Cercel hawaian

Cercelul hawaian este un spațiu topologic corespunzător unirii cercurilor pe planul euclidian cu centre în puncte și raze (pentru toate numerele întregi pozitive ). Spațiul este homeomorf la compactarea într-un punct a unei uniuni numărabile de intervale deschise ( ). $H$ $\mathbb {R} ^{2}$ $(1/n,0)$ $1/n$ $n$ $H$ $\mathbb {R} ^{+}\setminus \mathbb {N}$

Cercelul hawaian este compact și poate fi echipat cu ecartament complet . Este conectat la cale, dar nu doar semi- local .

Cercelul hawaian, la prima vedere, arată ca un buchet de un număr numărabil de cercuri, dar nu sunt spații topologice homeomorfe . Topologia cercelului hawaian este mai slabă : orice vecinătate a punctului de intersecție al cercurilor conține toate, cu excepția unui număr finit de cercuri, în timp ce pentru un buchet există cartiere care nu conțin niciun cerc. Mai mult, un buchet cu un număr numărabil de cercuri nu este compact.

Grup fundamental

Cercelul hawaian nu este pur și simplu conectat , deoarece bucla care parametriză oricare dintre cercurile sale nu este omotopică cu cea trivială. Prin urmare, are un grup fundamental non-trivial . $G$

Există o mapare continuă dintr-un buchet de multe cercuri numărătoare în , aceasta induce o încorporare a grupului fundamental al buchetului ( un grup liber cu mulți generatori numărați) în . Grupul mai conține și alte elemente - clase de homotopie de bucle care nu sunt conținute în niciun subset finit al cercurilor cercelului hawaian; un exemplu este o buclă care „înfășoară” un segment în jurul celui de-al- lea cerc. $H$ $G$ $G$ $[2^{-n},2^{-(n-1)}]$ $n$

În plus, se încadrează în limita proiectivă a grupurilor libere (conectarea mapărilor de la pentru a duce ultimul generator la identitatea grupului). Totuși, această mapare nu este surjectivă ; imaginea sa contine exact acele elemente ale limitei inverse in care fiecare dintre generatori apare de un numar finit de ori. Un exemplu de element care nu se află în imaginea acestei mapări este un comutator infinit . $G$ $F_{n}$ $F_{n}$ $F_{{n-1}}$ $[\gamma _{1},\gamma _{2}][\gamma _{1},\gamma _{3}]\ldots$

Grupul este de nenumărat și nu este gratuit. Deși abelizarea sa nu are o descriere simplă, există un subgrup normal în , astfel încât este izomorf cu grupul Baer-Specker . Se numește abelizare infinită sau abelizare puternică , deoarece constă exact din acele elemente, ale căror coordonate (dacă te gândești la un subgrup al limitei proiective ) se află în subgrupul comutator al grupului liber corespunzător . Într-un fel, se poate vorbi de închiderea comutatorului . $G$ $G$ $N$ $G/N$ $\prod _{i=0}^{\infty }\mathbb {Z}$ $G$ $N$ $G$ $N$ $G$

Spații patologice înrudite

Conul de deasupra cercelului hawaian oferă un exemplu de spațiu simplu conectat (în special, simplu conectat semilocal), dar nu și simplu conectat local.
- Un spațiu lipit din două copii ale unui astfel de con la un moment dat, pe baza căruia inelele cercelului se ating între ele, oferă un exemplu de spațiu cu un înveliș universal neconectat simplu, ceea ce este banal.

Literatură

Hatcher, A. Topologie algebrică / Per. din engleza. V. V. Prasolova, ed. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - S. 69-70. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
Cannon, JW; Conner, GR Marele grup fundamental, cerceii mari hawaiani și marile grupuri libere // Topologia și aplicațiile sale. - 2000. - Vol. 106. - Problema. 3 . - P. 273-291. - doi : 10.1016/S0166-8641(99)00104-2 .
Conner, G.; Spencer, K. Comportamentul anormal al grupului de cercei din Hawaii // Journal of Group Theory. - 2005. - Vol. 8. - Problema. 2 . - P. 223-227. - doi : 10.1515/jgth.2005.8.2.223 .
Eda, K. spații sălbatice unidimensionale și cercelul hawaian] // Proceedings of the American Mathematical Society. — Vol. 130. - Problema. 5 . - P. 1515-1522. - doi : 10.1090/S0002-9939-01-06431-0 .
Eda, K.; Kawamura, K. Omologia singulară a cercelului hawaian // Journal of the London Mathematical Society. — Vol. 62. - Problema. 1 . - P. 305-310. - doi : 10.1112/S0024610700001071 .
Fabel, P. Grupul topologic de cercei hawaian nu se încadrează în limita inversă a grupurilor libere // Topologie algebrică și geometrică. — Vol. 5. - P. 1585-1587. - doi : 10.2140/agt.2005.5.1585 .
Morgan, JW; Morrison, I. O teoremă van Kampen pentru îmbinări slabe // Proceedings of the London Mathematical Society. — Vol. 53, nr. 3 . - P. 562-576. - doi : 10.1112/plms/s3-53.3.562 .
Biss, Daniel K. O abordare generalizată a grupului fundamental // American Mathematical Monthly. - MAA, 2000. - T. 107 , nr. 8 . — S. 711–720 . - doi : 10.2307/2695468 .