Legea dispersiei

Legea dispersiei , sau relația de dispersie , în teoria undelor este o funcție a dependenței frecvenței undei de vectorul de undă :

\omega =\omega (\mathbf {k} )

Forma matematică a acestei dependențe, care exprimă relația dintre periodicitatea temporală și spațială a undei, este determinată de proprietățile oscilațiilor considerate și de mediul în care se propagă.

Din legea dispersiei se pot obține vitezele de fază și de grup ale undei:

\mathbf {v} _{\text{ph}}={\frac {\omega {k}}\cdot {\frac {\mathbf {k} {k)),\quad \mathbf { v} _{\text{gr}}={\frac {d\omega }{d\mathbf {k} }}

În cel mai simplu caz al unei conexiuni liniare , aceste viteze coincid și ele. $\omega$ $k$

Există legi de dispersie pentru undele de orice natură, inclusiv undele electromagnetice și elastice . Conceptul de dualitate undă-particulă ne permite să scriem această lege și pentru undele de Broglie asociate cu particule, cum ar fi electronii.

Uneori relația de dispersie este dată ca dependență

E=E(\mathbf {k} )

pentru energia unui cuantum de oscilație ( foton , fonon ) sau a unei particule, unde este constanta Planck-Dirac . $E=\hbar \omega$ $\hbar$

Ecuația undelor și dispersia

În soluția armonică a ecuației de undă clasice, viteza fazei nu depinde de numărul de undă. Totuși, diferite efecte care apar într-un mediu pot duce la apariția unor termeni suplimentari în ecuația diferențială care descrie propagarea undelor în acest mediu. Când înlocuiți o funcție armonică într-o astfel de ecuație , puteți vedea că este încă o soluție, dar relația dintre frecvență și numărul de undă nu mai este liniară, ceea ce este echivalent cu dependența vitezei fazei de numărul de undă.

Găsirea relației de dispersie

Relațiile de dispersie pot fi calculate în cadrul diferitelor modele ale mediului.

Experimental, acestea nu sunt măsurate direct, ci trebuie determinate pe baza analizei propagării undelor. De exemplu, legea de dispersie a unei unde electromagnetice într-un anumit mediu poate fi obținută pe baza măsurătorilor dependenței de frecvență a indicelui de refracție .

Exemple pentru valuri de diferite tipuri

Dispersia luminii vizibile în optică

Dispersia are loc dacă viteza de fază a propagării undei depinde de numărul acesteia de undă, care apare atunci când legea dispersiei este neliniară. Mediul în care are loc dispersia se numește dispersie sau mediu dispersiv . Sticla este un astfel de mediu. Se poate demonstra că relația de dispersie neliniară a undelor care se propagă în sticlă duce la o dependență a indicelui de refracție de lungimea de undă .

Dispersia sticlei și legea lui Snell duc la posibilitatea utilizării unei prisme de sticlă ca cel mai simplu instrument spectral (vezi imaginea).

Vibrațiile elastice ale atomilor dintr-un lanț

Să existe un lanț liniar unidimensional de atomi cu masă , distanța dintre ei . Să mișcăm al- lea atom la o distanță mică . Datorită dimensiunii mici a abaterii, forța de interacțiune a atomilor va fi cvasielastică. $m$ $d$ $n$ $tu_{n}$

Ținând cont de cei mai apropiați vecini, smla care acționează asupra atomului al-lea poate fi scris ca $n$

F_{n}=-\beta (u_{n}-u_{{n+1}})-\beta (u_{n}-u_{{n-1}})=\beta (u_{{n+ 1 }}-2u_{n}+u_{{n-1}}),

unde este un coeficient. Ecuația de mișcare pentru cel de-al-lea atom are forma $\beta$ $n$

ma_{n}=F_{n}\quad \Longleftrightarrow \quad m{\cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=\beta (u_{n+1 }-2u_{n}+u_{n-1})

Soluția sa este căutată sub forma , unde este numărul de undă, const și este frecvența. Apoi $Ae^{i(kd-\omega t))$ $k$ $A=\,$ $\omega$

-m\omega ^{2}=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta \sin ^ {2}(kd/2),

de unde vine:

\omega =\pm \omega _{m}\sin {kd/2},\,\,

unde .

\,\,\omega _{m}=2{\sqrt {\beta /m)}

Aceasta este dependența frecvenței de numărul de undă, adică legea dispersiei, pentru un lanț monoatomic.

Legile de dispersie pentru electroni

În fizica stării solide, legea dispersiei exprimă relația dintre energia unui electron și vectorul său de undă . Astfel de dependențe pot fi destul de complexe. Pe baza acestora, se calculează masa efectivă a unui electron în diferite stări cuantice.

În semiconductori , în domeniul energiei electronilor în apropierea minimului benzii de conducție, relația de dispersie repetă adesea expresia corespunzătoare pentru cazul vidului, dar cu o masă efectivă diferită de cea a unui electron liber: $E$ $E_{c}$ $m^{*}$

E=E_{c}+\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}

Cu toate acestea, pe măsură ce energia crește, expresia se modifică semnificativ.

Vezi și

Dispersia undelor

Note

Literatură

Stefan A. Tau. Unde liniare în medii cu dispersie // Unde neliniare . — M.: Mir, 1977.