Contele Durer

Graficul Durer  este un grafic cubic nedirecționat cu 12 vârfuri și 18 muchii. Graficul este numit după Albrecht Dürer , a cărui gravură „ Melancholia ” (1514) conținea o imagine a așa-numitului poliedru Dürer  - un poliedru convex cu un graf Dürer ca schelet . Poliedrul Dürer este unul dintre cele patru poliedre convexe simple bine ascunse posibile.

poliedrul lui Dürer

Poliedrul Durer este echivalent combinatoric cu un cub cu două vârfuri opuse trunchiate [1] , deși în desenul lui Durer este mai degrabă desenat ca un romboedru trunchiat sau un trapez trunchiat triedric [2] . Proprietățile geometrice exacte ale poliedrului desenat de Dürer fac obiectul unor dispute academice, în care se presupun diverse valori ipotetice ale unghiurilor (acute) de la 72° la 82° [3] .

Proprietăți grafice

Graficul Dürer este graficul format din vârfurile și muchiile poliedrului Dürer. Graficul este cubic cu circumferința 3 și diametrul 4. Deoarece graficul este scheletul poliedrului Dürer, acesta poate fi obținut prin aplicarea unei transformări triunghi-stea a vârfurilor opuse ale graficului cubului sau ca un grafic Petersen generalizat . Ca orice alt graf politop convex , graful Dürer este un graf planar simplu conectat la vârfuri 3 .

Graficul Dürer este bine ascuns , ceea ce înseamnă că toate cele mai mari mulțimi independente au același număr de vârfuri, patru. Graficul este unul dintre graficele poliedrice cubice bine ascunse și unul dintre cele șapte grafice cubice cu 3 conectate bine ascunse. Celelalte trei poliedre convexe simple bine ascunse sunt tetraedrul , prisma triunghiulară și prisma pentagonală [4] [5] .

Graficul Dürer este hamiltonian cu notația LCF [-4,5,2,-4,-2,5;-] [6] . Mai precis, graficul are exact șase cicluri hamiltoniene, fiecare pereche putând fi mapată la oricare alta prin simetrii grafice [7] .

Simetrii

Grupul de automorfism atât al grafului Dürer, cât și al poliedrului Dürer (sub formă de cub trunchiat sau sub forma reprezentată de Dürer) este izomorf cu grupul diedric de ordinul 12.

Galerie

• Indicele cromatic al graficului Dürer este 3.

• Numărul cromatic al contelui Dürer este 3.

• Graficul hamiltonian al lui Dürer.

Note

1. ^ Weisstein , Eric W. Dürer's Solid  pe site-ul Wolfram MathWorld .
2. ↑ Weber, 1900 .
3. ↑ Weitzel, 2004 .
4. ↑ Campbell, Plummer, 1988 .
5. ↑ Campbell, Ellingham, Royle 1993 .
6. ↑ Castagna și Prince ( Castagna, Prince (1972 )) atribuie tezei din 1968 a lui GN Robertson de la Universitatea din Waterloo demonstrarea proprietății hamiltoniene a clasei de grafuri Peterson generalizate, care include graful Dürer.
7. ↑ Schwenk (1989) .

Literatură

• S. R. Campbell, M. N. Ellingham, Gordon F. Royle. O caracterizare a graficelor cubice bine acoperite // Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing. - 1993. - T. 13 . — S. 193–212 .
• Stephen R. Campbell, Michael D. Plummer. Pe 3-politopuri bine acoperite // Ars Combinatoria. - 1988. - T. 25 , nr. A. _ — S. 215–242 .
• Frank Castagna, Geert Prins. Fiecare grafic Petersen generalizat are un Tait Coloring // Pacific Journal of Mathematics . - 1972. - T. 40 . - doi : 10.2140/pjm.1972.40.53 .
• Allen J. Schwenk. Enumerarea ciclurilor hamiltoniene în anumite grafice Petersen generalizate // Journal of Combinatorial Theory . - 1989. - T. 47 , nr. 1 . — p. 53–59 . - doi : 10.1016/0095-8956(89)90064-6 .
• P. Weber. Beiträge zu Dürers Weltanschauung—Eine Studie über die drei Stiche Ritter, Tod und Teufel, Melancholie und Hieronymus im Gehäus. - Strassburg, 1900. (cum este citat în Weitzel ( Weitzel (2004 )).
• Hans Weitzel. O altă ipoteză asupra poliedrului gravurii lui A. Dürer Melencolia I // Historia Mathematica. - 2004. - T. 31 , nr. 1 . — S. 11–14 . - doi : 10.1016/S0315-0860(03)00029-6 .