Traiectorie hiperbolica

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 iulie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Traiectorie hiperbolică - în astrodinamică și mecanică cerească , traiectoria unui obiect în jurul unui corp central cu o viteză suficientă pentru a depăși atracția corpului central. Forma traiectoriei în cazul non-relativist este o hiperbolă . Excentricitatea orbitală depășește unitatea.

În ipotezele standard, un corp care se deplasează de-a lungul unei astfel de traiectorii se poate deplasa la infinit, menținând în același timp o viteză diferită de zero față de corpul central. Prin analogie cu o traiectorie parabolica , toate traiectorii hiperbolice sunt traiectorii de evacuare . Energia orbitală pe unitatea de masă este o valoare pozitivă.

Zburările planetelor utilizate în asistența gravitațională pot fi reprezentate în sfera gravitației ca traiectorii hiperbolice.

Parametri care descriu o traiectorie hiperbolica

La fel ca o orbită eliptică , traiectoria hiperbolică a unui sistem dat poate fi determinată (fără a se ține seama de orientare) de valoarea semi-axei majore și a excentricității. Cu toate acestea, alți parametri pot fi mai utili pentru studierea mișcării corpului. Următorul tabel listează principalii parametri care descriu mișcarea unui corp de-a lungul unei traiectorii hiperbolice în jurul altui corp.

Ecuații de traiectorie hiperbolice

Element	Simbol	Formulă	Reprezentare prin (sau ) și ${\displaystyle v_{\infty ))$ $A$ $b$
Parametrul gravitației	$\mu\,$	${\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)))$	$bv_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty }$
Excentricitate (>1)	$e$	${\frac {\ell {r_{p)}}-1$	${\sqrt {1+b^{2}/a^{2)})$
Axa majoră (<0)	$A\,\!$	$1/(2/rv^{2}/\mu )$	$-\mu /v_{\infty }^{2)$
Excesul de viteză hiperbolic	${\displaystyle v_{\infty ))$	${\sqrt {-\mu /a}}$
Unghiul dintre asimptote (exterior)	$2\theta _{\infty )$	$2\arccos(-1/e)$	$\pi +2\operatorname {arctg} (b/a)$
Distanța de vizualizare ( axa minoră )	$b$	$-a{\sqrt {e^{2}-1))$	${\displaystyle}$
Parametru	$\ell$	$a(1-e^{2})$	$b^{2}/a=h^{2}/\mu$
Distanța pericentrică	$r_{p}$	$a(1-e)$	${\sqrt {a^{2}+b^{2)}}+a$
Energia orbitală pe unitatea de masă	$\varepsilon$	$-\mu /2a$	$v_{\infty }^{2}/2$
Momentul unghiular pe unitatea de masă	$h$	${\sqrt {\mu \ell ))$	${\displaystyle bv_{\infty ))$

Semi-axa majoră, energie și exces de viteză hiperbolică

Semi-axa majoră nu este observată direct pe o traiectorie hiperbolică, dar poate fi reprezentată ca distanță de la periapsis până la punctul de intersecție al asimptotelor. De obicei, valoarea semi-axei majore a orbitei hiperbolice este considerată negativă, atunci multe ecuații ale orbitelor eliptice sunt în concordanță cu ecuațiile orbitelor hiperbolice.

Semiaxa majoră este direct legată de valoarea energetică ( ) sau de energia caracteristică a orbitei și de viteza pe care o are corpul când distanța tinde spre infinit, adică cu excesul hiperbolic de viteză ( ). $\epsilon\,$ $C_{3}$ $v_{\infty }\,\!$

v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a

a=-{\mu /{v_{\infty }^{2))},

unde este parametrul gravitațional , este energia caracteristică folosită adesea în planificarea misiunilor interplanetare. $\mu =Gm\,\!$ $C_{3}$

Rețineți că în cazul unei traiectorii hiperbolice, energia totală este pozitivă. În cazul unei traiectorii eliptice, energia totală este negativă.

Excentricitatea și unghiul dintre direcția de apropiere și de îndepărtare a corpului

Excentricitatea ( ) a orbitei hiperbolice este mai mare decât unu. Este direct legat de unghiul dintre asimptote. Cu o excentricitate puțin mai mare decât unu, hiperbola arată ca litera V. Când asimptotele se intersectează în unghi drept. Când unghiul dintre asimptote este mai mare de 120°, distanța pericentrică depășește valoarea semiaxei majore. Cu o creștere suplimentară a excentricității, traiectoria se apropie de o linie dreaptă. $e\,$ $e={\sqrt {2}}$ $e>2$

Unghiul dintre direcția către periapsis și asimptota din corpul central este o adevărată anomalie deoarece distanța tinde spre infinit ( ), prin urmare este un unghi extern față de unghiul dintre direcțiile de apropiere și îndepărtare a corpului (între asimptote). Apoi $\theta _{\infty }\,$ $2\theta _{\infty }\,$

\theta {_{\infty }}=\arccos(-1/e)\,

e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,.

Parametrul de impact și cea mai apropiată apropiere

Parametrul de impact este distanța la care corpul, dacă a continuat să se miște pe traiectoria neperturbată, s-a apropiat de corpul central în momentul celui mai apropiat pasaj al acestuia. Deoarece corpurile au un efect gravitațional unul asupra celuilalt și un corp se mișcă de-a lungul unei traiectorii hiperbolice în jurul celuilalt, parametrul de impact va fi egal cu semiaxa minoră a hiperbolei.

Atunci când o navă spațială sau o cometă se apropie de o planetă, parametrul de impact și viteza la infinit trebuie cunoscute cu exactitate. Dacă sunt cunoscuți parametrii corpului central, atunci se poate determina orbita corpului care se apropie, inclusiv distanța la periapsis. Dacă distanța țintă este mai mică decât raza planetei, va avea loc o coliziune. Distanța minimă (distanța la periapsis) este determinată de formula

r_{p}=-a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2 }/\mu )^{2}}}-1).

Când o cometă se apropie de Pământ ( raza efectivă este de aproximativ 6400 km) cu o viteză de 12,5 km/s (viteza minimă a Pământului care se apropie de un corp din regiunea exterioară a sistemului solar ), impactul nu va avea loc dacă impactul parametrul este mai mare de 8600 km (cu 34% mai mult decât raza Pământului). Un corp care se apropie de Jupiter (cu o rază de 70.000 km) cu o viteză de 5 km/s va avea nevoie de o distanță de impact de peste 770.000 km, care este de 11 ori mai mare decât raza lui Jupiter, pentru a evita impactul.

Dacă masa corpului central este necunoscută, atunci valoarea parametrului gravitațional poate fi determinată din abaterea traiectoriei corpului mic, dacă se cunosc viteza de apropiere și distanța de vizare. Deoarece ultimele valori sunt de obicei determinate destul de precis, un zbor al unei planete poate oferi o estimare a masei acesteia.

\mu =bv_{\infty }^{2}\operatorname {tg} \delta /2

, unde este egal cu unghiul cu care corpul mic se abate de la traiectoria rectilinie inițială.

\delta =2\theta _{\infty }-\pi

Ecuațiile mișcării

Poziție

Pe o traiectorie hiperbolică, adevărata anomalie este legată de distanța dintre corpurile circulante ( ) folosind ecuația orbitei: $\theta$ $r\,$

r={\frac {\ell {1+e\cdot \cos \theta )).

Relația dintre anomalia adevărată θ și anomalia excentrică E are forma

\operatorname {ch} {E}={{\cos {\theta}+e} \over {1+e\cdot \cos {\theta }))

\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \operatorname {th} {\frac {E {2}}.

Anomalia excentrică E este legată de anomalia medie M prin ecuația Kepler :

M=e\cdot \operatorname {sh} EE.

Anomalia medie este proporțională cu timpul:

M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3)})).(t-\tau ),

unde μ este parametrul gravitațional, a este semi-axa majoră a orbitei.

Unghiul φ dintre vectorul viteză și perpendiculara pe vectorul rază este dat de

\operatorname {tg} \varphi ={\frac {e\cdot \sin \theta} {1+e\cdot \cos \theta )).

Viteza

În ipotezele standard , viteza orbitală ( ) a unui corp care se deplasează de-a lungul unei traiectorii hiperbolice poate fi calculată după cum urmează: $v\,$

v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right))),

Unde

\mu\,

este parametrul gravitațional,

r\,

este distanța de la corpul central la cel circulant,

A\,\!

este semiaxa majoră a orbitei (negativ în acest caz).

În ipotezele standard, pentru orice poziție a corpului pe orbită, următoarea relație între viteza orbitală ( ), viteza de evacuare locală ( ) și viteza în exces hiperbolică ( ) va fi valabilă: $v\,$ ${v_{esc}}\,$ $v_{\infty }\,\!$

v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}

Rețineți că, în acest caz, o valoare suplimentară suficient de mică a Δv la viteza necesară pentru a muta corpul la infinit va duce la o creștere puternică a vitezei la distanță infinită. De exemplu, într-un punct în care viteza de evacuare este de 11,2 km/s , adăugarea a 0,4 km/s va duce la un exces hiperbolic de 3,02 km/s :

{\sqrt {11{,}6^{2}-11{,}2^{2}}}=3{,}02.

Acest exemplu ilustrează efectul Oberth . Se manifestă și efectul invers: corpul nu are nevoie de o decelerare puternică față de excesul hiperbolic de viteză (de exemplu, decelerația atmosferei în punctul periapsis) pentru ca viteza să fie mai mică decât viteza de evacuare și corpul. pentru a fi surprins de centrul atrăgător.

Traiectorie hiperbolică radială

O traiectorie radială hiperbolică este o traiectorie radială neperiodică în care viteza relativă a corpurilor depășește întotdeauna viteza de evacuare. Există două cazuri: corpurile se îndepărtează unul de celălalt sau unul spre celălalt. O astfel de orbită este o orbită hiperbolică cu o semi-axă zero, excentricitatea este egală cu unu.

Problemă relativistă cu două corpuri

În contextul problemei cu două corpuri în relativitatea generală , traiectoriile obiectelor a căror energie este suficientă pentru a depăși atracția gravitațională a celuilalt nu au forma unei hiperbole. Cu toate acestea, termenul de traiectorie hiperbolică este folosit pentru a descrie orbitele de acest tip.

Note

Vallado, David A. Fundamentals of Astrodynamics and Applications, Ediția a treia (engleză) . - Hawthorne, CA.: Hawthorne Press, 2007. - ISBN 978-1-881883-14-2 .

Link -uri

Orbite

Tipuri

Principal	Orbită cutie Captură orbită orbită circulară Orbită eliptică / Orbită eliptică înaltă Orbită de îngrijire Orbită funerară Traiectorie hiperbolica Orbită înclinată / Orbită neînclinată Orbită osculatoare Traiectorie parabolică Orbită de referință (inclusiv scăzută ) orbită sincronă ( Semi-sincron subsincrone ) Orbită staționară
Geocentric	orbită geosincronă orbită geostaţionară Orbită sincronă cu Soarele Orbită terestră joasă Orbită Pământului Mediu Orbită Pământului înaltă Orbită „Fulger” Orbită ecuatorială Orbita Lunii orbită polară Orbită „Tundra” TLE
În jurul altor corpuri și puncte cerești	Orbită areosincronă Orbită areostationară orbita halo Orbită Lissajous orbita lunară Orbită heliocentrică Orbită sincronă cu Soarele

Opțiuni

Clasic	$eu\,\!$ Starea de spirit $\Omega\,\!$ Longitudinea nodului ascendent $e\,\!$ Excentricitate $\omega\,\!$ argument periapsis $A\,\!$ Axa majoră $M_o\,\!$ Anomalie medie pe epocă
Alte	$\nu\,\!$ Adevărata anomalie $b\,\!$ Axa minoră $E\,\!$ Anomalie excentrică $L\,\!$ Longitudine medie $l\,\!$ longitudine adevărată $T\,\!$ Perioada de circulatie

Manevrele orbitale
Orbită de transfer bi-eliptică Marja caracteristică de viteză orbita de geotransfer Manevra gravitațională Viraj gravitațional orbita Hohmann Calea de tranziție cu costuri reduse Efectul Oberth Modificarea înclinației orbitale Fazarea orbitei Andocare Transpunere, andocare și extracție manevra de retragere

Alte subiecte în astrodinamică

Sistemul de coordonate ceresc
Sistemul de coordonate ecuatorial
Epocă
Efemeride
legile lui Kepler
Problemă gravitațională a N-corpilor
Puncte Lagrange
Perturbare
Ecuația orbitei rețelei de transport interplanetar
Apocentrul și periapsis
Viteza orbitală
Parametrul gravitației
Vectori de stare orbitală
Energie orbitală specială
Cuplu relativ special
mișcare directă
mișcare retrogradă
Pista de orbită

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)