Buchet de cercuri
Un buchet de cercuri (cunoscut și sub numele de trandafir ) este un spațiu topologic obținut prin lipirea unui set de cercuri în jurul unui singur punct . Cercurile buchetului sunt uneori numite petale de trandafir . Buchetele de cercuri sunt importante în topologia algebrică , unde sunt strâns legate de grupurile libere .
Definiție
Buchetul de cercuri este un caz special al buchetului de spatii . Adică, buchetul de cercuri este un spațiu de coeficient al lui C / S , unde C este uniunea disjunctă a cercurilor peste mulțimea S , constând dintr-un punct din fiecare cerc. Ca complex de celule , un buchet de cercuri are un vârf și o margine pentru fiecare cerc. Acest lucru îl face un exemplu simplu de graf topologic .
O grămadă de n cercuri poate fi obținută și prin identificarea n puncte ale unui cerc. O grămadă de două cercuri se numește cifra opt .
Relația cu grupurile libere
Grupul fundamental al buchetului de cercuri este liber cu un generator pentru fiecare petala. Acoperirea universală este un copac infinit, care poate fi identificat cu graficul Cayley al unui grup liber. (Acesta este un caz special al complexului de prezentare asociat cu orice sarcină de grup .)
Acoperirile intermediare ale buchetului de cercuri corespund subgrupurilor grupului liber. Observația că orice acoperire a unui buchet de cercuri este un grafic oferă o dovadă simplă că orice subgrup al unui grup liber este liber ( teorema Nielsen-Schreier ).
Deoarece acoperirea universală a buchetului de cercuri este contractabilă , buchetul de cercuri este un spațiu K(F,1) pentru grupul liber asociat F . De aici rezultă că coomologia de grup este trivială pentru .
Alte proprietăți
- Orice graf conectat este echivalent homotopic cu un buchet de cercuri. În special, buchetul de cercuri este spațiul coeficient al graficului obținut prin contractarea arborelui întindere .
- O minge cu n puncte îndepărtate (sau o sferă cu puncte îndepărtate ) este o retragere de deformare într-o grămadă de cercuri cu n petale. Unul dintre cercurile buchetului înconjoară fiecare dintre punctele îndepărtate.
- Un tor cu un punct îndepărtat este o retragere de deformare într-o figură opt, și anume, unirea a două cercuri generatoare. Mai general, o suprafață de genul g cu un punct îndepărtat este o retragere de deformare într-un buchet de cercuri cu 2 g petale, și anume, în limita poligonului fundamental .
- O grămadă de cercuri poate avea infinit de petale, ceea ce duce la un grup fundamental care este liber pe un număr infinit de generatoare. Un buchet cu un număr numărabil de cercuri este similar cu un cercel hawaian - există o bijecție continuă de la un buchet de cercuri la un cercel hawaian, dar nu sunt homeomorfe .
Vezi și
- Buchet (Număr)
- Quadrifolium (quatrefoil)
- grup liber
- Graficul topologic
Note
Literatură
- Allen Hatcher. Topologie algebrică . - Cambridge, Marea Britanie: Cambridge University Press, 2002. - ISBN 0-521-79540-0 .
- James R. Munkres. topologie. - Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc, 2000. - ISBN 0-13-181629-2 .
- John Stillwell. Topologie clasică și teoria grupurilor combinatorii. - Berlin: Springer-Verlag, 1993. - ISBN 0-387-97970-0 .