transpunere, andocare și extracție manevra de retragere

Alte subiecte în astrodinamică

Sistemul de coordonate ceresc
Sistemul de coordonate ecuatorial
Epocă
Efemeride
legile lui Kepler
Problemă gravitațională a N-corpilor
Puncte Lagrange
Perturbare
Ecuația orbitei rețelei de transport interplanetar
Apocentrul și periapsis
Viteza orbitală
Parametrul gravitației
Vectori de stare orbitală
Energie orbitală specială
Cuplu relativ special
mișcare directă
mișcare retrogradă
Pista de orbită