Număr hiperreal

Numere hiperreale ( numere hiperreale ) - o extensie a câmpului numerelor reale , care conține numere mai mari decât toate reprezentabile sub forma unei sume finite . $\mathbb {R}$ $1+1+\cdots +1$

Termenul „număr hiperreal” ( ing. număr hiper-real ) a fost propus de matematicianul american Edwin Hewitt în 1948 [1] . Teoria câmpului numerelor hiperreale ca extensie a câmpului numerelor reale a fost publicată în anii 1960 de Abraham Robinson , care a numit-o „ analiza non-standard ”. Robinson a dovedit și consistența acestei teorii (mai precis, a redus problema la consistența numerelor reale).

Teoria numerelor hiperreale oferă o abordare riguroasă a calculului cantităților infinit de mari și infinitezimale , care în acest caz, spre deosebire de analiza standard, nu sunt variabile, ci constante, adică numere. În analiza non-standard, pe o bază modernă, este reabilitată ideea care se întoarce la Leibniz și adepții săi despre existența unor cantități infinitezimale reale , altele decât zero, idee care în dezvoltarea istorică a analizei matematice a fost înlocuită cu conceptul de o limită variabilă . Este curios că ideile despre cantități reale infinit de mari și infinit de mici au fost păstrate în manualele de fizică și alte științe ale naturii, unde se găsesc adesea expresii precum „să existe un element de volum (infinit mic)...” [2] . $dV$

Definiție formală

Mulțimea numerelor hiperreale este un câmp ordonat non-Arhimedian , o extensie a câmpului numerelor reale , care conține numere mai mari decât toate reprezentabile ca sumă finită . Fiecare astfel de număr este infinit de mare , iar reciproca sa este infinit de mică . $^{*}\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $1+1+\cdots +1$

Numerele hiperreale satisfac principiul transferului, o variantă riguroasă a principiului continuității euristice al lui Leibniz . Principiul transferului afirmă că afirmațiile din logica de ordinul întâi despre sunt adevărate și pentru . De exemplu, regula comutativității adunării este valabilă pentru numerele hiperreale în același mod ca și pentru cele reale. Principiul transferului pentru ultraputeri este o consecință a teoremei lui Los (1955). Proprietățile operațiilor aritmetice cu numere hiperreale sunt practic aceleași cu cele ale numerelor reale. $\mathbb {R}$ $^{*}\mathbb {R}$ $x+y=y+x$

Studiul cantităților infinitezimale pornește de la matematicianul grec antic Eudoxus din Cnidus , care a folosit metoda epuizării pentru a le calcula . În 1961, A. Robinson a demonstrat că câmpul numerelor reale poate fi extins la o mulțime ( un câmp ordonat non-Arhimedian) care conține elemente infinitezimale și infinit de mari în sensul pe care Leibniz și alți matematicieni ai secolului al XVIII-lea l-au pus în aceste concepte [ 3] .

Aplicarea numerelor hiperreale și, în special, a principiului transferului, în problemele de analiză matematică se numește analiză non-standard . Una dintre aplicațiile imediate este definirea conceptelor de bază ale analizei, precum derivata și integrala direct, fără a folosi trecerea la limită sau construcții logice complexe. Astfel, definiția derivatei din analitică devine pur aritmetică: $f(x)$

f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)

pentru infinitezimal , unde înseamnă partea standard a numărului , care conectează fiecare număr hiperreal finit cu singurul număr real care este infinit aproape de el. $\Delta x$ $\operatorname {st}$

Câmp de numere hiperreale

Câmpul numerelor hiperreale este format din trei părți [4] : $^{*}\mathbb {R}$

numere infinite negative,
numere finale
numere infinite pozitive.

Numerele finite, la rândul lor, pot fi împărțite în două categorii: reale obișnuite și non-standard . Fiecare număr finit non-standard poate fi reprezentat în mod unic ca: unde este un număr real și este un infinitezimal (pozitiv sau negativ). Când , se obține o mulțime de infinitezimale. Astfel, fiecare număr real se dovedește a fi, parcă, învăluit într-o aură ( monadă ) a omologilor săi hipermateriali, infinit aproape de el [5] . $a+\epsilon ,$ $A$ $\epsilon$ $a=0$

Structura algebrică

Să presupunem că este spațiul Tihonov , care se mai numește și -spațiu și este algebra funcțiilor reale continue pe . Să existe un ideal maxim în . Atunci inelul coeficient , este, prin definiție, o algebră reală și poate fi considerată ca o mulțime ordonată liniar . Dacă conține strict , atunci se numește un ideal hiperreal (în terminologia lui Hewitt, 1948) și un câmp hiperreal. Rețineți că această ipoteză nu înseamnă că puterea câmpului este mai mare decât cea a câmpului , ele pot avea de fapt aceeași putere. $X$ $T_{3.5}$ $C(X)$ $X$ $M$ $C(X)$ $A=C(X)/M$ $F$ $\mathbb {R}$ $M$ $F$ $F$ $\mathbb {R}$

Un caz special important este dacă spațiul este un spațiu discret , în acest caz el poate fi identificat cu cardinalitatea mulțimii și cu algebra reală a funcțiilor din . Câmpurile hiperreale pe care le obținem în acest caz se numesc ultraputeri și sunt identice cu ultraputerile construite prin ultrafiltre libere în topologia generală . $X$ $X$ $\kappa$ $C(X)$ $\mathbb {R} ^{\kappa }$ $\kappa$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Note

↑ Hewitt, Edwin (1948). „Inele de funcții continue cu valoare reală. eu”. Trans. amer. Matematică. Soc . 64 :45-99. DOI : 10.1090/s0002-9947-1948-0026239-9 .
↑ Vezi, de exemplu: Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Physics course. M.: Şcoala superioară, 1999, S. 128 şi urm.
↑ Panov V.F. Matematică antică și tânără. - Ed. al 2-lea, corectat. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 548-553. — 648 p. — ISBN 5-7038-2890-2 .
↑ Uspensky, 1987 , p. douăzeci.
↑ Uspensky, 1987 , p. 19-21.

Literatură

Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Analiză infinitezimală . - Novosibirsk: Institutul de Matematică, 2006.
Davis M. Analiza non-standard aplicată. — M .: Mir, 1980.
Uspensky V. A. Ce este analiza non-standard. — M .: Nauka, 1987.

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion

Calculul infinitezimalelor și infinitezimalelor
Poveste	Notația Leibniz Semn integral Metoda indivizibililor
Destinații înrudite	Analiză personalizată
Formalisme	Diferenţial
Concepte	Parte standard a unui număr Principiul tranziției Hyperinteger Teorema creșterii Monad Set intern Câmpul din Levi-Civita Hyperfinite set Legea continuității preaplin Microcontinuitate Legea transcendentă a omogenității
Oamenii de știință	Arhimede Leibniz Robinson Fermă Cauchy Euler
Literatură	Analiza infinitezimale Calcule elementare Curs de analiză