Formula Planck

Formula lui Planck ( legea lui Planck ) este o formulă care descrie densitatea spectrală a radiației , care este creată de un corp absolut negru la o anumită temperatură . Formula a fost descoperită de Max Planck în 1900 și numită după numele său de familie. Descoperirea sa a fost însoțită de apariția ipotezei că energia nu poate lua decât valori discrete . Această ipoteză nu a fost considerată semnificativă de ceva timp după descoperire, dar se consideră, în general, că a dat naștere fizicii cuantice .

Formula

Formula lui Planck este o expresie a densității spectrale a radiației create de un corp absolut negru la o anumită temperatură . Există diverse forme de scriere a acestei formule [1] [2] .

Luminozitate energetică

Formula care exprimă densitatea spectrală a radiației este următoarea [3] :

B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\ nu }{kT}}-1}},

unde este frecvența radiației , este temperatura unui corp absolut negru, este constanta lui Planck , este viteza luminii , este constanta lui Boltzmann . În sistemul SI , mărimea din această formulă are dimensiunea W m −2 · Hz −1 · sr −1 . Semnificația sa fizică este luminozitatea energetică într-un interval mic de frecvență împărțit la . O formulă similară poate fi utilizată în care radiația este o funcție a lungimii de undă mai degrabă decât a frecvenței [3] [4] : $\nu$ $T$ $h$ $c$ $k$ ${\displaystyle B_{\nu ))$ $(\nu ;\nu +d\nu )$ $d\nu$ $\lambda$

B_{\lambda}(\lambda,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{ \lambda kT}}-1}}

În acest caz, are dimensiunea W·m −2 ·m −1 · sr −1 și corespunde radiației într-un interval mic de lungimi de undă împărțit la [3] [4] . $B_{\lambda }$ $(\lambda;\lambda +d\lambda)$ $d\lambda$

Emisivitate

Emisivitatea la o frecvență sau o lungime de undă este puterea radiantă pe unitate de suprafață în intervalul de frecvență sau lungime de undă împărțită la sau , respectiv . Poate fi exprimat prin formulele [5] : $\nu$ $\lambda$ $(\nu ;\nu +d\nu )$ $(\lambda;\lambda +d\lambda)$ $d\nu$ $d\lambda$

\varepsilon _{\nu }(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{ \frac {h\nu }{kT}}-1}}

\varepsilon _{\lambda}(\lambda,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\ frac {hc}{\lambda kT}}-1}}

Astfel, emisivitatea unui corp este numeric de ori mai mare decât luminozitatea dacă unghiul solid din acesta este măsurat în steradiani . Mărimile și au dimensiunile, respectiv, W m −2 Hz −1 și W m −2 m −1 [5] . $\pi$ $\varepsilon _{\nu )$ $\varepsilon _{\lambda }$

Densitatea spectrală a energiei

O altă formă de scriere descrie densitatea de energie volumetrică spectrală a radiației unui corp negru. Prin analogie cu formulele anterioare, este egală cu densitatea de energie într-un interval mic de frecvențe sau lungimi de undă, împărțită la lățimea acestui interval [1] [2] :

u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

u_{\lambda}(\lambda,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5)}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\ lambda kT}}-1}}}

În sistemul SI, mărimile și au dimensiuni egale, respectiv, cu J m −3 Hz −1 și J m −3 m −1 [1] [2] . În plus, densitatea de energie spectrală este legată de emisivitate prin raportul [6] . ${\displaystyle u_{\nu ))$ $u_{\lambda )$ ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

Aplicabilitate

Formula lui Planck este aplicabilă radiațiilor care se află în echilibru termic cu materia la o anumită temperatură [2] . Este aplicabil corpurilor absolut negre de orice formă, indiferent de compoziție și structură, cu condiția ca dimensiunile corpului radiant și detaliile suprafeței acestuia să fie mult mai mari decât lungimile de undă la care corpul radiază în principal [3] [7] .

Dacă corpul nu este absolut negru, atunci spectrul radiației sale termice de echilibru nu este descris de legea lui Planck, ci este asociat cu acesta de legea radiației Kirchhoff . Conform acestei legi, raportul dintre abilitățile radiative și de absorbție ale unui corp este același pentru toate lungimile de undă și depinde doar de temperatură [8] . Deci, de exemplu, la aceeași temperatură, distribuția energiei în spectrul unui corp absolut gri va fi aceeași ca și în spectrul unui corp absolut negru, dar luminozitatea energetică totală a radiației va fi mai mică [9] .

Formula lui Planck este folosită și pentru a descrie corpuri reale al căror spectru de radiații diferă de cel al lui Planck. Pentru aceasta, este introdus conceptul de temperatură efectivă a corpului: aceasta este temperatura la care un corp complet negru radiază aceeași cantitate de energie pe unitatea de suprafață ca un corp dat. În mod similar, se determină temperatura de luminozitate , care este egală cu temperatura unui corp absolut negru, care radiază aceeași cantitate de energie pe unitate de suprafață la o anumită lungime de undă, și temperatura de culoare , egală cu temperatura unui corp absolut negru cu aceeași distribuție a energiei într-o anumită parte a spectrului [2] [10] [11 ] . De exemplu, pentru Soare , temperatura efectivă este de aproximativ 5780 K , iar temperatura de luminozitate, în funcție de lungimea de undă, ia diferite valori: la o lungime de undă de 1500 Å atinge o valoare minimă de 4200 K, iar în domeniul vizibil la o lungime de undă de 5500 Å este de aproximativ 6400 K, în timp ce pentru un corp absolut negru temperaturile determinate în acest fel sunt aceleași [12] .

Istoricul descoperirilor

Fundal

Definiția legii radiației termice a fost de interes încă din 1859, când Gustav Kirchhoff a descoperit legea radiației lui Kirchhoff , conform căreia raportul dintre emisivitate și absorbție este universal pentru toate corpurile. Prin urmare, funcția de radiație a unui corp negru , a cărui absorbție este egală cu unitatea pentru toate lungimile de undă, trebuie să coincidă cu funcția acestui raport [13] [14] .

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, spectrul de radiații al unui corp negru era deja cunoscut experimental. În 1896, Wilhelm Wien a descris-o empiric cu legea radiației lui Wien , dar fizicienii de la acea vreme nu au putut obține nici justificarea ei teoretică, nici vreo concluzie. Deși Wien a oferit o justificare a legii în lucrarea sa, aceasta nu a fost suficient de riguroasă pentru ca această problemă să fie considerată rezolvată [6] [15] [16] .

Max Planck a fost unul dintre cei care au încercat să fundamenteze teoretic legea radiației lui Wien. El a pornit de la faptul că emițătorii sunt oscilatoare armonice liniare , în care s-a stabilit un echilibru între emisie și absorbție; după ce a determinat relația dintre entropia și energia oscilatorilor, a putut confirma legea radiației lui Wien [17] .

Cu toate acestea, experimente suplimentare au arătat că legea radiației lui Wien nu descrie cu acuratețe spectrul radiației termice în regiunea cu lungimi de undă lungi. În octombrie 1900, Planck a prezentat o formulă care, în limitele constantelor , a coincis cu legea modernă a lui Planck. În aceeași zi, s-a constatat că formula descrie bine datele experimentale, dar în același timp nu avea nicio bază teoretică. Planck a dedus-o doar pe baza că în cazul limită pentru undele scurte ar trebui să intre în legea lui Wien, dar, spre deosebire de aceasta, să fie în concordanță cu datele experimentale pentru undele lungi [18] .

Descoperire

La mai puțin de două luni de la anunțul primirii formulei, Planck și-a prezentat concluzia teoretică la o reuniune a Societății Germane de Fizică . A folosit relația de entropie introdusă de Ludwig Boltzmann , care ia în considerare numărul de stări microscopice posibile ale unui sistem. Planck, pentru a putea folosi metodele combinatoriei și a estima astfel entropia, a făcut presupunerea că energia totală este formată dintr-un număr întreg de elemente finite de energie - cuante [15] [19] .

În ciuda faptului că cuantele au apărut în această derivație și constanta lui Planck a fost introdusă și utilizată pentru prima dată , nici Planck însuși și nici colegii săi nu au înțeles toată profunzimea descoperirii. De exemplu, Planck credea că discretitatea energiei nu are sens fizic și este doar o tehnică matematică. Alți fizicieni nu au acordat nicio importanță acestui lucru și nu au considerat această presupunere ca fiind contrară fizicii clasice . Abia după publicarea lui Hendrik Lorentz în 1908, comunitatea științifică a ajuns la concluzia că cuantele aveau într-adevăr o semnificație fizică. Planck însuși a numit mai târziu introducerea cuantelor „un act de disperare”, cauzat de faptul că „o explicație teoretică trebuie găsită cu orice preț, indiferent cât de mare ar fi”. Cu toate acestea, ziua în care formula lui Planck a fost fundamentată – 14 decembrie 1900 – este considerată ziua de naștere a fizicii cuantice [15] [20] .

Folosind considerațiile fizicii clasice , în 1900 Lord Rayleigh și în 1905 James Jeans au derivat legea Rayleigh-Jeans . Planck însuși a ajuns la același rezultat, independent de ei, în lucrările sale. Derivarea acestei legi a diferit puțin de derivarea legii lui Planck (vezi mai jos ), cu excepția faptului că energia radiației medii a fost luată egală cu , conform teoremei privind distribuția egală a energiei pe grade de libertate . Din punctul de vedere al fizicii clasice, cursul derivării nu a fost pus la îndoială, dar legea Rayleigh-Jeans nu numai că a fost în dezacord serios cu datele experimentale de peste tot, cu excepția regiunii undelor lungi, dar a prezis și o putere de radiație infinit de mare la unde scurte. Acest paradox a indicat că există încă contradicții fundamentale în fizica clasică și a devenit un argument suplimentar în favoarea ipotezei cuantice. Paul Ehrenfest în 1911 a numit- o pentru prima dată o catastrofă ultravioletă [6] [15] [21] . $\langle \varepsilon \rangle$ $kT$

În 1918, Max Planck a câștigat Premiul Nobel pentru Fizică și, deși a fost premiat oficial pentru descoperirea cuantelor, această descoperire a fost strâns legată de derivarea legii lui Planck [22] .

Derivarea formulei lui Planck

Derivarea prin distribuția Boltzmann

Formula lui Planck este derivată după cum urmează [6] .

La derivare, luăm în considerare un corp negru de dimensiuni mici cu temperatură , situat în interiorul unui cub cu o margine de lungime , ai cărui pereți interiori reflectă în mod ideal radiația. Ca urmare, emisia și absorbția luminii vor fi echilibrate, iar radiația va fi distribuită uniform în întregul interior al cubului. O anumită densitate de energie va fi menținută în interiorul cubului . Apoi, densitatea de energie spectrală va fi numită valoarea egală cu densitatea de energie pe interval de unitate de frecvențe unghiulare apropiate de . $T$ $l$ $u(T)$ $u_{\omega}(\omega,T)$ $\omega$

Atunci când alegeți o zonă mică de pe suprafața unui corp negru, puteți calcula câtă energie cade pe ea. Densitatea energiei incidente la un unghi față de normala dintr-un unghi solid este egală cu , deoarece radiația este distribuită uniform în toate direcțiile într-un unghi solid de steradiani. Lumina se deplasează cu o viteză , ceea ce înseamnă că energia cade la suprafață în timp : $\Delta S$ $\theta$ $d\Omega$ ${\textstyle d{\tilde {u}}=u(T){\frac {d\Omega {4\pi }}}$ $4\pi$ $c$ $\Delta t$ $dw$

dw=c\,d{\tilde {u}}\,\Delta t\,\Delta S\cos \theta ={\frac {c}{4\pi }}u(T)\cos \ theta \sin \theta \,d\theta \,d\varphi \,\Delta S\,\Delta t

Suma energiei venite din toate direcțiile va fi fluxul : $\Phi$

\Phi ={\frac {c}{4\pi }}u(T)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi /2} \cos \theta \sin \theta \,d\theta ={\frac {c}{4}}u(T)

Aceeași cantitate de energie va fi radiată de aceeași unitate de suprafață a unui corp negru, ceea ce înseamnă că raportul va fi valabil atât pentru întregul flux, cât și pentru orice gamă de frecvențe sau lungimi de undă . ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

Deoarece atât undele radiate, cât și cele reflectate sunt prezente simultan în interiorul cubului, câmpul de radiație termică trebuie să fie suprapunerea lor, adică trebuie să aibă forma unor unde electromagnetice staționare . Pentru determinarea parametrilor acestora se introduc sistemul de coordonate carteziene de-a lungul muchiilor cubului și ortele corespunzătoare . Pentru o undă care se propagă strict de-a lungul axei , , unde este un număr natural : adică un număr semiîntreg de unde trebuie să aibă o lungime totală exactă . Vectorul de undă al unei astfel de undă este , unde este numărul de undă , a cărui restricție ia forma . ${\textstyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}}$ $X$ ${\textstyle l=n_{x}{\frac {\lambda {2)}}$ $n_{x)$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle {\vec {k}}=k_{x}{\vec {e}}_{x}}$ ${\textstyle k_{x}={\frac {2\pi }{\lambda ))}$ ${\textstyle k_{x}=n_{x}{\frac {\pi }{l))}$

Pentru undele care se propagă de-a lungul axelor și , raționamentul este similar; o undă care se propagă în orice altă direcţie poate fi reprezentată ca o suprapunere de unde care se propagă de-a lungul axelor: . Prin urmare, , unde sunt numere naturale independente unele de altele sau zerouri. Apoi numărul de undă al oricărei undă este reprezentat ca , iar frecvența ca . Fiecare triplu dintre acești parametri corespunde unui val staționar. $y$ $z$ ${\vec {k}}=k_{x}{\vec {e}}_{x}+k_{y}{\vec {e}}_{y}+k_{z}{\vec {e}}_{z}$ ${\textstyle k_{x}=n_{x}{\frac {\pi }{l)),k_{y}=n_{y}{\frac {\pi }{l)),k_{z}= n_{z}{\frac {\pi }{l))}$ $n_{x}, n_{y}, n_{z)$ ${\textstyle k={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\frac {\pi }{l}}{ \sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$ ${\textstyle \omega ={\frac {\pi c}{l)}{\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2))} }$

Folosind o cantitate adimensională , se poate determina numărul de unde staţionare cu o frecvenţă de cel mult . Acest număr este egal cu numărul de combinații pentru care . Apoi poate fi estimat ca o opta parte din volumul unei sfere cu raza : ${\textstyle R={\frac {\omega l}{\pi c))}$ $\omega$ ${\tilde {N}}$ $n_{x}, n_{y}, n_{z)$ $R^{2}\geq n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}$ ${\tilde {N}}$ ${\textstyle R}$

{\tilde {N}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi R^{3}={\frac {1}{6} }\cdot {\frac {\omega ^{3}l^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}={\frac {1}{6}}\cdot {\frac { \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}V,

unde este spațiul care conține radiația. Deoarece undele electromagnetice sunt transversale, două unde se pot propaga în fiecare direcție, polarizate reciproc perpendicular, iar numărul real de unde se dublează: $V$ $N$

N=2{\tilde {N}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {\omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}} }V

Dacă diferențiem această expresie prin frecvență, obținem numărul de unde staționare cu lungimi de undă în intervalul : $(\omega ;\omega +d\omega )$

dN={\frac {\omega ^{2}d\omega }{\pi ^{2}c^{3)}}V

Poate fi luată ca energia medie a unei unde electromagnetice staționare cu frecvență . Dacă înmulțim numărul de unde staționare cu și împărțim valoarea rezultată cu și cu , obținem densitatea spectrală a energiei radiației: $\langle \varepsilon \rangle$ $\omega$ $dN$ $\langle \varepsilon \rangle$ $V$ $d\omega$

u_{\omega }={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\langle \varepsilon \rangle

Pentru derivarea ulterioară a legii lui Planck, este necesar să se țină cont de efectele fizicii cuantice , și anume de faptul că energia este emisă în porțiuni finite, egale ca mărime cu ( este constanta lui Dirac); în consecință, valorile posibile ale energiei radiației sunt , unde este orice număr natural . Astfel, energia medie de radiație este egală cu: $E = \hbar \omega$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ $\varepsilon _{n}=n\hbar \omega$ $n$ $\langle \varepsilon \rangle$

\langle \varepsilon \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}\varepsilon _{n},

unde este probabilitatea ca radiația să aibă o energie egală cu . Probabilitatea este descrisă de distribuția energiei Boltzmann $P_{n}$ $\varepsilon_{n}$ cu o constantă : $A$

P_{n}=Ae^{-{\frac {\varepsilon _{n}}{kT}}}

Ținând cont de adevărul: ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}=1}$ $A$

A=\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {\varepsilon _{n}}{kT}}}\right)^{-1}

Astfel, exprimat astfel: $\langle \varepsilon \rangle$

\langle \varepsilon \rangle ={\frac {\sum _{n=0}^{\infty}n\hbar \omega e^{-{\frac {n\hbar \omega {kT)} }}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {n\hbar \omega }{kT))))}=\hbar \omega {\frac {\sum _{ n=0}^{\infty }ne^{-n\xi }}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\xi }}}

Aici . Numitorul este extins conform formulei pentru suma unei progresii geometrice , iar numărătorul este reprezentat ca derivată a numitorului în raport cu : ${\textstyle \xi ={\frac {\hbar \omega {kT)}}$ ${\textstyle \xi }$

S=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\xi}={\frac {1}{1-e^{-\xi )))

\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\xi }=-{\frac {dS}{d\xi }}={\frac {e^{-\xi } }{(1-e^{-\xi })^{2}}}

Se obține expresia energiei medii:

\langle \varepsilon \rangle ={\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega}}{kT))-1))

Dacă înlocuim în formula densitatea de energie spectrală a radiației, obținem una dintre versiunile finale ale formulei lui Planck: $\langle \varepsilon \rangle$

u_{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {\ hbar \omega }{kT}}-1}}

Raportul vă permite să obțineți o formulă pentru emisivitatea [6] : ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

\varepsilon _{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\ frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}

Dacă împărțim la , obținem o expresie pentru densitatea spectrală a luminozității [23] : $\pi$

B_{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac { \hbar \omega }{kT}}-1}}

Aceste mărimi pot fi exprimate în termeni de alți parametri, cum ar fi frecvența ciclică sau lungimea de undă . Pentru a face acest lucru, trebuie avut în vedere că, prin definiție, relațiile sunt satisfăcute ( minusul apare datorită faptului că frecvența scade pe măsură ce lungimea de undă crește) și formule similare pentru emisivitate și densitate de energie. Deci, pentru a merge la frecvențele ciclice, trebuie să înlocuiți (în acest caz , deci ) și să înmulțiți cu , apoi formulele vor lua forma [3] [23] : $\nu$ $\lambda$ $B_{\omega }d\omega =B_{\nu }d\nu$ $B_{\nu }d\nu =-B_{\lambda }d\lambda$ $\omega =2\pi \nu$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ $h\nu =\hbar \omega$ ${\textstyle {\frac {d\omega }{d\nu }}=2\pi }$

u_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{ kT}}-1}}}

\varepsilon _{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

B_{\nu }={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}} -unu}}

Formulele pentru lungimi de undă sunt obținute într-un mod similar. După înlocuirea și înmulțirea cu [3] [23] : ${\textstyle \nu ={\frac {c}{\lambda ))}$ ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}=-{\frac {c}{\lambda ^{2)))}$

u_{\lambda }={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}} -1 }}

\varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\ lambda kT}}-1}}

B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}- unu}}

Derivare prin statistici Bose-Einstein

Dacă radiația de echilibru este considerată ca un gaz fotonic, i se pot aplica statisticile Bose-Einstein . Determină numărul mediu de particule în starea cuantică cu energie [24] : $\langle n_{i}\rangle$ $i$ $E_{i}$

\langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {E_{i}-\mu }{kT}}-1}}

Această formulă este potențialul chimic al gazului. Pentru un gaz fotonic, acesta este egal cu zero, deci formula acestuia poate fi reprezentată în următoarea formă [24] : $\mu$

\langle n\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega {kT}}-1}}

Dacă înmulțim numărul mediu de fotoni cu energia lor , obținem aceeași energie medie ca cea derivată din distribuția Boltzmann. Când o înlocuiți în formula pentru densitatea energiei spectrale , se va obține legea lui Planck [24] . $\langle n\rangle$ $\hbar \omega$ $\langle \varepsilon \rangle$ ${\textstyle u_{\omega }={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\langle \varepsilon \rangle }$

Concluzie prin emisie spontană și stimulată

Formula lui Planck poate fi derivată și din luarea în considerare a mecanismelor de emisie spontană și stimulată a atomilor [25] .

Această derivație, propusă de Einstein în 1916, ia în considerare și atomii la niveluri energetice și respectiv. Atunci numărul de tranziții de la cel mai înalt nivel la cel mai mic pe unitatea de timp este proporțional și poate fi scris ca . Cu emisia stimulată, numărul de tranziții pe unitatea de timp este proporțional cu densitatea spectrală a radiației la frecvența de tranziție , adică poate fi scris ca . Numărul de tranziții pe unitatea de timp datorită absorbției este proporțional cu și și se scrie ca [25] . $N_{m}$ $N_{n}$ $E_m$ $E_{n}$ $E_{n}$ $E_m$ $N_{n}$ $A_{n}^{m}N_{n}$ $N_{n}$ $u(\omega _{mn})$ $B_{n}^{m}N_{n}u(\omega _{mn})$ $N_{m}$ $u(\omega _{mn})$ $B_{m}^{n}N_{m}u(\omega _{mn})$

Cantitățile sunt caracteristici doar ale atomului însuși și ale nivelurilor de energie selectate, numite coeficienți Einstein . Dacă câmpul de radiație este în echilibru și are o temperatură , atunci condiția de echilibru detaliată este următoarea [25] : ${\displaystyle A_{n}^{m}, B_{n}^{m}, B_{m}^{n))$ $T$

A_{n}^{m}N_{n}+B_{n}^{m}N_{n}u(\omega _{mn})=B_{m}^{n}N_{m} u(\omega _{mn})

În limita , emisia spontană poate fi neglijată în comparație cu emisia stimulată, iar atunci starea de echilibru va lua forma . De când va fi satisfăcut , iar coeficienții Einstein nu depind de temperatură, egalitatea va fi adevărată , ceea ce este valabil pentru niveluri simple; pentru mai multe niveluri, trebuie luați în considerare suplimentar coeficienții de multiplicitate. În viitor, pot fi luate în considerare doar niveluri simple, deoarece densitatea energiei radiației nu depinde de detaliile structurii materiei [25] . $T\rightarrow\infty$ ${\displaystyle B_{n}^{m}N_{n}=B_{m}^{n}N_{m))$ $T\rightarrow\infty$ $N_{n}=N_{m)$ $B_{n}^{m}=B_{m}^{n)$

Puteți utiliza distribuția Boltzmann [25] :

{\displaystyle {\frac {N_{n}}{N_{m}}}=e^{\left({\frac {E_{n}-E_{m}}{kT}}\right)))

Când se aplică condiției de echilibru, rezultă [25] :

u(\omega _{mn})={\frac {\alpha (\omega _{mn})}{e^{\left({\frac {\hbar \omega _{mn)}{kT }}\dreapta)}-1}},

unde . Această valoare nu depinde de temperatură și poate fi găsită din condiția ca formula Rayleigh-Jeans [25] să fie valabilă pentru temperaturi ridicate : ${\textstyle \alpha (\omega _{mn})={\frac {A_{n}^{m}}{B_{n}^{m)))}$

u(\omega _{mn})={\frac {\alpha (\omega _{mn})kT}{\hbar {\omega _{mn)))}

\alpha (\omega _{mn})={\frac {\hbar \omega _{mn}^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}

Nivelurile de energie pot fi luate în mod arbitrar, astfel încât indicii și pot fi eliminați și poate fi utilizată formula pentru frecvențe arbitrare. Când se înlocuiește în formula originală pentru , se obține formula lui Planck. Astfel, o consecință importantă a validității formulei lui Planck este existența tranzițiilor forțate, care sunt necesare pentru implementarea generației laser [25] . $m$ $n$ $\alpha (\omega)$ $u(\omega )$

Relația cu alte formule

Legea Rayleigh-Jeans

Legea Rayleigh-Jeans este o aproximare a legii lui Planck care funcționează bine la (adică în intervalul de lungimi de undă mari și frecvențe joase), dar diverge puternic de la ea la , comparabil sau mare . Legea Rayleigh-Jeans folosește o aproximare care este valabilă pentru small , deci aproximarea arată astfel [26] [27] : $hc\ll \lambda kT$ $h.c.$ $\lambda kT$ ${\textstyle e^{\frac {hc}{\lambda kT}}\aproximativ 1+{\frac {hc}{\lambda kT}}}$ ${\textstyle {\frac {hc}{\lambda kT}}}$

B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {\lambda kT}{hc}}={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}

În cadrul fizicii clasice , ca rezultat al derivării legii radiațiilor, se obține legea Rayleigh-Jeans. Cu toate acestea, la lungimi de undă scurte, legea Rayleigh-Jeans nu numai că nu este de acord cu experimentul, ci prezice și o creștere nelimitată a puterii radiației pe măsură ce lungimea de undă se apropie de zero. Acest paradox se numește catastrofa ultravioletă (vezi mai sus ) [6] [27] .

Legea radiațiilor lui Wien

Legea radiației lui Wien este o aproximare a legii lui Planck care funcționează bine la - în regiunea lungimilor de undă mici și a frecvențelor înalte. Legea radiației lui Wien sugerează că atunci când unitatea din numitorul formulei lui Planck poate fi neglijată și luată în considerare . Atunci formula ia forma [26] [27] : $hc\gg \lambda kT$ $hc\gg \lambda kT$ ${\textstyle e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1\aprox e^{\frac {hc}{\lambda kT}}}$

B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda kT))}

Legea Stefan-Boltzmann

Legea Stefan-Boltzmann este o expresie care descrie radiația unui corp absolut negru în întregul domeniu electromagnetic. Este derivat din legea lui Planck prin integrarea suprafrecvenței sau, în funcție de forma de înregistrare, peste lungimea de undă [28] :

B(T)=\int _{0}^{\infty }{B_{\nu }}d\nu =\int _{0}^{\infty }{B_{\lambda }}d\ lambda

B(T)={\frac {2h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}d\nu }{e^ {\frac {h\nu }{kT}}-1}}

Înlocuiți , apoi [28] : ${\textstyle x={\frac {h\nu {kT)}}$ ${\textstyle d\nu ={\frac {kT}{h}}dx}$

B(T)={\frac {2h}{c^{2}}}{\frac {k^{4}}{h^{4}}}T^{4}\int _{0 }^{\infty }{\frac {x^{3}dx}{e^{x}-1}}

Această integrală definită este . Putem exprima , unde este o constantă [28] : ${\textstyle {\frac {\pi ^{4}}{15}}}$ $B(T)=AT^{4)$ $A$

A={\frac {2k^{4}}{c^{2}h^{3}}}{\frac {\pi ^{4}}{15}}

În acest caz, densitatea fluxului de energie este de câteva ori mai mare decât luminozitatea energiei , prin urmare, pentru a calcula primul, se utilizează coeficientul , numit constanta Stefan-Boltzmann , egal cu 5,67⋅10 −8 W m −2 · K −4 . Puterea de radiație dintr-o unitate de suprafață în acest caz poate fi exprimată ca . Această expresie se numește legea Stefan-Boltzmann [28] . $\pi$ $\sigma =\pi A$ $F$ $F=\sigma T^{4}$

Legea deplasării lui Wien

Legea deplasării lui Wien raportează lungimea de undă la care emisivitatea unui corp negru este maximă de temperatura acestuia. Ea este derivată din legea lui Planck prin diferențierea acesteia în funcție de frecvență sau lungime de undă, în funcție de forma de înregistrare, și echivalând derivata cu zero, care este atinsă la maximul funcției. Rezultă relația , unde este o constantă egală cu 0,0029 m K . Astfel, pe măsură ce temperatura crește, lungimea de undă a maximului scade [29] . $\lambda _{max}T=b$ $b$

Deși se poate face o procedură similară pentru frecvențe, frecvența densității spectrale maxime nu poate fi calculată folosind formula , deoarece relația dintre frecvență și lungimea de undă este neliniară, iar emisivitatea este calculată din radiație într-un singur interval de frecvențe sau lungimi de undă . 29] . ${\textstyle \nu _{max}={\frac {c}{\lambda _{max}))}$

Aplicație

Pentru un corp absolut negru, spectrul descris de legea lui Planck este legat în mod unic de temperatura acestuia. Prin urmare, legea își găsește aplicare în pirometrie , adică în determinarea de la distanță a temperaturii corpurilor fierbinți. Dacă spectrul corpului diferă de radiația unui corp absolut negru, pirometrul măsoară temperatura efectivă, care se numește radiație . Cunoscând raportul dintre emisivitatea corpului studiat și emisivitatea unui corp absolut negru , care arată diferența față de formula lui Planck, se poate găsi temperatura reală . Pentru multe materiale practice importante, valorile sunt cunoscute [30] . $T_{r}$ $Q_{T}=E_{T}/\varepsilon _{T}<1$ $T=T_{r}/(Q_{T})^{1/4)$ $Q_{T}$

Note

↑ 1 2 3 Legea radiației lui Planck . Enciclopedia Britannica . Preluat la 18 decembrie 2020. Arhivat din original la 13 decembrie 2020.
↑ 1 2 3 4 5 Masalov A. V. Legea radiației lui Planck // Marea Enciclopedie Rusă . - Editura BRE , 2014. - T. 26. - 767 p. — ISBN 978-5-85270-363-7 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Karttunen și colab., 2007 , p. 103.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , p. 170.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , p. 181.
↑ 1 2 3 4 5 6 1.2. Teoria cuantică a radiațiilor . Departamentul de Fizică, Universitatea Tehnică de Stat din Moscova. Bauman . Preluat la 18 decembrie 2020. Arhivat din original la 28 septembrie 2015. (nedefinit)
↑ Juan Carlos Cuevas. Radiația termică de la obiecte cu lungimea subundă și încălcarea legii lui Planck // Nature Communications . - Nature Research , 2019. - 26 iulie (vol. 10). - P. 3342. - ISSN 2041-1723 . - doi : 10.1038/s41467-019-11287-6 . Arhivat din original pe 12 martie 2022.
↑ 1.1. Legile radiațiilor termice . Departamentul de Fizică, Universitatea Tehnică de Stat din Moscova. Bauman . Preluat la 24 ianuarie 2021. Arhivat din original la 8 august 2020. (nedefinit)
↑ Corp gri . Enciclopedia de fizică și tehnologie . Preluat la 24 ianuarie 2021. Arhivat din original la 17 aprilie 2021. (nedefinit)
↑ Karttunen și colab., 2007 , p. 104.
↑ Kononovici, Moroz, 2004 , p. 193-194.
↑ Kononovici, Moroz, 2004 , p. 239-240.
↑ Jammer, 1985 , p. 14-16.
↑ Sivukhin, 2002 , p. 681-682.
↑ 1 2 3 4 Max Planck: revoluționarul reticent . Lumea Fizicii (1 decembrie 2000). Preluat la 19 decembrie 2020. Arhivat din original la 6 iulie 2022.
↑ Jammer, 1985 , p. 21.
↑ Jammer, 1985 , p. 22-27.
↑ Jammer, 1985 , p. 27-30.
↑ Jammer, 1985 , p. 30-33.
↑ Jammer, 1985 , p. 30-34.
↑ Sivukhin, 2002 , p. 697.
↑ Premiul Nobel pentru fizică 1918 . NobelPrize.org . Fundația Nobel . Data accesului: 19 decembrie 2020. Arhivat din original pe 7 iunie 2020.
↑ 1 2 3 Formulări diferite ale legii lui Planck . www.physics-in-a-nutshell.com . Preluat la 19 decembrie 2020. Arhivat din original la 14 decembrie 2020. (nedefinit)
↑ 1 2 3 Sivukhin, 2002 , p. 703-704.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Sivukhin, 2002 , p. 704-706.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , p. 182.
↑ 1 2 3 Karttunen și colab., 2007 , p. 105.
↑ 1 2 3 4 Karttunen și colab., 2007 , pp. 103-104.
↑ 1 2 Karttunen și colab., 2007 , pp. 104-105.
↑ Landsberg, 2003 , p. 639.

Literatură

E. V. Kononovici; Moroz V. I. Curs general de astronomie / Ed. V. V. Ivanova . - Al doilea, corect. — M .: Editorial URSS , 2004. — 544 p. — ISBN 5-354-00866-2 .
Sivukhin DV Curs general de fizică . - M . : Fizmatlit MIPT , 2002. - T. 4. Optică. — 792 p. — ISBN 5-9221-0228-1 .
Jammer M. Evoluția conceptelor de mecanică cuantică. — M .: Nauka , 1985. — 384 p.
Elyashevich M. A. Legea radiației lui Planck // Enciclopedia fizică . - M .: BRE , 1992. - T. 3 . - S. 625-626 .
Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner KJ Fundamental Astronomy . — ediția a 5-a. - Berlin: Springer , 2007. - 510 p. — ISBN 978-3-540-34143-7 .
Landsberg G.S. Optics: un manual pentru universități. - Ed. a VI-a. stereot.. - M. : Fizmatlit, 2003. - 848 p. — ISBN 5-9221-0314-8 .